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1、系统误差 误差大小、符号按一定规律变化或保持常数 具有累计性偶然误差 误差大小、符号无规律变化 抵消性 粗粗 差差 由于粗心和干扰产生大于限差的误差3/20/2023 7:27 AM第1页/共65页7.1.3.多余观测多余观测必要观测必要观测 距离往返测距离往返测 水准红黑面读数水准红黑面读数 角度多测回角度多测回 多余观测多余观测差值差值评定精度评定精度3/20/2023 7:27 AM第2页/共65页7.1.4 偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律 真误差真误差 定义式：定义式：i i=LiX （X真值；真值；L观测值）观测值）3/20/2023 7:27 AM第3页/共65页3/20/2
2、023 7:27 AM误差区间误差区间正正 误误 差差负负 误误 差差合合 计计个数个数k频率频率k/n个数个数k频率频率k/n个数个数k频率频率k/n0.00.2450.126460.128910.2540.20.4400.112410.115810.2260.40.6330.092330.092660.1840.60.8230.064210.059440.1230.81.0170.047160.045330.0921.01.2130.036130.036260.0731.21.460.01750.014110.0311.41.640.01120.00660.0171.6以上以上000000
3、总和总和1810.5051770.4953581.000第4页/共65页3/20/2023 7:27 AM第5页/共65页 (1)有界性有界性 在一定的观测条件下，偶然误差不会超过某一定值 (2)单峰性单峰性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大 (3)对称性对称性 绝对值相等的正、负误差出现的可能性相等 (4)抵偿性抵偿性 当观测次数无限增加，偶然误差的算术平均值趋向零 误差分布-正态分布 标准差3/20/2023 7:27 AM第6页/共65页正态分布曲线的数学方程式3/20/2023 7:27 AM第7页/共65页=3.1416 e=2.7183 为标准差2 为标准差的平方，称为
4、方差。3/20/2023 7:27 AM第8页/共65页甲系统误差3/20/2023 7:27 AM第9页/共65页乙偶然误差3/20/2023 7:27 AM第10页/共65页丙偶然误差3/20/2023 7:27 AM第11页/共65页测量精度测量精度3/20/2023 7:27 AM第12页/共65页7.2 评定精度的标准评定精度的标准 7.2.1 标准差标准差与与中误差中误差 (1)定义式定义式 3/20/2023 7:27 AM第13页/共65页按观测值的真误差计算中误差序号序号第一组观测第一组观测第二组观测第二组观测观测值观测值真误差真误差2 2观测值观测值真误差真误差2 21 1
5、17959591795959-1-11 118000081800008+8+864642 217959581795958-2-24 417959541795954-6-636363 318000021800002+2+24 418000031800003+3+39 94 417959571795957-3-39 918000001800000000 05 518000031800003+3+39 917959531795953-7-749496 618000001800000000 017959511795951-9-981817 717959561795956-4-4161618000081
6、800008+8+864648 818000031800003+3+39 918000071800007+7+749499 917959581795958-2-24 417959541795954-6-63636101018000021800002+2+24 418000041800004+4+41616+2+26060+2+2404404中误差【】=60 n=10=60 n=10【】=404 n=10=404 n=10m m1 1=2.5=2.5m m2 2=6.4=6.43/20/2023 7:27 AM第14页/共65页(2)概率意义概率意义3/20/2023 7:27 AM第15页/共
7、65页7.2.2.极限误差极限误差P(|1 m)=0.683=68.3%P(|2 m)=0.954=95.4%P(|3 m)=0.997=99.7%所以，一般容许或极限误差取：3/20/2023 7:27 AM第16页/共65页7.2.3.相对误差相对误差 K(1)定义定义 (2)适用情况适用情况 例：丈量200m和80m的中误差都是20mm，精度怎样描述？3/20/2023 7:27 AM第17页/共65页中误差 m极限误差 允=2 m相对中误差绝对误差平均误差 或然误差 3/20/2023 7:27 AM第18页/共65页则函数的中误差与观测值中误差之间的关系式7.37.3误差传播定律误差
