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1、2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系1本节将研究一种特殊的集合n维欧氏空间中的点集。向量空间往往成为数学研究的载体和对象。分析学科所关心的空间的结构包括度量、范数、开集、闭集等。本节的主要内容为n维欧氏空间中的各类点集，这将为我们研究新的积分奠定基础。第1页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系21.n1.n维维EuclidEuclid欧氏空间欧氏空间See P.2第2页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系3定义距离 第3页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系4定义(邻域)：向量空间Rn中所有和定点a的距离小于定数d d的点的
2、全体,即集合称为点a的d d邻域,记作显然，在R1,R2,R3,U(a,d d)分别是以a为中心以d d为半径的开区间、开圆和开球.邻域具有如下的基本性质：(1)(2)对于P的两个邻域存在邻域(3)对于存在Q的邻域(4)对于存在P和Q的邻域使得2.R2.Rn n中点列的极限中点列的极限第4页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系5点列的极限点列的极限(I)e-e-N式定义式定义：(II)邻域式定义邻域式定义：See P.2,定义1.1第5页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系6 定理1.1 n维欧氏空间点列的收敛是按坐标收敛.See P.3定理1.1第6页
3、/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系7例子第7页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系8性质：1.点列的极限是唯一的；3.点列的收敛满足线性性；See P.3定理1.2收敛点列必为有界点集第8页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系96.n维欧氏空间中的收敛点列等价于Rn中Cauchy点列See P.3 定理1.4See P.3 定理1.3,5.5.n维欧氏空间的有界点列必有收敛的子（点）列.Bolzano-Weierstrass定理定义定义 如果对n维欧氏空间中的点列第9页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系10点集
4、的直径点集的直径：一个非空点集A的直径定义为有界点集有界点集：一个非空点集A称为有界集合，若直径及有界点集点集的距离两个非空点集A,B的距离定义为注注：若A=P*，即A为单点集，则可记第10页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系11欧氏空间中点集的一些基本概念欧氏空间中点集的一些基本概念区间区间若将其中的不等式全部换成则上述点集分别称为闭区间、左开右闭区间、左闭右开区间，统称为区间，记作I。称为I的第i个边长；称为I的体积，记作|I|.定义定义：中的点集称为一个开区间开区间；第11页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系123.3.欧氏空间中的各类点集欧氏
5、空间中的各类点集考虑向量空间Rn中的点与给定点集之间的关系。设A为Rn中的一个点集，a为Rn中的点，则a和A的关系具有如下几种：(1)a附近全是A的点，即存在a的某邻域此时,称a为A的内点内点；(2)a附近全不是A的点，即存在a的某邻域此时称a为A的外点外点；(3)a附近既有A的点，又有不属于A的点，即对a的任意邻域U(a),此时称a为A的边界点边界点，简称界点界点；第12页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系13(4)a附近有A的无穷多个点，即对a的任意邻域U(a),为无限集合，此时称a为A的聚点聚点；(5)a附近除a外没有A的点，即存在a的邻域U(a),此时称a为A的孤
6、立点孤立点。第13页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系14点与点集间的关系点与点集间的关系显然，空间中任意的点a是且只能是上述(1)(2)(3)中的一个，或者是且只能是上述(2)(4)(5)中的一个，即(1)内点一定是聚点，外点一定不是聚点；(2)聚点可以是内点，也可以是界点，但不能是外点；(3)孤立点一定不是聚点、内点或外点，一定是界点；(4)A中的点要么是聚点，要么是孤立点；(5)界点要么是聚点，要么是孤立点。第14页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系15聚点聚点关于聚点，下面三条是等价的：(1)a是A的聚点；(2)a的任意邻域内，至少含有一个属
