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1、Cm,lCm,r问题的提出：第1页/共62页几个有意义的实际问题谁最先到达顶点第2页/共62页11-1质点和质点系的动量矩1质点的动量矩对点O 的动量矩说明：1矢量，方向2单位：Kg.m2/sxyzOMO(mv)mvr第3页/共62页对轴z的动量矩说明：1、代数量2单位：Kg.m2/s3、xyzqOmvMO(mv)Mz(mv)r质点动量mv 在oxy 平面内的投影(mv)xy对于点O的矩，定义为质点动量对于z轴的矩，简称对于z轴的动量矩。类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对点O的动量矩矢在z 轴上的投影，等于对z 的动量矩。第4页/共62页2质点系的动量矩对点的动量矩对轴的动量矩质点系对
2、某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和。质点系对某轴z 的动量矩等于各质点对同一z 轴的动量矩的代数和。第5页/共62页（1）刚体平移。可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算（2）刚体绕定轴转动转动惯量)(CzzvmML第6页/共62页11-2 动量矩定理1质点的动量矩定理设O为定点，有其中：xyzOMO(mv)mvrMO(F)F第7页/共62页投影式：称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。因此质点对某固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于质点所受的力对同一轴的矩。第8页/共62页2.质点系的动量矩定理设由n个质点组成的质点系。其中第i个
3、质点的动量为mivi，作用在该质点上的外力内力为，由质点的动量矩定理第9页/共62页由于得第10页/共62页说明：1、投影式：2、内力不能改变质点系的动量矩。称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一轴的矩的代数和。第11页/共62页3动量矩守恒定律若，则常矢量；若，则常量。(1)质点动量矩守恒定律第12页/共62页(2)质点系动量矩守恒定律若，则常矢量；若，则常量。第13页/共62页例高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，绕O轴转动。小车和
4、矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为。设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。MOv第14页/共62页解：以系统为研究对象，看作为质点系,受力如图。MOm2gFNvm1gFOxFOy第15页/共62页因,于是解得若Mm2gR sin，则 a0，小车的加速度沿轨道向上。必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。MOv第16页/共62页例图示卷扬机鼓轮质量为m1，半径为r，可绕过鼓轮中心O的水平轴转动。鼓轮上绕一绳，绳的一端悬挂一质量为m2的重物。鼓轮视为匀质，并令其对O轴的转动惯量为JO。今在鼓轮
5、上作用一不变力矩M，试求重物上升的加速度。解：研究质点系-鼓轮与重物OMm2gvm1gFoxFoy系统对O轴的动量矩：第17页/共62页由动量矩定理解得OMm2gvm1gFoxFoy第18页/共62页例一绳跨过定滑轮，其一端吊有质量为m 的重物A，另一端有一质量为m的人以速度u 相对细绳向上爬。若滑轮半径为r，质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。mgmguAO第19页/共62页解：以系统为研究对象，受力如图。设重物A上升的速度为v，则人的绝对速度va的大小为由于SMO(F(e)0，且系统初始静止，所以LO0。由上可知，人与重物A具有相同的的速度，此速度等于人相对绳的速度的一半。如果开始时
