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1、外力特点：外力是一平衡力偶系，作用在垂直于杆轴线的平面内。变形特点：所有横截面绕杆轴线作相对转动，任意两横截面之间产生相对角位移，称为扭转角，用表示；纵向线也随之转过一角度。TT第1页/共58页扭矩的计算扭矩的计算 扭矩图扭矩图1.扭矩用Mx表示，单位：Nm,kNm。2.符号规定：按右手螺旋法则，以拇指代表横截面外法线方向，与其余4指转向相同的扭矩为正，反之为负。第2页/共58页3.计算方法：截面法 扭矩图 以平行于杆轴线的坐标为x坐标，表示横截面的位置；以垂直于杆轴线的坐标为Mx坐标，表示各横截面扭矩Mx的大小，画出的图形称为扭矩图。第3页/共58页例 画出如图所示圆轴的扭矩图。T3TTT1
2、23321ABCD第4页/共58页功率、转速与外力偶矩的关系功率、转速与外力偶矩的关系WW=T T =t tP P=WWt tT T=WW=PtPtt t=P P =2=2n n/60/60n n转速（转转速（转/分），分），P P以以kWkW计，则计，则T T=9.55=9.55P Pn n（kNkN mm）第5页/共58页应力分布应力分布应力公式应力公式变变 形形应变分布应变分布几何分析几何分析平面假定平面假定物理关系物理关系静力学方程静力学方程3-2 圆杆扭转时的应力圆杆扭转时的应力一、横截面上的应力OMxr第6页/共58页TT周线纵线周线纵线1.变形几何关系（1）变形后所有圆周线的大小
3、、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。（2）所有的纵线都转过了同一角度。abcddxabcddxa ab bc cd da ab bc cd dc c d d 第7页/共58页TT周线纵线abcddx（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。（2）所有的纵线都转过了同一角度。第8页/共58页平面假设：横截面变形后仍为平面，并如同刚片一样仅绕杆轴线做相对转动，其上任一半径始终保持为直线。由表及里，里外周线变形一致由表及里，里外周线变形一致第9页/共58页dxcrabOdO分析横截面上应变情况分析横截面上应变情况cdd f ecddc周线纵线abcddxfeg第10页/共5
4、8页rddxrtanr =eedxr =ddxr=r ddx=称为单位长度杆称为单位长度杆的相对扭转角的相对扭转角几何方程几何方程dxcrabOdOcdd fe f eg第11页/共58页2.物理关系切应变发生在垂直于半径的平面内，从而切应力也垂直于半径。根据实验得到，在弹性范围内=G剪切胡克定律G为切变模量cddc第12页/共58页横截面上切应力的分布规律Mxo =G3.静力学关系oMxdArdAMx=dAAMx=G2 dAAddx=AddxG2dAddx=G第13页/共58页令令I Ip p=A2dA=AddxG2dAMx=ddxGI Ip pddx=MxGI Ip p故故从而从而 =Mx
5、I Ip p =maxMxrI Ip p=MxWWp pWWp p=I Ip pr称为扭转截面系数称为扭转截面系数截面的极惯性矩截面的极惯性矩GI Ip p抗扭刚度抗扭刚度第14页/共58页二、极惯性矩和抗扭截面系数的计算1.实心圆截面 dI Ip p=A2dAd 432=d 316dA=2dI Ip p=A2dA=22d0d/2doWWp p=I Ip pr第15页/共58页2.空心圆截面 DdodI Ip p=D 432=(1-(1-4 4)D 432-d 432WWp p=D 316(1-(1-4 4)=d/D=d/D第16页/共58页3.薄壁圆环截面 r0Ddd0o第17页/共58页
6、例 直径为50mm的传动轴。电动机通过A轮输入功率，由B、C和D轮输出。已知A、B、C和D轮所受力偶矩分别为TA=3.18kNm，TB=1.43kNm，TC=0.80kNm，TD=0.95kNm。（1）作轴的扭矩图,(2）求轴的最大切应力。Mx/kNmx+-1.431.750.95 解：1.作扭矩图2.最大切应力第18页/共58页 Mx/kNmx+-1.431.750.952.最大切应力第19页/共58页解：各横截面上扭矩均为Mx=T=10kN m（1）实心圆截面dTTD/2TTD例 直径d=100mm的实心圆轴，两端受力偶矩T=10kNm作用，求横截面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为0