7、于A而异于a点；(3)存在A中互异的点所成的点列See P.4定义1.2第15页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系16内部、边界、外部、导集、闭包内部、边界、外部、导集、闭包定义：(1)A的全体内点所成的集合，称为A的内部内部，记作(3)A的全体外点所成的集合，称为A的外部外部，记作(2)A的全体边界点所成的集合，称为A的边界边界，记作第16页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系17(5)A与A的导集的并集，称为A的闭包闭包，记作闭包是一个非常重要的概念，我们有如下结论：这样可知：See P.4定义1.2See P.6例1.1-1.2(4)A的全体聚点
8、所成的集合，称为A的导集导集，记作第17页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系18开集和闭集开集和闭集定义：若集合A的每一点都是A的内点，则称A为开集；若集合A的每一个聚点都属于A，则称A为闭集.开集和闭集是最重要的两类点集，它们具有以下的性质：开集和闭集是最重要的两类点集，它们具有以下的性质：(1)对任意的点集对任意的点集A，(2)点集点集A是开集当且仅当是开集当且仅当A是闭集当且仅当是闭集当且仅当(3)See P.6定义1.5第18页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系19(4)若若A为开集，则为开集，则A的余集为闭集，若的余集为闭集，若A为闭集，为
9、闭集，则则A的余集为开集的余集为开集；(5)任意多个开集的并集以及有限多个开集的交集任意多个开集的并集以及有限多个开集的交集仍为开集；任意多个闭集的交集以及有限多个闭集仍为开集；任意多个闭集的交集以及有限多个闭集的并集仍为闭集的并集仍为闭集；(6)对于任意两个互不相交的闭集，一定存在两对于任意两个互不相交的闭集，一定存在两个互不相交的开集分别包含这两个闭集。个互不相交的开集分别包含这两个闭集。See P.7定理1.6See P.8定理1.7第19页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系20Rn中的有界集和紧集中的有界集和紧集See P.9定义1.6定义(连通集)第20页/共2
10、8页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系21开域、闭域、区域开域、闭域、区域开域若非空开集 A 具有连通性,即 A中任意两 点之间都可用一条完全含于A的有限折线相连接,则称 A 为开域.简单地说,开域就是非空连通开集.闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域.区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合,统称为区域.不难证明:闭域必为闭集;而闭集不一定为闭域.See P.9定义1.7第21页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系22凸区域 若区域 D 上任意两点的连线都含于 D,则称 D 为凸区域(如图).这就是说,若 D 为 一切 恒有 凸 非凸 第22页/共2
11、8页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系23例1，在平面R2上开区域闭区域第23页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系24 整个平面整个平面 点集点集 是开集，是开集，是最大的开域是最大的开域,也是最大的闭域；也是最大的闭域；但非区域但非区域.o 对区域对区域 D,若存在正数若存在正数 K,使一切点使一切点 M D 与某定点与某定点 A 的距离的距离 AM K,则称则称 D 为为有界域有界域,界域界域.否则称为否则称为无无第24页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系25例2 以下两种说法在一般情形下为什么是错的?(i)既然说开域是“非空连通开集
12、”，那么闭域就是 “非空连通闭集”；(ii)要判别一个点集是否是闭域,只要看其去除 边界后所得的是否为一开域,即 答(i)例如取 这是一个非空连 通闭集.但因它是第一和第三象限的集合 G 与其边 界(二坐标轴)的并集(即),而 G 不是 开域,故 S 不是闭域(不符合闭域的定义).第25页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系26(a)(b)(c)(ii)如图所示,集为 (c)中的点集为 易见 E 为一开域,据定义 F 则为闭域；然而 (a)中的点集为 D;(b)中的点显然不符合它为闭域的定义.由此又可见到:第26页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系27复 习 思 考 题 1.试问在 R 中的开集、闭集、开域、闭域、区域 等集合是实直线上怎样一些点集？2.设 E,F 分别是 R2 中的开集和闭集试问在 R3 中 E 是否仍为开集？F 是否仍为闭集？3.R 中的单调有界性定理和确界原理,为什么在 R2 中没有直接对应的命题？4.为什么说“在一切平面点集中，只有 R2 与 是既开又闭的点集”？第27页/共28页2009年4月南京航空航天大学 理学院 数学系28谢谢您的观看！第28页/共28页