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1、数学模型的建立方法数学模型的建立方法数学模型的建立方法数学模型的建立方法 1)1)分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，合在一起。2)2)实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法，得到数学模型。建模原则：选择合适的分析方法建模原则：选择合适的分析方法确定相应的数学模型确定相应的数学模型简化简化列写微分方程式的一般步骤列写微分方程式的一般步骤列写微分方程式的一般步骤列写微分方程式的一般步骤 1)1)分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量输入量、输出量输出量及内部中间变量中间变量，搞清各变量之间的关系。2)2)忽略一些次要因素，合理简化合理简化。2.2 系统微
2、分方程的建立第1页/共133页 3)3)根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式原始方程式。4)4)列写中间变量的辅助方程辅助方程。方程数与变量数相等方程数与变量数相等！5)5)联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。6)6)将方程式化成标准形。与与输出输出有关的放在有关的放在左边左边，与，与输入输入有关的放在有关的放在右边右边，导数项按，导数项按降降阶阶排列，排列，系数系数化为有物理意义的形式。化为有物理意义的形式。第2页/共133页 三个基本的无源元件：质量m,m,弹簧k,k,阻尼器f f对应三种阻碍运动的力:惯性力ma;ma;弹性力ky;ky;阻尼力fvfv 例2-1(P
3、222-1(P22例2-3)2-3)弹簧-质量-阻尼器串联系统。试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t)为输出量的运动方程式。解：遵照列写微分方程的一般步骤有：（1 1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变量。（2）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，系统处于平衡状态。KmfF(t)y(t)机械平移系统举例机械平移系统举例机械平移系统举例机械平移系统举例第3页/共133页 （3 3）按牛顿第二定律列写原始方程，即 （5 5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中间变量,得 （6 6）整理方程得标准形 （4
4、 4）写中间变量与输出量的关系式KmfF(t)y(t)第4页/共133页 电路系统举例电路系统举例电路系统举例电路系统举例 例2-2 2-2（P21P21例2-12-1）电阻电感电容串联系统。R-L-CR-L-C串联电路，试列出以u ur r(t t)为输入量，u uc c(t t)为输出量的网络微分方程式。令Tm2=m/k，Tf=f/k，则方程化为 R C ur(t)uc(t)L第5页/共133页 解：（1 1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。（4 4）列写中间变量i与输出变量uc c 的关系式:（5 5）将上式代入原始方程，消去中间变量得 R C ur(t)
5、uc(t)L（2 2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。（3 3）由KVLKVL写原始方程：i(t)第6页/共133页（6 6）整理成标准形，令T1=L/R，T2=RC，则方程化为 线性微分方程的一般特征线性微分方程的一般特征 观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：第7页/共133页式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：（1 1 1 1）方程的系数为实常数，由系统自身参数决定；）方程的系数为实常数，由系统自身参数决定；）方程的系
6、数为实常数，由系统自身参数决定；）方程的系数为实常数，由系统自身参数决定；（2 2 2 2）左端的阶次比右端的高）左端的阶次比右端的高）左端的阶次比右端的高）左端的阶次比右端的高,n=m,n=m,n=m,n=m。这是因为实际物理系统均。这是因为实际物理系统均。这是因为实际物理系统均。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件；有惯性或储能元件；有惯性或储能元件；有惯性或储能元件；（3 3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。分方程式的正确与否。第8页/共133页 相似系统的定义相似系统的定义相似系统的定义相似系统
7、的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。例例2-1例例2-2令令uc=q/C模拟技术：模拟技术：模拟技术：模拟技术：当分析一个当分析一个机械系统或不易进行试机械系统或不易进行试验的系统时，可以建造验的系统时，可以建造一个与它相似的电模拟一个与它相似的电模拟系统，来代替对它的研系统，来代替对它的研究。究。第9页/共133页 直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的直流电动机是将电能转化为机械
8、能的一种典型的直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的机电转换机电转换机电转换机电转换装置。装置。装置。装置。在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压u ua a在电枢回路产生在电枢回路产生在电枢回路产生在电枢回路产生电枢电流电枢电流电枢电流电枢电流i ia a ，再由电枢电流，再由电枢电流，再由电枢电流，再由电枢电流i ia a与激磁磁通相互作用产生电磁转矩与激磁磁通相互作用产生电磁转矩与激磁磁通相互作用产生电磁转矩与激磁
9、磁通相互作用产生电磁转矩MMD D ，从而使电枢旋转，拖动负载运动。，从而使电枢旋转，拖动负载运动。，从而使电枢旋转，拖动负载运动。，从而使电枢旋转，拖动负载运动。Ra和和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与其大小与电枢控制的直流电动机（电枢控制的直流电动机（电枢控制的直流电动机（电枢控制的直流电动机（P21P21P21P21例例例例2-22-22-22-2）M Ra ua La ia if=常数 Ea第10页/共133页激磁
