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1、1欧拉图定义定义15.1 (1)欧拉通路经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶点的通路.(2)欧拉回路经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶点的回路.(3)欧拉图具有欧拉回路的图.(4)半欧拉图具有欧拉通路而无欧拉回路的图.几点说明：规定平凡图为欧拉图.欧拉通路是生成的简单通路，欧拉回路是生成的简单回路.环不影响图的欧拉性.第1页/共31页2上图中，(1),(4)为欧拉图，(2),(5)为半欧拉图，(3),(6)既不是欧拉图，也不是半欧拉图.在(3),(6)中各至少加几条边才能成为欧拉图？欧拉图实例第2页/共31页3无向欧拉图的判别法定理15.1 无向图G是欧拉图当且仅当G连通且无奇度数顶点.证
2、若G 为平凡图无问题.下设G为 n 阶 m 条边的无向图.必要性 设C 为G 中一条欧拉回路.(1)G 连通显然.(2)viV(G)，vi在C上每出现一次获2度，所以vi为偶度顶点.由vi 的任意性，结论为真.充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）.(1)m=1时，G为一个环，则G为欧拉图.(2)设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：第3页/共31页4PLAY从以上证明不难看出：欧拉图是若干个边不重的圈之并，见示意图3.第4页/共31页5欧拉图的判别法定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G 连通且恰有两个奇度顶点.证 必要性简单.充分性（利用定理15.1）设u,v为G 中的两
3、个奇度顶点，令 G =G(u,v)则G 连通且无奇度顶点，由定理15.1知G 为欧拉图，因而存在欧拉回路C，令 =C(u,v)则 为 G 中欧拉通路.第5页/共31页6有向欧拉图的判别法定理15.3 有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通的且每个顶点的入度都等于出度.本定理的证明类似于定理15.1.定理15.4 有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向连通的，且D中恰有两个奇度顶点，其中一个的入度比出度大1，另一个的出度比入度大1，而其余顶点的入度都等于出度.本定理的证明类似于定理15.1.定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且为若干个边不重的圈之并.可用归纳法证定理15.5.第6页/共3
4、1页7例题例1 设G是欧拉图，但G不是平凡图，也不是一个环，则(G)2.证 只需证明G中不可能有桥（如何证明？）上图中，(1),(2)两图都是欧拉图，均从A点出发，如何一次成功地走出一条欧拉回路来？(1)(2)第7页/共31页8Fleury算法算法：(1)任取v0V(G)，令P0=v0.(2)设Pi=v0e1v1e2eivi 已经行遍，按下面方法从 E(G)e1,e2,ei 中选取ei+1：(a)ei+1与vi 相关联；(b)除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为 Gi=Ge1,e2,ei 中的桥.(3)当(2)不能再进行时，算法停止.可以证明算法停止时所得简单通路 Pm=v0e1v1e2
5、emvm(vm=v0)为G 中一条欧拉回路.用Fleury算法走出上一页图(1),(2)从A出发（其实从任何一点出发都可以）的欧拉回路各一条.第8页/共31页915.2 哈密顿图历史背景：哈密顿周游世界问题与哈密顿图 (1)(2)第9页/共31页10哈密顿图与半哈密顿图定义15.2 (1)哈密顿通路经过图中所有顶点一次仅一次的通路.(2)哈密顿回路经过图中所有顶点一次仅一次的回路.(3)哈密顿图具有哈密顿回路的图.(4)半哈密顿图具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图.几点说明：平凡图是哈密顿图.哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路.环与平行边不影响哈密顿性.哈密顿图的实质是能将图中的所有顶点
6、排在同一个圈上第10页/共31页11实例在上图中，(1),(2)是哈密顿图;(3)是半哈密顿图;(4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？第11页/共31页12无向哈密顿图的一个必要条件定理15.6 设无向图G=是哈密顿图，对于任意V1V且V1，均有 p(GV1)|V1|证 设C为G中一条哈密顿回路(1)p(C V1)|V1|(2)p(G V1)p(C V1)|V1|（因为C G）推论 设无向图G=是半哈密顿图，对于任意的V1 V且V1均有 p(G V1)|V1|+1证 令 uv为G中哈密顿通路，令G =G(u,v)，则G 为哈密顿图.于是 p(G V1)=p(G V1(u,v)|V1|
