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1、第七章定积分 本章中将讨论积分学的另一个基本问题定积分问题我们先从几何问题与力学问题出发引进定积分的定义，然后讨论它的性质与计算方法关于定积分的应用，将在第八章讨论第一节定积分概念 本节通过两个实例的分析，给出定积分的定义，指出定积分的几何意义一、两个实例引例曲边梯形的面积 ABabOxy图7.1第1页/共63页第2页/共63页 根据以上分析，曲边梯形面积可按如下四个步骤求得：图7.2Oxy动画演示第3页/共63页它们的长度依次为第4页/共63页可见，曲边梯形的面积是一个和式的极限 引例变速直线运动的路程.第5页/共63页我们知道，对于等速直线运动，有公式：路程=速度时间具体计算步骤如下：第6
2、页/共63页各个小段时间的长记为相应地，在各段时间内物体经过的路程为第7页/共63页可见，变速直线运动的路程也是一个和式的极限 二、定积分的定义第8页/共63页第9页/共63页 根据定积分的定义，前面两个例子可以分别写成定积分的形式如下：第10页/共63页第11页/共63页三、定积分的几何意义 第12页/共63页或 图7.3 Oxyab图7.4 Oxyab第13页/共63页Oxy图7.5总之，定积分的几何意义是其值是曲边梯形面积的代数和 例7.17.1用定积分表示图中阴影部分的面积图7.5Oxy第14页/共63页Oxyoxy第15页/共63页思考题7.1练习题7.11利用定积分的几何意义说明下
3、列各式成立.1 2 2利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正还是负（不必计算）.1 2 第16页/共63页第二节 定积分的性质 这一节我们讨论定积分的性质和如何利用定积分的几何意义来计算函数的定积分一、定积分的性质 下列各性质中积分上、下限的大小，如不特别指明，均不加限制；其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积.性质1 1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和（差），即 证 第17页/共63页注：这个性质可以推广到有限多个函数的情形 性质2 2 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前面，即第18页/共63页再由性质，便得要证的不等式 注：这个性质说明，若比较两个定积分的大小，只要比较
4、被积函数的大小即可第19页/共63页证因为所以由推论和性质可得即第20页/共63页这个公式叫做积分中值公式.图7.6oxy动画演示第21页/共63页第22页/共63页二、利用定积分的几何意义计算定积分图7.77.7 oxy11第23页/共63页思考题7.23图7.8 Oxy-11第24页/共63页1.1.利用定积分性质,确定下列积分的符号:(1)(2)2.2.利用定积分的几何意义求下列定积分:(1)(2)(3)练习题7.2第25页/共63页第三节微积分基本公式 应用定积分的定义去计算定积分，尽管被积函数很简单，也是一件比较困难的事所以，需要寻找简便而有效的方法这就是牛顿莱布尼茨公式.一、变上限
5、定积分第26页/共63页变上限定积分有下面重要性质：第27页/共63页第28页/共63页第29页/共63页二、牛顿(Newton)(Newton)莱布尼茨(Leibniz)(Leibniz)公式引例变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系第30页/共63页下面我们给出定积分的计算公式：牛顿莱布尼茨公式.第31页/共63页即 第32页/共63页解 第33页/共63页解 思考题7.3第34页/共63页练习题7.33.计算下列定积分：第35页/共63页第四节 定积分的分部积分公式 我们在学习了微积分基本公式的基础上，本节讨论定积分的分部积分法和分段函数的定积分的解法一、定积分的分部积分公式由上一章
6、知道，不定积分的分部积分公式是于是简记为 或 这就是定积分的分部积分公式第36页/共63页 注：定积分的分部积分公式的应用原则和所适用的积分类型类似于不定积分解 解解第37页/共63页二、分段函数的定积分 我们在定积分的计算中，有时会遇到分段函数的定积分，对于这类定积分的计算，关键是根据被积函数在积分区间上的不同表达式和定积分的迭加性质把定积分分成两个或更多个积分和的形式，然后进行计算解 第38页/共63页解 第39页/共63页解 思考题7.4第40页/共63页练习题7.41求下列各定积分：求下列各定积分：第41页/共63页第五节 定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法第42页/共63页其次
7、应用牛顿莱布尼茨公式得 显然，这样的计算过程太麻烦，如果能把两个过程合在一起就简便多了为此，我们给出下面的定理第43页/共63页于是第44页/共63页于是第45页/共63页于是二、奇（偶）函数定积分 第46页/共63页从而第47页/共63页请读者仿照偶函数的证明方法自己证明注：这两个结论可以当作公式使用图7.9给出了奇偶函数在对称区间上定积分的几何意义.图7.9OxyOxy第48页/共63页第49页/共63页第50页/共63页思考题7.51用换元积分法求定积分时应注意什么？练习题7.51求下列各定积分：2利用函数的奇偶性，计算下列积分：第51页/共63页第六节广义积分 一、积分区间为无穷区间的广义积分图7.10Oxy第52页/共63页第53页/共63页第54页/共63页第55页/共63页即第56页/共63页第57页/共63页二、无界函数的广义积分第58页/共63页存在，则定义都收敛,则定义第59页/共63页由于右端两个极限不存在，所以广义积分发散第60页/共63页故证得结论成立第61页/共63页思考题7.61.无穷区间的广义积分有几种情况？2.无界函数的广义积分有几种情况？练习题7.61.讨论下列广义积分的敛散性：第62页/共63页感谢您的观看！第63页/共63页