10、磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。相反。下面推导其微分方程式。下面推导其微分方程式。（1）取电枢电压ua为控制输入，负载转矩ML为扰动输入，电动机角速度 为输出量；（2）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变if 时，激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系；（3）列写原始方程式 电枢回路方程：uaMRaLa ia if=常数Ea第11页/共133页电动机轴上机械运动方程：J 负载折合到电动机轴上的转动惯量;MD 电枢电流产生的电磁转矩;ML 合到电动机轴上的总负载转矩。（4）列写辅助方程 Ea =ke ke 电势系数，由电动机
11、结构参数确定。MD=km iakm 转矩系数，由电动机结构参数确定。（5）消去中间变量，得第12页/共133页第13页/共133页令机电时间常数Tm:令电磁时间常数Ta:1)1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：2-22 一阶系统一阶系统二阶系统（2-21）第14页/共133页2)对微型电机，转动惯量J很小，且Ra、La都可忽略测速发电机测速发电机测速发电机测速发电机3)随动系统中，取为输出4)在实际使用中，转速常用n n（r/minr/min）表示,设 ML=0第15页/共133页小结小结物理本质不同的系统，可以有相同的数学模物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统
12、的物理属性，用同一型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）法）。从动态性能看，在相同形式的输入作用从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。进行实验模拟的基础。第16页/共133页通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的于元件或系统中所包含的独立独立储能元件（惯性储能元件（惯性质量、弹性要素、电感、电容等）
13、的个数；质量、弹性要素、电感、电容等）的个数；因为系因为系统每增加一个独立储能元，其内部就统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。多一层能量（信息）的交换。系统的动态特性是系统的系统的动态特性是系统的固有特性固有特性，仅，仅取决于系统的结取决于系统的结构及其参数，构及其参数，与系统的输与系统的输入无关入无关。第17页/共133页线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统线性系统线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为系数为常数，则为线性定常系统线性定常系统；如果方程的；如果方程的系数是时间系数是时间t的函数，则为的
14、函数，则为线性时变系统线性时变系统；线性线性是指系统满足是指系统满足叠加原理叠加原理，即：，即：可加性：可加性：f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)齐次性：齐次性：f(x)=f(x)或：或：f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)2-32-3 数学模型的线性化（数学模型的线性化（P25P25）第18页/共133页非线性系统非线性系统用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。满足叠加原理。实际的系统通常都是非线性的，线性只在一实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。定的工作范围内成立。为分析方便，通常在合理的条件下，为分析
15、方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。将非线性系统简化为线性系统处理。第19页/共133页非线性系统非线性系统用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。满足叠加原理。实际的系统通常都是非线性的，线性只在一实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。定的工作范围内成立。为分析方便，通常在合理的条件下，为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。将非线性系统简化为线性系统处理。第20页/共133页线性系统微分方程的一般形式线性系统微分方程的一般形式式中，式中，a1，a2，an和和b0，b1，b
16、m为由系统结构参数决定的实常数为由系统结构参数决定的实常数，mn。第21页/共133页线性化问题的提出线性化问题的提出非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻尼力与速度的平方有关；齿轮啮合系统由尼力与速度的平方有关；齿轮啮合系统由于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。线性化：在一定条件下作某种近似或线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系统工作范围，将非线性微分方程缩小系统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。近似为线性微分方程进行
17、处理。第22页/共133页线性化的提出线性化的提出线性系统是有条件存在的，只在一定的工作线性系统是有条件存在的，只在一定的工作范围内具有线性特性；范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的；非线性系统的分析和综合是非常复杂的；对于实际系统而言，在一定条件下，采用线对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性化模型近似代替非线性模型进行处理，能性化模型近似代替非线性模型进行处理，能够满足实际需要。够满足实际需要。第23页/共133页(x x0)+非线性系统数学模型的线性化（非线性系统数学模型的线性化（P27）泰勒级数展开法泰勒级数展开法(1)函数函数y=f(x)在其平衡点（在其平衡点（x