6、，人与重物A位于同一高度，则不论人以多大的相对速度爬绳，人与重物A将始终保持相同的高度。uvavevmgmguAOFOxFOy第20页/共62页几个有意义的实际问题谁最先到达顶点第21页/共62页 11-3刚体定轴转动微分方程对于一个定轴转动刚体刚体定轴转动微分方程xyzFN1FN2FnF1F2质点系动量矩定理第22页/共62页刚体定轴转动微分方程转动惯量是刚体转动惯性的度量。刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上的力对该轴的矩的代数和。第23页/共62页例如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，带动滑轮的皮带拉力为F1和F2。求滑轮的角加速度。解：由刚体定轴转动的微分方程于
7、是得由上式可见，只有当定滑轮匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。F1F2OR第24页/共62页解除约束前：F FOxOx=0 0,F FOyOy=mgmg/2/2突然解除约束瞬时：FOx=？,FOy=？例关于突然解除约束问题OFOyFOxW=mgOFOxFOy yW=mg第25页/共62页突然解除约束瞬时，杆OA将绕O轴转动，不再是静力学问题。这时，0，0。需要先求出，再确定约束力。应用定轴转动微分方程应用质心运动定理OOF FOxOxF FOyOyWW=mmg g第26页/共62页11-4刚体对轴的转动惯量一定义：v vi irimi
8、y yx xz zO由定义可知，转动惯量不仅与质量有关，而且与质量的分布有关；在国际单位制中，转动惯量的单位是:kgm2。同一刚体对不同轴的转动惯量是不同的，而它对某定轴的转动惯量却是常数。因此在谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的转动惯量。对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式第27页/共62页(1).均质细杆z1dxxxCzdxxxOl设均质细杆长l，质量m二转动惯量的计算积分法取微段dx,则第28页/共62页(3)半径为R，质量为m 的均质薄圆环(2)半径为R，质量为m 的均质薄圆盘第29页/共62页在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义为如果已知回转半径，则物体的转动惯
9、量为回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集中到一点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离就等于回转半径的长度。2.惯性半径（或回转半径）第30页/共62页mdzCz13、平行轴定理C式中:ZC轴为过质心且与Z 轴平行的轴，d为Z与 ZC轴之间的距离。定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，第31页/共62页4组合法解：钟摆：均质直杆m1,l；均质圆盘：m2,R。求JO。5试验法对于几何形状复杂的物体第32页/共62页形状简图转动惯量惯性半径体积细直杆圆柱薄壁圆筒常见均质物体的转动惯量和回转半径第33
10、页/共62页空心圆柱薄壁空心球实心球第34页/共62页圆锥体圆环椭圆形薄板第35页/共62页立方体矩形薄板转动惯量的计算：（1）简单查表（2）规则形状组合（3）形状复杂实验第36页/共62页11-5质点系相对于质心的动量矩定理动量矩定理只适用于惯性参考系中的固定点或固定轴对于一般的动点或动轴，动量矩定理由比较复杂的形式第37页/共62页如图所示，O为固定点，C为质点系的质心，质点系对于固定点的动量矩为对于任一质点mi于是由于ririrCmiyyxzCOxzvi第38页/共62页ririrCmiyyxzCOxzvi它是质点系相对于质心的动量矩。于是得即：质点系对任一点O的动量矩等于集中于质心的系
11、统动量mvC对于O点的动量矩再加上此系统对于质心的动量矩LC(应为矢量和)。质点系对于固定点O的动量矩定理可写成第39页/共62页展开上式,注意右端项中rirC+ri,于是上式化为上式右端是外力对质心的主矩，于是得因为于是上式成为第40页/共62页质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。第41页/共62页例均质圆盘质量为2m，半径为r。细杆OA质量为m，长为l3r，绕轴O转动的角速度为、求下列三种情况下系统对轴O的动量矩：(a)圆盘与杆固结；(b)圆盘绕轴A相对杆OA以角速度 逆时针方向转动；(c)圆盘绕轴A相对杆OA以角速度 顺时针方向转动。第42页/共62
