概率的定义及其性质.pptx

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1、1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University Henan Polytechnic University 11.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质 事件的频率事件的频率 概率的公理化定义概率的公理化定义 概率的性质概率的性质第1页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University Henan Polytechnic University 2研研究随机现象的统计规究随机现象的统计规律律性的数学学科性的数学学科。什么是统计规律性什么是统计规律性?统计规统计

2、规律律性是指在大量试验中性是指在大量试验中呈呈现出的数量规现出的数量规律。律。一个随机事件在一次试验中发生的可能性大小一个随机事件在一次试验中发生的可能性大小的数量指标的数量指标刻画刻画称为该事件的概率。称为该事件的概率。什么是概率什么是概率?如何定义概率如何定义概率?第2页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University Henan Polytechnic University 3正面朝上正面朝上例：例：“抛硬币抛硬币”试验，试验，将一枚硬币连续抛将一枚硬币连续抛 次，次，记记次试验中次试验中发生的次数发生的次数若若 是两

3、两不相容事件是两两不相容事件,则则频率：频率：频数：频数：频率的性质：频率的性质：频率有没有稳定性？频率有没有稳定性？第3页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University Henan Polytechnic University 4试验试验序号序号1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 72 23 31 1 5 5 1 1 2 2 4 422222525212125252424181827272512512492492562562472472512512622622582580.40.40.60.60.20.2

4、1.01.00.20.20.40.40.80.80.440.440.500.500.420.420.480.480.360.360.540.540.5020.5020.4980.4980.5120.5120.4940.4940.5240.5240.5160.5160.500.500.5020.502例：例：将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 5 次、次、50 50 次、次、500 500 次次,各做各做 7 7 遍遍,观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.波动较小波动较小波动较大波动较大波动最小波动最小随随 n 的增大的增大,频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性第4页/共26页1.

5、3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University Henan Polytechnic University 50.50050.500512012120122400024000皮皮 尔尔 逊逊0.50160.5016601960191200012000皮皮 尔尔 逊逊0.50690.50692048204840484048蒲蒲 丰丰0.51810.51811061106120482048德德摩根摩根实验者实验者第5页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University Hen

6、an Polytechnic University 6例：例：高尔顿高尔顿(Galton)(Galton)板试验，试验板试验，试验模型如下所示模型如下所示:自上端放入一小球，任其自由下自上端放入一小球，任其自由下落，在下落过程中当小球碰到钉子时，落，在下落过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会相等。从左边落下与从右边落下的机会相等。碰到下一排钉子时又是如此。最后落碰到下一排钉子时又是如此。最后落入底板中的某一格子。因此，任意放入一球，则此球落入入底板中的某一格子。因此，任意放入一球，则此球落入哪一个格子，预先难以确定。但是如果放入大量小球，则哪一个格子，预先难以确定。但是如果放入

7、大量小球，则其最后所呈现的曲线，几乎总是一样的。其最后所呈现的曲线，几乎总是一样的。第6页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University Henan Polytechnic University 7单击图形播放单击图形播放/暂停暂停ESCESC键退出键退出请看动画演示请看动画演示第7页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University Henan Polytechnic University 8由上述两例可知，频率具有下列特点：由上述两例可知，频率具有下列

8、特点：随机波动性随机波动性对相同或不同的试验次数，同一事件的频数不一定相同对相同或不同的试验次数，同一事件的频数不一定相同，从而所得的频率也不一定相同，因而无法用频率来度，从而所得的频率也不一定相同，因而无法用频率来度量事件发生的可能性的大小；量事件发生的可能性的大小；频率稳定性频率稳定性随着试验次数的无限增大，事件的频率逐渐稳定于某个常随着试验次数的无限增大，事件的频率逐渐稳定于某个常数，因而可用该常数来度量事件发生的可能性的大小。数，因而可用该常数来度量事件发生的可能性的大小。第8页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic Unive

9、rsity Henan Polytechnic University 9我们称这个稳定值我们称这个稳定值 p 为随机为随机事件事件 A 的概率。的概率。当试验次数当试验次数 很大时很大时,事件事件 的频率的频率 接近接近一个稳定值一个稳定值 p ，即有，即有概率的统计学定义概率的统计学定义由于频率的取值是由于频率的取值是“随机的随机的”，那么极限，那么极限 是什么意思值得研究是什么意思值得研究（第五章讨论该问题）。（第五章讨论该问题）。第9页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University Henan Polytechnic

