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1、第一节理赔额的分布第1页/共92页一、常用名词 投保人（insurer）承保人,保险公司（insurance）损失事件（losseventorclaim）注意：事故不等于损失事件损失额（loss）理赔事件（paymentevent）赔付额，理赔额（amountpaid）注意：损失事件不等于理赔事件，理赔额不等于损失额第2页/共92页记号：X表示投保人实际损失额（ground-uploss）。Y表示保险人每次理赔事件的赔付额(amountpaidper payment)，简称理赔额;Y*表示投保人每次损失事件中获得的实际索赔额(amountpaidper loss)第3页/共92页二、常见的部分
2、赔偿形式1、免赔额（deductible）含义：当损失额低于某一限额时不做赔偿，这一限额称为免赔额（或自付额），当损失额高于免赔额，只赔偿高出的部分。例如免赔额为50元数学形式：第4页/共92页例1：已知某风险标的的原始损失额如下：012340.40.20.20.150.5假设免赔额为1，求每次理赔事件的赔付额Y和每次损失事件的赔付额的分布。第5页/共92页012340.40.20.20.150.05001230.2/0.40.15/0.40.05/0.40.40.20.20.150.05第6页/共92页YL的分布容易计算，第7页/共92页YP的分布是在Xd的条件下，Xd的条件分布。记YP的分
3、布函数记为F YP(y)，当y0时为，当y0时，YP的分布密度函数可以写为第8页/共92页2、保单限额（Policylimit）含义：每次保险事故中按保险单所约定的最高赔偿金额。例如:最高保单限额为1500元数学形式：,第9页/共92页请问：当免赔额和保单限额同时存在时，情况会怎样？例2:设某医疗保险单上规定了免赔额为100,保单限额为5,000，有三个投保人看病花费分别为50,4000,和5500,问他们获得的赔付额各是多少?第10页/共92页注意：如果同时规定最高保单限额为u，免赔额为d，则投保人所能得到的最高赔偿金额为u。未定义第11页/共92页解：设Xi表示第i个投保人的损失额,Yi表
4、示他所获得的赔付,则所以，由X1=40,X2=4000,X3=5500,得Y1=0,Y2=4000-100=3900,Y3=5000第12页/共92页例3：假设某险种的保单规定免赔额为100元，保单限额为900元。假设损失服从Weibull分布，求理赔额YP的分布。第13页/共92页解：设X表示实际损失额，YP表示理赔额，则YP的分布函数和分布密度分别为未定义第14页/共92页当y900时，当时，第15页/共92页3、比例分担含义：在保险单中约定一个比例常数，当损失事故中的实际损失额为X时，保险公司只赔付aX，例如，a0.8当免赔额、保单限额和比例分担三者同时存在时未定义第16页/共92页第1
5、7页/共92页三、理赔额的期望 记号第18页/共92页显然，设X表示损失额，YP表示每次赔偿理赔额，YL每次损失的赔付额免赔额情形：保单限额第19页/共92页保单限额、免赔额同时存在比例分担、保单限额、免赔额同时存在：第20页/共92页1、有限期望函数 性质1.2.对于非负随机变量X,3、对非负随机变量X,第21页/共92页证明：第22页/共92页例4 4：设某险种的损失额X具有密度函数x0,假定最高理赔额为u=4万元,求理赔额的期望是多少?解：设理赔额为Y，则由第23页/共92页知第24页/共92页2、剩余期望函数E(X)，eX(d)与E(Xd)的关系E(X)=E(Xd)+eX(d)(1-F
6、(d)第25页/共92页例5：设某险种的损失额X具有密度函数假定免赔额等于0.2万元,求每次损失事件实际赔付额和每次理赔额事件理赔额Y的期望。第26页/共92页解经计算得到 ，且第27页/共92页上面的例子可以总结为下面的定理：定理设X表示实际损失额，免赔额为d，比例分担额a,保单覆盖的最大损失u，则每次损失赔付额YL和赔偿的理赔额Y的期望分别为第28页/共92页证明：保单覆盖的最大损失u，则最高赔偿额为可以表示为所以由于YP是Xd条件下，的值，因此第29页/共92页四、通货膨胀效应1、通货膨胀率已知为r对损失额的影响设X表示过去时期内损失额,Z表示现在或未来时期内的损失额,则两者的关系为Z=
