现代控制工程最优控制.pptx

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1、1第7章 最优控制7.1 最优控制的概念 7.2 变分法与泛函的极值条件7.3 变分法求解无约束最优控制问题7.4 极小值原理7.5 线性二次型最优控制第1页/共35页27.1 最优控制的概念 设系统的状态方程为最优性能指标所谓最优控制，就是要确定在 中的最优控制，将系统的状态从 转移到 ，或者 的一个集合，并使性能指标最优。最优控制问题从数学上看，就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题，可以用变分法求解。工程中很多控制问题的控制信号是受限制的，例如，任何系统中能够得到的燃料、电压、允许的温度等都是有限制的，不可能取任意大的值。控制信号受限的最优控制问题不能用变分法求解，而需要用庞德里亚金

2、极小值原理或者贝尔曼的动态规划求解。第2页/共35页3o1.泛函的概念o如果对于自变量t，存在一类函数 ，对于每个函数 ，有一个 值与之对应，则变量 称为依赖于函数 的泛函数，简称为泛函，记作 。o如果泛函满足下列关系，则泛函是线性泛函。7.2 变分法与泛函的极值条件2.泛函的变分泛函 的变量 的变分 ，定义为 ，其中，为一标称函数（即最优控制中的最优轨线），为 邻域内与 属于同一函数类的某一函数。第3页/共35页47.2 变分法与泛函的极值条件如果泛函的增量可以表示为 其中，是 的线性泛函，且当 时，则线性泛函 称为泛函 的变分（一阶变分），记作 。由变分的定义可以看出，泛函的变分是一种线性

3、映射，它的运算规则类似于函数的线性运算，有如下的变分规则：第4页/共35页53.泛函的极值若泛函在 附近的任一曲线上的值不小于 ，即 ，则泛函在曲线 上达到极小值。泛函在曲线 上达到极小值的必要条件为（证明略）7.2 变分法与泛函的极值条件在实际问题中，泛函极值问题的最优轨线通常是受到各种约束的。例如，最优控制性能指标（7.2）中的u和x的选择，要满足状态方程（7.1），这是一个等式约束。在等式约束下的泛函极值问题，称为条件泛函极值问题。用拉格朗日乘子法将条件泛函极值问题转化为无约束条件极值问题。最优控制问题就是一类带有约束条件的条件泛函极值问题。第5页/共35页6*7.3 变分法求解无约束最

4、优控制问题设系统的状态方程为性能指标为上面的最优控制问题中，因为对控制变量没有约束，所以通常称为无约束最优控制问题。无约束最优控制问题是一个求有等式约束的泛函极值问题，可以用拉格朗日乘子法把有约束条件问题转化为无约束条件问题。构造增广泛函为构造哈密顿函数为则增广泛函为设初始时刻 及其状态给定为 。根据终端状态边界条件，可按以下几种情况讨论。第6页/共35页7*7.3 变分法求解无约束最优控制问题1.给定 ，终端自由，即 任意增广泛函为 取一阶变分并令其为零，得由于第7页/共35页8*7.3 变分法求解无约束最优控制问题最优控制问题（7.7），（7.8）取极值的必要条件为状态方程 伴随方程 控制

5、方程 横截条件 联立求解上述正则方程和控制方程，就可求得性能指标达到极值时的最优控制 、最优状态轨线 及最优协态轨线 。第8页/共35页9*7.3 变分法求解无约束最优控制问题例 7.1 已知系统的状态方程为 初始条件为性能指标 解 本题为给定 、终端自由的最优控制问题。由于控制变量不受约束，所以，可以用变分法求解。构造哈密顿函数为 由伴随方程得因此，常数。由横截条件得由控制方程得即代入状态方程，得 上面这个微分方程的解为第9页/共35页10*7.3 变分法求解无约束最优控制问题当 时，有最优控制为最优性能指标为第10页/共35页11*7.3 变分法求解无约束最优控制问题2.给定，终端约束设终

6、端约束为构造增广泛函为 对增广泛函取一阶变分并令其为零，经过与上面类似的推导，得 第11页/共35页12*7.3 变分法求解无约束最优控制问题最优控制问题（7.7），（7.8）取极值的必要条件为状态方程 伴随方程 控制方程 横截条件 联立求解上述方程，就可求得性能指标达到极值时的最优控制 、最优状态轨线 及最优协态轨线 。边界条件 第12页/共35页13*7.3 变分法求解无约束最优控制问题例 7.2 已知系统 初始条件为性能指标 解 本题为给定 、终端受约束的最优控制问题。由于控制变量不受约束，所以，可以用变分法求解。构造哈密顿函数为 由于终端约束条件为第13页/共35页14所以*7.3 变

7、分法求解无约束最优控制问题由初始条件得因为由横截条件得将 和 代入上式，得第14页/共35页15*7.3 变分法求解无约束最优控制问题求解以 作为未知数的联立方程组 可得 则所求最优控制为 第15页/共35页16*7.4 极小值原理利用变分法求解最优控制问题时，要使极值条件有意义，需要假定控制是不受约束的，其变分是任意的。因此，在无约束最优控制问题中，要求控制变量不受任何限制，但是，在实际控制工程中，控制变量往往受到一定限制。例如，电动机的转矩、阀门开度等都有上限。控制变量只能在某个有界的闭域里取值。控制变量受到限制时的最优控制问题，通常称为有约束最优控制问题。对于有约束最优控制问题，不能应用