8、传播定律 设有一般函数：误差传播定律误差传播定律描述观测值的中误差与观测值函数的中误差之间的关系(5-27)3/20/2023 7:27 AM第19页/共65页1、按问题要求写出函数式2、对函数式全微分3、写出函数的中误差与观测值中误差之间的关系式1）函数中误差的计算方法：3/20/2023 7:27 AM第20页/共65页第21页/共65页例 S=a babbmaambma mb3/20/2023 7:27 AM第22页/共65页2 2）特殊函数中误差的计算方法：（1）、倍函数中误差（2）、和或差函数中误差（3）、线性函数3/20/2023 7:27 AM第23页/共65页（1 1）、倍函数
9、中误差 设有函数：z=k x 式中k为常数；x为观测值，其中误差为mx；则函数Z的中误差为mz mz=k mx 即观测值与某一常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘该常数3/20/2023 7:27 AM第24页/共65页 z=k x ZI=k xI (ZI)2=(k xI)2 mz2=k2 mx2 mz =k mx3/20/2023 7:27 AM第25页/共65页例 在1：500地形图上，量得某线段的平距为dAB=51.2mm0.2mm，求AB的实地平距DAB及其中误差mD。解：函数关系为 DAB=500 dAB=25600 mm 中误差式为 m DAB=500 m dAB=100 mm D
10、AB=25.600 0.1 m 3/20/2023 7:27 AM第26页/共65页（2 2）、和或差函数中误差设有函数：z=x y x、y为观测值，其中误差分别为mx、my；则函数Z的中误差为mz mz2 =mx2 my2 即两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差平方之和。3/20/2023 7:27 AM第27页/共65页原理HB=HA+(a b)3/20/2023 7:27 AM第28页/共65页例 水准测量测站高差计算公式为h=a-b。已知后视读数的中误差为ma1mm，前视读数的中误差为mb1mm，求每测站高差的中误差m h。解：函数关系为 h=a b 中误差式为 m h=1.
11、41mm3/20/2023 7:27 AM第29页/共65页推广式设有函数：z=x1 x2 xn x、y为观测值，其中误差分别为mxi、；则函数Z的中误差为mz mz2=m12 m22 mn2 即n个观测值代数和的中误差平方，等于n观测值中误差平方之和。当m1=m2=mn=m时；则有 mz2=m2 m2 m2 mz2=n m2 mz=n m 3/20/2023 7:27 AM第30页/共65页（3 3）、线性函数设有函数：z=k1 x1 k2x2 knxn 式中ki 为常系数；xi为独立观测值，其中误差分别为mxi、；则函数Z的中误差为mz mz2=k12 m12 k22 m22 kn2 mn
12、2 即一组常数与一组独立观测值乘积代数和的中误差平方，等于各常数与相应观测值中误差乘积的平方之和。3/20/2023 7:27 AM第31页/共65页例 对某段距离测量了n次，观测值为l1,l2,ln,观测值为相互独立的等精度观测，观测值的中误差为m，求算术平均值的中误差mx。函数关系为 全微分式 中误差式为 3/20/2023 7:27 AM第32页/共65页例光电测距三角高程公式为 h=Dtan+i v，已知D=192.263m0.006m，=89166，i =1.515m0.002m v =1.627m0.002m求高差h的中误差mh。3/20/2023 7:27 AM第33页/共65页
13、函数关系为 h=Dtan+i v，其全微分式为 中误差式为 Mh=7mm h=27.437=0.007m 3/20/2023 7:27 AM第34页/共65页计算实例计算实例 1.【例例7-2】课本课本P124，任意函数任意函数 2.【例例7-3】课本课本P125，倍函数倍函数 3.【例例7-4】课本课本P125，和差函数和差函数 4.【例例7-5】课本课本P125，线性函数线性函数3/20/2023 7:27 AM第35页/共65页中误差的计算中误差的计算 注意：注意：（1）如果是距离）如果是距离D，则则需要计算需要计算相对误差相对误差K；（2）如果是角度）如果是角度，则则不要不要计算相对误
14、差计算相对误差K。3/20/2023 7:27 AM第36页/共65页7.3.2误差传播定律的应用1）钢尺分段量距的精度2）一般水准测量的精度（1）水准尺读数中误差第37页/共65页（2）一测站的高差中误差（3）依据测站数计算高差中误差（4）依据线路长度计算高差中误差第38页/共65页（5）往返测所得高差闭合差的容许值第39页/共65页3）经纬仪测量水平角的精度（1）半测回方向值中误差（2）半测回角值中误差（3）上、下半测回角值之差的中误差（4）一测回角值中误差第40页/共65页7.4 等精度观测值的精度评定观测值的精度评定 7.4.1 算术平均值算术平均值证明：证明：算术平均值算术平均值=最
