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1、范例范例8.4 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律解析解析(1)在三维速度空间中，在速度间隔在三维速度空间中，在速度间隔vxvx+dvx、vyvy+dvy、vzvz+dvz内，分子数占总分子数的比例为内，分子数占总分子数的比例为其中其中dvxdvydvz是速度空间的是速度空间的“体积体积”元。元。当分子以速率当分子以速率v运动时，速度的平方为运动时，速度的平方为v2=vx2+vy2+vz2，“体积体积”元可表示为元可表示为dvxdvydvz=v2dvsindd。对方位角对方位角从从0到到2积分，对仰角积分，对仰角从从-/2到到/2积分，积分，“体积体积”元元就变为就变为4v2dv，这是半径为
2、，这是半径为v，厚度为，厚度为dv的球壳的的球壳的“体积体积”。上式可改写为上式可改写为第1页/共12页范例范例8.4 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律取取这就是麦克斯韦这就是麦克斯韦速率分布函数。速率分布函数。f(v)dv是速率区间是速率区间vv+dv内分子数占总分子数的比例，内分子数占总分子数的比例，是归一化常数。是归一化常数。f(v)的单位是速度的单位是速度单位的倒数单位的倒数s/m。在速率区间在速率区间v1v2之内，或者在之内，或者在v-v/2 v+v/2之内之内(v=v2-v1)，分子数占总分子数的比例近似为，分子数占总分子数的比例近似为可知：分布函数下的面积表示分子数占总分子数
3、的比例可知：分布函数下的面积表示分子数占总分子数的比例。第2页/共12页取速率间隔为100m/s，速率分布函数由直方条组成，其顶部呈阶梯形折线。速率在0100m/s之内的分子数占总分子数的比例约为1.04%，速率在100m/s200m/s之内的分子数占总分子数的比例约为8.11%，速率在300m/s400m/s之内的分子数占总分子数比例最高，大约为21.8%，速率在900m/s1000m/s之内的分子数占总分子数比例只有0.658%。由于速率间隔比较大，分子数比例的误差也比较大。第3页/共12页取速率间隔为50m/s，直方条变窄，顶部的阶梯变小。速率在050m/s之内的分子数占总分子数比例约为
4、0.131%，速率在50100m/s之内的分子数占总分子数比例约为1.14%，因此速率在0100m/s之内的分子数占总分子数比例约为1.27%。速率间隔为100m/s的分子数比例都可分为两个间隔为50m/s的分子数比例之和。极大值在350m/s400m/s速率区间，极大值为0.0022043。由于速率间隔减小了，分子数比例的误差也减小了。第4页/共12页取速率间隔为25m/s，直方条更窄，顶部的阶梯更小。速率在0100m/s之内的分子数占总分子数比例约为1.33%。极大值在375m/s400m/s速率区间，极大值为0.0022007。速率间隔为100m/s的分子数比例都可分为四个间隔为25m/
5、s的分子数比例之和。速率间隔越小，分子数比例就越精确。第5页/共12页第6页/共12页速率间隔不断减小，直方条越来越窄。当速率间隔很小时，直方条很窄，直线都连成一片，顶部的阶梯几乎消失。速率在0100m/s之内的分子数占总分子数比例约为1.35%。极大值在376.6m/s378.1m/s速率区间，极大值为0.0022044。当速率间隔趋于零时，顶部将趋于光滑的曲线，极大值范围趋于一点，极大值越精确。第7页/共12页范例范例8.4 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律解析解析(2)当当v=0时，时，f(v)=0；当；当v时，时，f(v)0。由于由于f(v)不小于零，因此不小于零，因此f(v)必有
6、极大值。必有极大值。令令df(v)/dt=0，即，即可可得得这个速率称为这个速率称为最概然速率。最概然速率。分布函数的分布函数的极大值为极大值为温度越高或分子质量温度越高或分子质量越小，最概然速率就越小，最概然速率就越大，分布函数的极越大，分布函数的极大值就越小。大值就越小。质量一定的分子，温度是参数，质量一定的分子，温度是参数，麦克斯韦速率分布的函数曲线麦克斯韦速率分布的函数曲线会随参数不同而有所改变；会随参数不同而有所改变；在相同的速率间隔之内，最在相同的速率间隔之内，最概然速率附近的分子数最多。概然速率附近的分子数最多。分子向着各个方向运动时，在很大分子向着各个方向运动时，在很大或很小的
7、速率附近，分子数都很少。或很小的速率附近，分子数都很少。在温度一定的情况下，不同在温度一定的情况下，不同分子的质量是参数，函数曲分子的质量是参数，函数曲线会随参数而有所改变线会随参数而有所改变。第8页/共12页对于分子质量一定的气体，温度升高则峰值降低，说明：在相同的速率间隔内，向着各个方向运动的速率小的分子数量减少了，速率大的分子数量增加了，分子运动得更剧烈了。氧气分子在300K时的最概然速率约为395m/s，在600K时的最概然速率约为558m/s。第9页/共12页氢气分子的分子量是2，是氧气分子质量的1/16，在300K的温度下，最概然速率是氧气分子的4倍，达到1579m/s。氟气分子的分子量是38，在相同的温度下的最概然速率只有362m/s。第10页/共12页当气体温度一定时，质量较小的分子的速率分布曲线的峰值较低，说明：在相同的速率间隔内，向着各个方向运动的速率大的分子数量比较多，速率小的分子数量比较少。地球的逃逸速率约为1120m/s，由于氢气分子速率分布较宽，很多氢气分子的速率超过逃逸速度，能够脱离地球的吸引，因而大气中的氢气比较少。同理，空气中氦气也比较少。第11页/共12页感谢您的观看。第12页/共12页