8、变分法求解，而需要采用本节所介绍的极小值原理求解。极小值原理是由前苏联学者庞德里亚金1956年提出的。由于极大和极小可以认为只差一个负号，所以庞德里亚金极小值原理又称为极大值原理。由于极小值原理是由变分法引申而来，因此，它的结论与变分法的结果有许多相似之处。但由于它能求解控制变量受到边界限制的最优控制问题，并且不要求哈密顿函数对控制量可微，所以获得了广泛的应用。第16页/共35页17设系统的状态方程为7.4.1 连续系统的极小值原理不等式约束为 要求终端状态满足等式约束 性能指标为 则最优控制、最优轨迹和最优伴随向量必须满足下列条件：设哈密顿函数为（1）沿最优轨线满足正则方程（2）横截条件和边

9、界条件（3）在最优轨迹上与最优控制相对应的函数取绝对极小值，即 第17页/共35页187.4.1 连续系统的极小值原理例 7.4 已知系统的状态方程为：初始状态和终端状态分别为控制量受到不等式的约束 求最优控制，使系统从初始状态转移到终端状态的时间最短。解 这是最短时间的最优控制问题，因此，系统的性能指标为解得第18页/共35页197.4.1 连续系统的极小值原理由于控制是受约束的，所以要用极小值原理求解。哈密顿函数为 由于 ，当 并且 的符号与 相反时，可使H为最小，所以最优控制为第19页/共35页207.4.2 离散系统的极小值原理 求解离散系统的最优控制的方法，与上述连续系统的方法相似。

10、离散系统极小值原理与连续系统极小值原理的对应关系如表7.2所示。第20页/共35页217.5 线性二次型最优控制在最优控制问题中，若系统是线性的，且性能指标为二次型函数，则称为线性二次型调节器问题，简称LQR(Linear Quadratic Regulator)问题。由于二次型性能指标具有鲜明的物理意义，代表了大量工程实际问题中提出的性能指标要求，并且在数学上容易处理，而且可以得到线性状态反馈的最优控制律，易于工程实现，因而在实际工程问题中得到了广泛的应用。第21页/共35页227.5.1 线性二次型最优控制问题设线性系统是状态完全能控的 最优控制的性能指标为状态向量和控制向量的二次型函数

11、上述问题称为线性二次型最优控制问题。线性二次型调节器问题的提法具有普遍的意义。例如，在化工过程控制中，给定一个设计的操作工况，希望设计一个控制系统，使生产过程恒定在该工况下，这就是所谓的定值调节系统。LQR调节器问题的物理概念与定值调节的概念是一致的，若系统受外界扰动，偏离平衡点(不失一般性，可假定平衡点为零状态)到某一初始状态，LQR调节器问题就是设计一控制律使系统状态回到零状态附近，并满足二次型目标函数为最小。第22页/共35页237.5.2 连续系统有限时间状态调节器定理：设线性时变系统的状态方程为二次型性能指标为则最优控制存在且唯一，并由下式确定 第23页/共35页24例7.6 设被控

12、系统为 7.5.2 连续系统有限时间状态调节器性能指标为求系统的最优控制律。解 设正定对称矩阵满足黎卡提矩阵微分方程：第24页/共35页25得到下列线性代数方程组：7.5.2 连续系统有限时间状态调节器 利用计算机解上述微分方程，可以得到从 到 的 的值，从而得到最优控制为 由于状态反馈系数是时变的，所以在设计最优控制系统时需要先求出 和 的值，并存储在计算机中，在控制时再取出所需要的 和 的值。第25页/共35页267.5.3 连续系统无限时间定常状态调节器设线性定常系统的状态方程为设系统完全可控，状态向量，控制向量不受约束，性能指标为则最优控制存在且唯一，并由下式确定 其中，K为正定对称矩

13、阵，是下列黎卡提矩阵代数方程的唯一解而最优状态则是下列线性微分方程的解性能指标的最小值为第26页/共35页27例7.7 设7.5.3 连续系统无限时间定常状态调节器确定最优控制。解 系统可控性判别矩阵为所以，系统完全可控。设K矩阵为由矩阵K是正定的要求得即 将K代入黎卡提矩阵代数方程，得第27页/共35页28系统的最优控制为7.5.3 连续系统无限时间定常状态调节器解得 第28页/共35页29设线性离散系统的状态方程为7.5.4 线性离散系统状态调节器1.有限时间状态调节器有限时间状态调节器的二次型性能指标为最优控制规律为 第29页/共35页30离散系统状态调节器的结构图如图7.5所示。7.5

14、.4 线性离散系统状态调节器第30页/共35页317.5.4 线性离散系统状态调节器2.无限时间状态调节器对于无限时间状态调节器，性能指标为最优控制规律为最优性能指标为第31页/共35页327.5.4 线性离散系统状态调节器例7.8 设线性离散系统的状态方程为 控制不受约束。性能指标为 求最优控制序列，使性能指标为最小。解 最优控制的参数为 黎卡提差分方程为 由于 N=2逆时间方向求解，因此得 最优控制规律为 第32页/共35页337.5.4 线性离散系统状态调节器则 则作用下的最优状态为作用下的最优状态为最优性能指标为第33页/共35页34THE END第34页/共35页35感谢您的观看！第35页/共35页