7、.5的空心圆轴，且横截面面积不变，问最大切应力是多少？第20页/共58页dTT（1）实心圆截面第21页/共58页（2）空心圆截面D/2TTD实心：空心：由面积相等，且内、外直径比=0.5第22页/共58页 例 两空心圆轴，横截面面积相等，内、外直径比值分别为0.6和0.8，在相同扭矩作用下，问哪一个的最大切应力大？0.6D1TTD10.8D2TTD2第23页/共58页 线弹性材料，弹性范围内加线弹性材料，弹性范围内加载，两种材料共同变形载，两种材料共同变形1.1.横截面上的切应力怎样分布；横截面上的切应力怎样分布；2.2.横截面上两种材料交界处的切应力横截面上两种材料交界处的切应力 是否连续；
8、是否连续；3.3.横截面上两种材料的最大切应力。横截面上两种材料的最大切应力。G1G2d2dG2 G1Mx思考题思考题第24页/共58页(b)dxdydz三、切应力互等定理xdx(a)oo(dydz)dx=(dxdz)dy MMOO OO=0=0故故 =第25页/共58页扭转圆轴纵截面上切应力？切应力互等定理：在任何受力杆件中，过一点相互垂直的两个截面上，垂直于两截面交线的切应力大小相等，并共同指向或背离这两面的交线。这是材料力学中普遍适用的一个定理dxdydzoo =第26页/共58页3-3 圆杆扭转时的变形圆杆扭转时的变形扭转超静定问题扭转超静定问题一、圆杆扭转时的变形一、圆杆扭转时的变形
9、 ddx=MxGI Ip p单位长度杆相对扭转角单位长度杆相对扭转角d dx x微段相对扭转角微段相对扭转角d=dx长长l l的圆杆两端截面相对扭转角的圆杆两端截面相对扭转角=d l l l l0 0MxdxGI Ip p当杆长当杆长l l范围内的范围内的 Mx、G及及I Ip p为常数时为常数时MxlGI Ip p=(rad)(rad)扭转角扭转角：横截面之间的相对角位移。：横截面之间的相对角位移。第27页/共58页 例 图示钢制实心圆截面传动轴。已知：T1=0.82kNm，T2=0.5kNm，T3=0.32kNm，lAB=300mm，lAC=500mm。轴的直径d=50mm，钢的切变模量G
10、=80GPa。试求截面C相对于B的扭转角。解:AB、AC两轴段的扭矩分别Mx1=0.5kNm，Mx2=0.32kNm。T2T1T3dBAClAClAB第28页/共58页T2T1T3dBAClAClABT1T3dAClACACMx1=0.5kNmMx2=0.32kNmlAC=500mmG=80GPad=50mm第29页/共58页T2T1T3dBAClAClABT2T1T3dBAClAClABMx1=0.5kNmMx2=0.32kNmlAB=300mmG=80GPad=50mmACAB第30页/共58页二、扭转超静定问题 杆在扭转时，如支座反力仅用静力平衡方程不能求出，这类问题称为扭转超静定问题。
11、其求解方法与拉压超静定问题类似。ABCTabTATB第31页/共58页ABCTabTATB变形协调条件A、B两固定端,CA与CB的 数值相等。故从而平衡方程第32页/共58页思考题：横截面面积相同的空心圆杆与实心圆杆，它们的强度、刚度哪一个大？但工程中为什么使用实心杆较多？第33页/共58页3-4 扭转时材料的力学性能扭转时材料的力学性能由低碳钢薄壁圆筒扭转试验可以测得T-曲线故可得-曲线r0第34页/共58页=G剪切胡克定律E、G、v的关系p剪切比例极限s剪切屈服极限第35页/共58页铸铁：铸铁：变形小，沿变形小，沿4545o o螺旋面断裂螺旋面断裂可得切应力强度极限b实心圆截面实心圆截面实
12、心圆轴的扭转试验还可得到切变模量实心圆轴的扭转试验还可得到切变模量GG。第36页/共58页3-5 扭转圆杆的强度计算和刚度计算一、强度计算等直圆杆扭转时的强度条件为式中Mxmax 是危险截面上的扭矩。三方面的强度计算：校核强度、设计截面和容许力偶矩。1.1.校核强度校核强度2.2.设计截面设计截面3.3.求容许外力偶矩求容许外力偶矩maxMxmaxWP=MxmaxWP Mxmax WP 第37页/共58页=unu 极限切应力极限切应力对于脆性材料u=b对于塑性材料u=s=（0.5-0.6）塑性材料脆性材料=（0.8-1.0）容许切应力第38页/共58页 例 直径为50mm的实心传动轴。电动机通