7、+1第12页/共31页13几点说明l定理15.6中的条件是哈密顿图的必要条件，但不是充分条件（彼得松图）l由定理15.6立刻可知，Kr,s当sr+1时不是哈密顿图.易知Kr,r（r2）时都是哈密顿图，Kr,r+1都是半哈密顿图.l常利用定理15.6判断某些图不是哈密顿图.例2 设G为n阶无向连通简单图，若G中有割点或桥，则G不 是哈密顿图.证 设v为割点，则 p(Gv)2|v|=1.K2有桥，它显然不是哈密顿图.除K2外，其他有桥的图（连通的）均有割点.其实，本例对非简单连通图也对.第13页/共31页14无向哈密顿图的一个充分条件定理15.7 设G是n阶无向简单图，若对于任意不相邻的顶点vi,
8、vj，均有 d(vi)+d(vj)n1 ()则G 中存在哈密顿通路.证明线索：(1)由()证G连通(2)=v1v2vl 为G中极大路径.若l=n,证毕.(3)否则，证G 中存在过上所有顶点的圈C，由(1)知C外顶点存在与C上某顶点相邻顶点，从而得比更长的路径，重复(2)(3)，最后得G中哈密顿通路.第14页/共31页15证明证（着重关键步骤）(1)由()及简单图的性质，用反证法证明G连通.(2)=v1v2vl 为极大路径，l n,若l=n（结束）.下面讨论ln的情况，即要证G中存在过上所有顶点的圈.若(v1,vl)在G中，则(u,v)为G中圈 否则，设否则，设v1与与 上上 相邻，则相邻，则k
9、 2(否则由极大路径端点性质否则由极大路径端点性质及及()，会得到，会得到d(v1)+d(vl)1+l 24，由定理15.6可知图中无哈密顿回路.在国际象棋盘上跳马有解，试试看.第22页/共31页23设GG，称 为G 的权，并记作W(G)，即定义15.3 给定图G=，(G为无向图或有向图)，设W:ER(R为实数集)，对G中任意边e=(vi,vj)(G为有向图时，e=)，设W(e)=wij，称实数wij 为边e上的权，并将wij标注在边e上，称G为带权图，此时常将带权图G记作.15.3 最短路问题与货郎担问题第23页/共31页24货郎担问题设G=为一个n阶完全带权图Kn，各边的权非负，且有的边的
10、权可能为.求G中的一条最短的哈密顿回路，这就是货郎担问题的数学模型.完全带权图Kn（n3）中不同的哈密顿回路数(1)Kn中有(n1)!条不同的哈密顿回路（定义意义下）(2)完全带权图中有(n1)!条不同的哈密顿回路(3)用穷举法解货郎担问题算法的复杂度为(n1)！，当n较大时，计算量惊人地大第24页/共31页25 解 C1=a b c d a,W(C1)=10 C2=a b d c a,W(C2)=11 C3=a c b d a,W(C3)=9可见C3(见图中(2)是最短的，其权为9.例6 求图中(1)所示带权图K4中最短哈密顿回路.(1)(2)第25页/共31页26第十五章 习题课 主要内容
11、l欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图及其判别法l哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图l带权图、货郎担问题基本要求l深刻理解欧拉图、半欧拉图的定义及判别定理l深刻理解哈密顿图、半哈密顿图的定义.l会用哈密顿图的必要条件判断某些图不是哈密顿图.l会用充分条件判断某些图是哈密顿图.要特别注意的是，不能将必要条件当作充分条件，也不要将充分条件当必要条件.第26页/共31页271.设G为n（n 2）阶无向欧拉图，证明G中无桥(见例1思考题)方法二：反证法.利用欧拉图无奇度顶点及握手定理的推论.否则，设e=(u,v)为G中桥，则G e产生两个连通分支G1,G2，不妨设u在G1中，v在G2中.由于
12、从G中删除e时，只改变u,v 的度数(各减1)，因而G1与G2中均只含一个奇度顶点，这与握手定理推论矛盾.练习1方法一：直接证明法.命题(*)：设C为任意简单回路，e为C上任意一条边，则C e连通.证 设C为G中一条欧拉回路，任意的e E(C)，可知C e是G e的子图，由()知 C e 连通，所以e不为桥.第27页/共31页282.证明下图不是哈密顿图.(破坏必要条件)方法一.利用定理15.6，取 V1=a,c,e,h,j,l，则 p(G V1)=7|V1|=6 练习 2方法二.G为二部图，互补顶点子集 V1=a,c,e,h,j,l,V2=b,d,f,g,i,k,m，|V1|=6 7=|V2
13、|.方法三.利用可能出现在哈密顿回路上的边至少有n(n为阶数)条这也是哈密顿图的一个必要条件，记为（）.此图中，n=13，m=21.由于h,l,j 均为4度顶点，a,c,e为3度顶点，且它们关联边互不相同.而在哈密顿回路上，每个顶点准确地关联两条边，于是可能用的边至多有21(3 2+3 1)=12.这达不到（）的要求.第28页/共31页293某次国际会议8人参加，已知每人至少与其余7人中的4人有共同语言，问服务员能否将他们安排在同一张圆桌就座，使得每个人都与两边的人交谈？解 图是描述事物之间关系的最好的手段之一.做无向图G=,其中 V=v|v为与会者，E=(u,v)|u,v V且u与v有共同语言，且u v.易知G为简单图且 v V,d(v)4，于是，u,v V,有d(u)+d(v)8，由定理15.7 的推论可知G为哈密顿图.服务员在G中找一条哈密顿回路C，按C中相邻关系安排座位即可.练习 3由本题想到的：哈密顿回图的实质是能将图中所有的顶点排在同一个圈中.第29页/共31页304.距离(公里)如图所示.他如何走行程最短？练习 4最短的路为ABCDA，距离为36公里，其余两条各为多少？第30页/共31页31感谢您的观看！第31页/共31页