12、页解：(a)第43页/共62页(b)第44页/共62页(c)第45页/共62页11-6刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动随质心的平移随质心的平移绕质心的转动绕质心的转动刚体的平面运动可分解为随基点的平移和绕基点的转动。第46页/共62页投影形式刚体的平面运动微分方程第47页/共62页例15一均质圆柱，质量为m，半径为r，无初速地放在倾角为q 的斜面上，不计滚动阻力，求其质心的加速度。解：以圆柱体为研究对象。圆柱体在斜面上的运动形式，取决于接触处的光滑程度，下面分三种情况进行讨论：(1)设接触处完全光滑此时圆柱作平动，由质心运动定理即得圆柱质心的加速度CqCxyOqaCFNmg第48页/共62
13、页(2)设接触处足够粗糙 此时圆柱作纯滚动，列出平面运动微分方程解得由于圆柱作纯滚动，故F由纯滚动条件有所以，可得这就是圆柱体在斜面上作纯滚动的条件。qCxyaCOFNmg第49页/共62页(3)设不满足圆柱体在斜面上作纯滚动的条件设圆柱体沿斜面滑动的动摩擦系数为f，则滑动摩擦力于是圆柱体在斜面上既滚动又滑动,在这种情况下，aCr第50页/共62页例16均质圆柱体A和B质量均为m，半径均为r。圆柱A可绕固定轴O转动。一绳绕在圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上。求B下落时，质心C点的加速度。摩擦不计。解：取A分析，受力如图。A作定轴转动，应用定轴转动的微分方程有其中AFTmgFOxFOyOAFTm
14、gBCDBaC取B分析，受力如图。B作平面运动。应用平面运动的微分方程有由运动学关系aDrA,，而由加速度合成定理有第51页/共62页例17均质杆质量为m，长为l，在铅直平面内一端沿着水平地面，另一端沿着铅垂墙壁，从图示位置无初速地滑下。不计摩擦，求开始滑动的瞬时，地面和墙壁对杆的约束反力。解：以杆AB为研究对象，分析受力。yBqCAmgxBqCAFAFB杆作平面运动，设质心C的加速度为aCx、aCy，角加速度为。aCxaCy由刚体平面运动微分方程mg第52页/共62页BqCAxy以C点为基点，则A点的加速度为再以C点为基点，则B点的加速度为aAaBaCxaCyatBCatAC在运动开始时,0
15、,故,将上式投影到y 轴上，得an0AC同理，将上式投影到 x轴上，得an0BC第53页/共62页联立求解(1)(5)式，并注意到可得注：亦可由坐标法求出(4)、(5)式：运动开始时，故BqCAxy第54页/共62页jAxCB例18如图质量为m的均质杆AB用细绳吊住，已知两绳与水平方向的夹角为j。求B端绳断开瞬时，A端绳的张力。解：取杆分析，建立如图坐标。有AB作平面运动，以A为基点，则jjABFT因为断开初瞬时,vA0,0,故,an0Aan0CA将上式投影到x 轴上，得anCAatCAatAanAjAxCBaCxmg第55页/共62页例19长l，质量为m 的均质杆AB 和BC 用铰链B 联接
16、，并用铰链A 固定，位于平衡位置。今在C 端作用一水平力F，求此瞬时，两杆的角加速度。解：分别以AB和BC为研究对象，受力如图。AB和BC分别作定轴转动和平面运动。对AB由定轴转动的微分方程得CBAFABFAxFBxFByaBWABFAy第56页/共62页BC作平面运动，取B为基点，则将以上矢量式投影到水平方向，得(4)由(1)(4)联立解得对BC由刚体平面运动的微分方程得(2)(3)BGCBCFWaGxaGyatGBFByFBx第57页/共62页O例20平板质量为m1，受水平力F 作用而沿水平面运动，板与水平面间的动摩擦系数为f，平板上放一质量为m2的均质圆柱，它相对平板只滚动不滑动，求平板
17、的加速度。解：取圆柱分析，建立如图坐标。于是得：FaCFN1F1m2gaaOxy第58页/共62页xyFN1F1FN2F2m1gFa取板分析第59页/共62页例21行星齿轮机构的曲柄OO1受力矩M 作用而绕固定铅直轴O 转动，并带动齿轮O1在固定水平齿轮O 上滚动如图所示。设曲柄OO1为均质杆，长l、重P；齿轮O1为均质圆盘，半径r、重Q。试求曲柄的角加速度及两齿轮接触处沿切线方向的力。解：以曲柄为研究对象，曲柄作定轴转动，列出定轴转动微分方程OO1MO1OFnFtRnRtM第60页/共62页由运动学关系，有联立求解(1)(4)，得O1FnFtTNatan1取齿轮O1分析，齿轮O1作平面运动MO1OFnFtRnRt第61页/共62页感谢您的观看！第62页/共62页