13、过A轮输入功率，由B、C和D轮输出。已知A、B、C和D轮所受力偶矩分别为TA=3.18kNm，TB=1.43kNm，TC=0.80kNm，TD=0.95kNm,=75MPa。（1）作轴的扭矩图,(2）校核轴的切应力强度。d解：（1）轴的扭矩图Mx1.43(kNm)0.951.75-+-第39页/共58页d（2）校核轴的切应力强度AC段截面扭矩绝对值最大Mx1.43(kNm)0.951.75-+-轴的最大切应力MMx x maxmax=1.75=1.75 kNm=75MPa故该轴满足切应力强度要求。第40页/共58页二、刚度计算二、刚度计算(rad/m)(rad/m)为容许的单位扭转角，可在设计
14、手册中查到。为容许的单位扭转角，可在设计手册中查到。MxmaxGIp=max 等直圆杆扭转的刚度条件为精密机器：一般传动轴：钻杆：=(0.15-0.3)o/m =(0.3-2.0)o/m =(2.0-4.0)o/m第41页/共58页 例 一传动轴如图3-14a所示。设材料的容许切应力=40MPa，切变弹性模量G=810MPa，杆的容许单位长度扭转角=0.20/m。试求轴所需的直径。解：（1）轴的扭矩图Mx(kNm)3.57+第42页/共58页（2 2）求直径）求直径 Mx(kNm)3.57+（3 3）由刚度条件求直径）由刚度条件求直径 第43页/共58页Mx(kNm)3.57+结合考虑，应取d
15、=126mm第44页/共58页 例 直径D=100mm的轴，由两段联接而成；联接处加凸缘，并在D0=200mm的圆周上布置8个螺拴紧固，如图3-15所示。已知轴在扭转时的最大切应力为70MPa；螺栓的容许切应力=60MPa，试求螺拴所需直径d。解：这个螺栓群接头所受的外力，是两轴段间所传递这个螺栓群接头所受的外力，是两轴段间所传递的外力偶矩的外力偶矩T T，因而是一个仅承受力偶矩作用的螺栓群，因而是一个仅承受力偶矩作用的螺栓群接头问题。接头问题。第45页/共58页 设每个螺栓的受力为设每个螺栓的受力为F Fi i，至，至螺栓群中心螺栓群中心C C的距离为的距离为r ri i，由力，由力矩平衡方
16、程，得矩平衡方程，得每个螺栓受剪力相等每个螺栓受剪力相等T T可由轴的最大切应力求得可由轴的最大切应力求得 每个螺栓剪切面上的各义切应力每个螺栓剪切面上的各义切应力 螺栓所需直径螺栓所需直径 第46页/共58页3-6 非圆截面杆的扭转扭转后，横截面将不再保持平面扭转后，横截面将不再保持平面问题的求解必须用弹性力学的原理和方法问题的求解必须用弹性力学的原理和方法变形特征翘曲第47页/共58页 非圆截面杆扭转后，横截面不再保持为平面，而要发生翘曲（warping）。自由扭转：两端自由的非圆截面直杆，受一对外力偶矩扭转时，各横截面翘曲程度相同，这时杆的横截面上只有切应力。约束扭转：若杆端存在约束或杆
17、的各横截面扭矩不同，扭转后各横截面上翘曲程度不同，横截面上除有切应力外，还有附加正应力。由约束扭转产生的附加正应力，在实体截面杆中很小，可忽略不计；但在薄壁截面杆中不能忽略。第48页/共58页(1)(1)切应力分布切应力分布角点切应力等于零;边缘各点切应力沿切线方向;最大切应力发生最大切应力发生在长边中点。在长边中点。1maxbh一、矩形截面杆第49页/共58页（2）切应力和单位长度扭转角的计算最大切应力短边中点的切应力单位长度杆的扭转角、为与h/b有关的系数。h和b分别为矩形截面的长边和短边；1maxbh第50页/共58页对于狭长矩形截面最大切应力单位长度杆的扭转角第51页/共58页二、开口
18、薄壁截面杆第52页/共58页max发生在max的狭长矩形的长边中点处。刚周边假设：横截面的周边形状在其变形前平面上的投影保持不变。故单位长度杆横截面的单位长度扭转角和各狭长矩形的单位长度扭转角相等，即由于得第53页/共58页 例 两个薄壁钢管截面，试问在相同的扭矩作用下，哪种截面形式较好？(a)D0Mx(b)D0Mx第54页/共58页解：（1）最大切应力（2）扭转角 闭口薄壁截面开口薄壁截面闭口薄壁截面开口薄壁截面第55页/共58页思考题：非圆截面杆与圆截面杆受扭时，横截面上切应力分布规律有何异同？是何原因？第56页/共58页本章作业：3-1，3-3切应力计算3-23-4，3-5，3-8强刚计算3-6，3-73-10（a）强刚计算3-13第57页/共58页感谢您的观看。第58页/共58页