7、(1+r)X。容易计算得到第30页/共92页对理赔额的影响：定理：设X表示实际损失额,免赔额为d,保单覆盖的最大损失u和比例分担额a,通货膨胀率为r,则明年每次损失赔付额为每次理赔的理赔额为第31页/共92页第32页/共92页例6假设某险种在2003年的实际损失额服从离散分布。保单上规定每次损失的免赔额为1500元。假设从2003年到2004年的通货膨胀额为5，2004年的免赔额保持不变，求2004年的每次损失赔付额的期望是多少。比今年相比，增长率是多少？第33页/共92页解今年每次损失的索赔额为明年每次损失的索赔额为增长率为8第34页/共92页2通货膨胀率是随机的考虑模型Y=CX,随机变量C
8、和X是独立的,C1，C表示随机通货膨胀,一般是主观预测得来，设其分布函数为FC(c),密度为fC(c)。若X的分布函数为满足 ，则第35页/共92页容易计算出，明年的损失额的期望和方差为这是因为第36页/共92页例7预测明年的通货膨胀率在2%到6%之间，而且低通货膨胀率的可能性更大。设损失X服从均值为10的指数分布，求明年损失额的期望。第37页/共92页解：不妨考虑这样一个密度函数其中这个密度函数满足低通货膨胀率的可能性更大这个条件。经计算得到C的期望和方差为第38页/共92页于是由公式计算得到第39页/共92页第2节理赔次数第40页/共92页主要内容1、母函数与矩母函数2、一张保单的理赔次数
9、分布3、理赔次数的混合分布4、理赔次数的复合分布5、免赔额对理赔次数分布的影响第41页/共92页1 1、N N的母函数与矩母函数设N是一个离散随机变量，取值于 0,1,2,记其母函数为矩母函数为母函数与矩母函数的关系第42页/共92页母(矩母)函数性质1、若N的母(矩母)函数存在，那么母(矩母)函数与分布函数是相互唯一决定的。2、由母(矩母)函数可以导出矩的计算：第43页/共92页请问3、设NN1+Nn,Ni相互独立，则第44页/共92页二、一张保单的理赔次数分布1、泊松分布(Poisson)对于保险公司而言，客户因发生损失而提出理赔的人数类似于等待服务现象，因此对大多数险种来说，个别保单的理
10、赔次数可用泊松分布来表示，即在单位时间内个别保单发生理赔次数N的分布列为：在单位时间内理赔次数N的分布列为第45页/共92页泊松分布的性质：（1）均值和方差（2）母函数（3）矩母函数（4）可加性第46页/共92页定理1：设,是相互独立的泊松随机变量，参数分别为，则服从泊松分布，参数为。证明：故N服从泊松分布，参数为。第47页/共92页（5）可分解性假设损失事故可以分为m个不同类型C1,CmEi表示第i类事故发生。pi表示第i类事故发生的概率，Ni表示第i类事故发生的次数，N表示所有事故发生的次数。定理2 2：若N服从参数为l的泊松分布，则N1,N2,Nn都是相互独立的，且服从泊松分布，参数分别
11、是lpi，。第48页/共92页证明：给定N=n，Ni|n服从二项分布B(1,pi)，N1,Nn服从多项分布因此其中nn1+n2+nn第49页/共92页因此，的联合分布等于Ni分布的乘积，Ni是相互独立的随机变量。第50页/共92页例1：设N表示损失事故发生的次数，X表示损失额，服从泊松分布，l=10，XU0,20。问损失额超过5的事故发生次数的概率分布。解：令E表示事件“损失额超过5”所以损失额超过5的次数服从参数为100.75=7.5的泊松分布。第51页/共92页例2：假设某险种的个体保单损失X的分布为又假设个体保单在一年内发生的损失事件的次数N服从泊松分布，l200。Ni表示损失额为i的损
12、失事件的次数。（1）求的分布。（2）假设免赔额为1，求个体保单在一年内发生的理赔事件次数的分布。第52页/共92页解：由于，且N服从泊松分布，由定理知，Ni相互独立且服从泊松分布。参数li等于计算得到（2）留作课堂练习第53页/共92页2、其他常见的理赔次数分布（1）负二项分布其中：第54页/共92页负二项分布的性质（1）当r1，负二项分布退化为几何分布（2）母函数注意：我们这里的负二项是广义的负二项分布，r可以为非整数。第55页/共92页将化简得到（3）均值和方差第56页/共92页（2）二项分布性质（1）母函数与矩母函数第57页/共92页（2）均值与方差请问：如何从观察数据简单区别负二项分布
13、、二项分布和泊松分布第58页/共92页例3：设有100个40岁的投保人投保生命险，q表示一个投保人明年死亡的概率，问明年死亡人数的分布是什么？第59页/共92页3、(a,b,0)分布族上述3种分布都可以用(a,b,0)分布来表示定义：设随机变量N的分布列满足则称分布族为(a,b,0)分布族 注：泊松分布，二项分布，负二项分布是（a,b,0)分布族第60页/共92页泊松分布：负二项分布第61页/共92页第62页/共92页因此，当r1时，负二项分布是几何分布，二项分布第63页/共92页例4：设N是一随机变量，令，如果问N的分布是什么？解：由知，N服从二项式分布第64页/共92页练习：设X的分布属于