10、 University 10 当试验次数当试验次数 n 相当大时，可以用频率作为概率的近似值：相当大时，可以用频率作为概率的近似值：事件频率的稳定性通常也称作相应事件发生的事件频率的稳定性通常也称作相应事件发生的统计规律统计规律性性。前苏联数学家科尔莫戈罗夫在前苏联数学家科尔莫戈罗夫在19331933年将频率的三条性质年将频率的三条性质演绎为三条公理，由此可得度量事件发生可能性大小的演绎为三条公理，由此可得度量事件发生可能性大小的概率的公理化定义。概率的公理化定义。第10页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University H

11、enan Polytechnic University 12概率的公理化定义概率的公理化定义公理公理1 1 非负性：非负性：公理公理2 2 规范性：规范性：公理公理3 3 可列可加性：对两两不相容的事件列可列可加性：对两两不相容的事件列 ，定义：定义：设设 是随机试验，是随机试验，称为事件称为事件 都赋予一个实数都赋予一个实数 ，是其样本空间，是其样本空间，对对 的的如果集合函数如果集合函数 满足下列三条公理：满足下列三条公理：每一个事件每一个事件 ，的概率，的概率，有有第12页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic Universit

12、y Henan Polytechnic University 13概率的性质概率的性质性质性质1 1：证明：证明：设设则则且且由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得第13页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University Henan Polytechnic University 14概率的性质概率的性质证明：证明：设设则则且且由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得若若性质性质2 2：（有限可加性）（有限可加性）两两互不相容两两互不相容事件，则有事件，则有第14页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性

13、质Henan Polytechnic University Henan Polytechnic University 15概率的性质概率的性质证明：证明：由由 知，知，且且由有限可加性得由有限可加性得设设性质性质3 3：是两个事件，是两个事件，若若 ，则则 ，且有且有从而从而故故第15页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University Henan Polytechnic University 16概率的性质概率的性质证明：证明：由由且且由性质由性质3 3可得可得设设性质性质4 4：是任意两个事件，是任意两个事件，则有则有第1

14、6页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University Henan Polytechnic University 17概率的性质概率的性质证明：证明：由于由于故由性质故由性质3 3，对任意事件对任意事件 ，性质性质5 5：有有证明：证明：因因故故对任意事件对任意事件 ，性质性质6 6：有有且且从而从而第17页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University Henan Polytechnic University 18概率的性质概率的性质证明：证明：因因且且

15、故有故有对于任意两个事件对于任意两个事件 ，性质性质7 7：有有事件解释为区域事件解释为区域概率解释为区域面积概率解释为区域面积第18页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University Henan Polytechnic University 19挖挖挖挖挖挖补补对于任意三个事件对于任意三个事件 ，推广推广1 1：有有第19页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University Henan Polytechnic University 20对于任意多个事件对于

16、任意多个事件 ，推广推广2 2：有有全加全加减二减二加三加三减四减四挖补规律：加奇减偶挖补规律：加奇减偶第20页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University Henan Polytechnic University 21解：解：因因设设练习题：练习题：求在下列三种情况下求在下列三种情况下的值？的值？设设与与互斥；互斥；第21页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University Henan Polytechnic University 22练习题：练习题：

17、设设 为三事件，且为三事件，且 生的概率。生的概率。求求 至少有一个发至少有一个发解：解：由题知所求为由题知所求为因因故故第22页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University Henan Polytechnic University 23练习题：练习题：设设 为随机事件，且为随机事件，且 ，则对任意随机，则对任意随机事件事件 ，必有（，必有（）分析：分析：因因故故从而从而进而进而第23页/共26页24小小 结结1.1.概率的定义概率的定义2.2.概率的性质概率的性质三条公理三条公理7 7 条性质条性质统计学定义统计学定义公理化定义公理化定义第24页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University Henan Polytechnic University 25课本课本作作 业业作业题：作业题：设设 ，若，若 与与 互不相容，则互不相容，则第25页/共26页1.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质Henan Polytechnic University Henan Polytechnic University 26感感谢您您的的观看。看。第26页/共26页