15、可靠值最可靠值7.4.2 改正数改正数 v=xL 特点：特点：(1)v=0（可证明）可证明）(2)vv=min（可证明）可证明）3/20/2023 7:27 AM第41页/共65页V1=x-l1V2=x l2。Vn=x lnv=n x-l v=03/20/2023 7:27 AM第42页/共65页vvmin=(x-l1)2+(x-l2)2+(x-ln)2 d vv/d x=2 (x l)=0 n x l=0 x=l /n等精度观测值的算术平均值x即为：最可靠值3/20/2023 7:27 AM第43页/共65页7.4.3 等精度观测值的中误差因为在大多数情况下为未知V1=x l1V2=x l2
16、 。Vn=x ln1 X l12 X l2。n=X ln只能通过上面两关系式找出 m 与 v 之间的关系3/20/2023 7:27 AM第44页/共65页观测值中误差：3/20/2023 7:27 AM第45页/共65页7.4.4算术平均值中误差第46页/共65页用改正数(v)计算最或是值中误差：第47页/共65页表7-2算术平均值：观测值中误差：算术平均值中误差：序号L（m）V（cm）VV 精 度 评 定1251.52-39最后结果可写成x=251.490.01（m）2251.46+393251.49004251.48-115251.50+11V=0VV=20算术平均值相对中误差：第48页
17、/共65页7.5 非等精度观测值的精度评定（1）不等精度观测 不同观测条件（2）不等精度观测权 权大，精度高，观测值可靠性强 权小，精度低，观测值可靠性差第49页/共65页问题:怎样求P点的高程ACBPN3=35站N2=20站N1=15站S1=2kmS3=4kmS2=3kmh1h2h3HP=HA+h1HP=HB+h2HP=HC+h33/20/2023 7:27 AM第50页/共65页第一组观测了四次,l1,l2,l3,l4 第二组观测了两次,l1,l2例 对某一观测量进行了两组观测:3/20/2023 7:27 AM第51页/共65页x1=(l1+l2+l3+l4)/4x2=(l1+l2)/2
18、 l1 l2 l3 l4 l1 l2的精度是相同的，x1与x2的精度是不同的!X=(l1+l2+l3+l4+l1+l2)/6 =(4 x1+2 x2)/(4+2)3/20/2023 7:27 AM第52页/共65页单位权 等于1的权单位权观测值 P=1的观测值 单位权中误差 单位权观测值的中误差权的概念中误差小，精度高，观测值可靠性大，权大中误差大，精度低，观测值可靠性差，权小3/20/2023 7:27 AM第53页/共65页权与中误差关系l1 l2 l3 l4 l1 l2的精度是相同的，设其中误差皆为m，则x1与x2的中误差分别为 3/20/2023 7:27 AM 上式可以说明可以任意选
19、择 的值，但并不改变观测值之间的权的比。第54页/共65页距离、高差、角度观测值的定权方法同精度丈量时，边长的权与边长成反比 Pi=c/si当每公里水准测量精度相同时，水准路线观测高差的 权与路线长度成反比 Pi=c/si由角度观测值求算术平均值时，其权与观测值个数（测回数）成正比 Pi=ni/c3/20/2023 7:27 AM第55页/共65页例 设对某量进行了n次等精度观测，求算术平均值的权。解：设一测回角度观测值中误差为m 则算术平均值的中误差为 令=m 一测回角度观测值权为p=2/m2=1 算术平均值的权为 p=2/m x2=n3/20/2023 7:27 AM第56页/共65页7.
20、5.2 权及中误差加权算术平均值：3/20/2023 7:27 AM第57页/共65页加权平均值的中误差 怎么求？3/20/2023 7:27 AM第58页/共65页7.5.3 单位权中误差的计算 （怎么求？）因为可以用i代替mi，n2=pm2=p2=p/n实际应用时，v=x l 3/20/2023 7:27 AM第59页/共65页单位权中误差2=pvv /(n-1)加权平均值中误差 mx=/p 3/20/2023 7:27 AM第60页/共65页例7-8第61页/共65页 算例7-9序号测回数观测值权pivipi vi2备注1240 20 142+4322440 20 174+143640
21、20 206-2241660X=402018 =5.5 mx=1.63/20/2023 7:27 AM第62页/共65页课堂作业：课堂作业：设某矩形长和宽分别为设某矩形长和宽分别为A、B，其测量中误差分别为，其测量中误差分别为 mA、mB，试求其周长，试求其周长和面积的中误差。和面积的中误差。课外作业：课外作业：7.2、7.3、7.4、7.10、7.14 3/20/2023 7:27 AM第63页/共65页本章小结1、测量误差（来源、分类、处理方法）。2、偶然误差及其特性3、精度的概念：等精度、非等精度粗差。4、精度标准：标准差、中误差、极限误差、容许误差、相对误差。5、误差传播定律及应用。6、权的概念；定权方法；非等精度观测值精度评定；单位权中误差计算。第64页/共65页感谢您的观看！第65页/共65页