14、(a,b,0)分布族，已知求第65页/共92页三、理赔次数的混合分布背景：从保单中随意抽取一份保单，求该保单的理赔次数分布。同质性：指所有的保单相互独立，且都有相同的风险水平，即各保单的损失额的分布相同，损失次数的分布也相同。非同质性：保单组合中的每个保单风险水平各不相同。表示其风险水平。第66页/共92页数学模型设Q是一个随机变量，当Qq时，令 为Q的累积分布，u(q)为q的密度函数，则N的分布列为 或者N的分布称为混合分布。第67页/共92页例5：某司机总体被平均分成两个类型。每个司机发生车祸的次数都服从泊松分布。第一种类型的司机的平均发生车祸的次数服从（0.2，1.8）的均匀分布。第二种
15、类型的司机的平均发生车祸的次数服从（0.5，2.0）的均匀分布。从这个总体中随机抽取一个司机，求他不发生车祸的概率。第68页/共92页解第69页/共92页混合分布性质 1.母函数或者其中PN(z|q)表示在Qq条件下，N的母函数。2均值和方差 第70页/共92页常见的几种混合泊松分布1、离散型混合对于规模较小的保单组合，假设保单组合由n种不同的风险水平构成，泊松参数取值于,，设，。当Llk时，保单的损失次数服从参数为lk的泊松分布。则从保单组合中任意抽取一份保单的分布为第71页/共92页例6：假设投保车险的驾驶员可以分为两类，他们出事的次数服从泊松分布，其中好的一类的泊松参数为0.11，坏的一
16、类的泊松参数为0.70，好的驾驶员和坏的驾驶员的比例为0.94和0.06，则任意一个驾驶员出事的次数分布时多少？解第72页/共92页2、连续型的混合对于规模较大的保单组合，可以假设其中的泊松参数服从连续分布。以u(l)表示的密度函数，通常称为结构函数。则从保单组合中随机抽取一份保单的损失次数分布为性质：(1)母函数的表达式第73页/共92页（2）结构函数的唯一性，设P1和P2是两个混合泊松分布的母函数，分别表示为若P1(z)=P2(z)，则u(q)=v(q)。第74页/共92页例7：设Q的母函数为求N的分布。解：利用母函数公式第75页/共92页定理3：设保单组合中每张保单的理赔次数N服从泊松分
17、布，但参数l是一个随机变量，随每张保单变化而变化。若l服从伽玛分布，则N服从负二项分布。第76页/共92页四、理赔次数的复合分布问题：一次损失事故的发生可能会导致多份保单同时发生索赔，如何求索赔次数的分布。例1：设从城市A到城市B的某航线每个月有70个航班，假设每个航班有的可能性取消，假设每次飞行有的概率出事。进一步假设每趟飞机有200个座位，每次飞行有的就座率和6个机组人员，假设出事飞机上的每个人都死亡，并且都买了保险。求每个月此航线的索赔次数的期望和方差。.第77页/共92页解：令S表示下个月此航线的总索赔次数N表示下个月出行的航班数P表示飞机上的人员数，M表示乘客数D表示发生事故的死亡人
18、数，则。第78页/共92页定义：设M和N分别为两个计数随机变量，iid与M的分别相同，则N的分布称为的复合分布,的分布称为第一分布，M称为第二分布。背景：N表示单位时间内损失事故的发生数，M表示第i个损失事故产生的索赔次数，S表示单位时间内索赔的总次数。第79页/共92页S的性质母函数第80页/共92页例1：M服从泊松分布，N服从泊松分布，第81页/共92页例2：求例1中S的母函数：，第82页/共92页均值和方差第83页/共92页例1续：求例1中S的期望和方差第84页/共92页第85页/共92页注意：当免赔额存在时，理赔次数不等于损失次数。1、免赔额存在时X表示损失，NL表示损失次数，d表示免
19、赔额，NP表示理赔次数，五、免赔额对理赔次数的分布的影响第86页/共92页例：设某损失事件的损失额有几种可能，发生的概率分别为，假设损失事件的次数服从的负二项分布，免赔额为50，求赔偿事件的次数的分布。解NP服从负二项分布。第87页/共92页命题1命题1：假设NL的母函数，其中B(.)是与参数无关的函数，则NL和NP的分布类型没有变化。证明：第88页/共92页注：所有的分布都保持原来的类型。损失次数NL的分布理赔次数NP的参数期望理赔次数数泊松分布二项式分布，负二项式分布第89页/共92页2、免赔额发生变化时设原来的免赔额为d，现在免赔额调整为d*，请问调整后新理赔次数发生了什么变化。记Nd表示免赔额为d的理赔次数，Nd*表示理赔额为d*的理赔次数，设v表示在免赔额提高后，以前的索赔事件能够继续获得赔偿的比例，则第90页/共92页令I=1表示继续获得赔偿，表示I=0不能继续获得赔偿当d*d时，若N的分布为（a,b,0），则Nd*分布类型不会发生变化，参数有变化当d*d时,此时Nd*的参数可能超出原频率分布的参数范围，因此我们不能考虑这种情形。第91页/共92页感谢您的观看！第92页/共92页