18、0,y0）附近的泰勒级）附近的泰勒级数展开式为：数展开式为：(x x0)y=f(x)=f(x0)+2df(x)dx x=x0(x x0)3+Lx=x01 d 3 f(x)3!dx3x=x01 d 2 f(x)2!dx2第24页/共133页y=f(x0)+(x x0)如果略去含有高于一次的增量如果略去含有高于一次的增量 x=x-x0的项，则的项，则：df(x)dx x=x0或：y-y0=y=Kx，其中：K=0df(x)dx x=x上式即为非线性系统的线性化模型，称为上式即为非线性系统的线性化模型，称为增增量方程量方程。y0=f(x0)称为系统的称为系统的静态方程静态方程；由于反馈系由于反馈系统不
19、允许出现大的偏差，因此，统不允许出现大的偏差，因此，这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际意义。意义。第25页/共133页增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。这时，系统所有的初始条件均为零。(2)对多变量系统，如：对多变量系统，如：y=f(x1,x2)，同样可采用，同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程泰勒级数展开获
20、得线性化的增量方程。第26页/共133页(x2 x20)+Lfx2(x1 x10)+fx1y=f(x10,x20)+x1=x10 x2=x20 x1=x10 x2=x20增量方程：y y0 =y=K1x1+K 2 x2静态方程：y0 =f(x10,x20),K 2 =其中：K1=fx2fx1x1=x10 x2=x20 x1=x10 x2=x20第27页/共133页滑动线性化滑动线性化切线法切线法y=f(x)线性化增量方程为线性化增量方程为：y0yyAy y=xtgx0 x切线法是泰勒级切线法是泰勒级数法的特例。数法的特例。x0非线性关系线性化第28页/共133页非线性系统的线性化微分方程的建立
21、非线性系统的线性化微分方程的建立步骤确定系统各组成元件在平衡态的工作点；确定系统各组成元件在平衡态的工作点；列出各组成元件在工作点附近的增量方程；列出各组成元件在工作点附近的增量方程；消除中间变量，得到以增量表示的线性化微消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程；第29页/共133页实例：单摆运动线性化解：根据牛顿第二定律：将非线性项 sin o=o在o =0 点附近泰勒展开第30页/共133页一一.复习拉氏变换及其性质复习拉氏变换及其性质 1.定义定义 记 X(s)=Lx(t)2.2.进行拉氏变换的条件进行拉氏变换的条件 1)1)t 0 0，x(t)=0 0；当t 0 0，x(t)是分段
22、连续；2)2)当t t充分大后满足不等式 x(t)Mect，M，c是常数。3.3.性质和定理性质和定理 1)1)线性性质 L ax1(t)+bx2(t)=aX1(s)+bX2(s)2-4 线性系统的传递函数第31页/共133页2)2)微分定理若 ,则第32页/共133页若x 1(0)=x 2(0)=0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，3)3)积分定理X（-1）(0)是x(t)dt 在t=0 0的值。同理第33页/共133页 5)5)初值定理 如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且 4)4)终值定理 若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，lim x(t)存在，并且sX(s)除原点为单
23、极点外，在j轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数x(t)的终值为：存在，则第34页/共133页6)6)延迟定理L x(t )1(t )=esX(s)Le at x(t)=X(s+a)7)7)时标变换8)8)卷积定理第35页/共133页4.4.举例举例 简单信号的拉氏变换简单信号的拉氏变换 例例2-32-3 求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。解：例例2-42-4 求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。解：第36页/共133页例例2-52-5 求正弦函数x(t)=sint 的拉氏变换。解：以上几个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换可以上几个函数是比较常用的，还有一些常用函
24、数的拉氏变换可查表求得。查表求得。第37页/共133页例例2-62-6 求函数x(t)的拉氏变换。tx(t)0At0tx1(t)0Atx2(t)0t0 A+解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A 1(t)A 1(t t0)第38页/共133页例例2-72-7 求指数函数e at 的拉氏变换。解:例例2-82-8 求e 0.2 t 的拉氏变换。解：第39页/共133页 ，求x(0)，x()。解：例例2-92-9 若二二二二.复习拉氏反变换复习拉氏反变换复习拉氏反变换复习拉氏反变换 1.1.定义定义 由象函数X(s)求原函数x(t)2.2.求拉氏反变换的方法求拉氏反变换的方法 根据定义，用留数定
25、理计算上式的积分值 查表法 第40页/共133页 部分分式法 一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即 通常m 0，0 p=1 -12 0 25 126p=1 -12025 126第122页/共133页在MATLAB中，用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式，即：num=b0 b1 bmden=a0 a1 an然后利用下面的语句就可以表示这个系统sys=tf(num,den)其中tf()代表传递函数的形式描述系统，还可以用零极点形式来描述，语句为z=1 2;p=-1-2-3;k=4;sys=zpk(z,p,k)4(s-1)(s-2)-(s+1)(s+2)(s+3)第123页
26、/共133页而且传递函数形式和零极点形式之间可以相互转化，语句为z,p,k=tf2zp(num,den)num,den=zp2tf(z,p,k)z=1;2;p=-1;-2;-3;k=4;num,den=zp2tf(z,p,k)数conv()当传递函数复杂时，应用多项式乘法函数con()等实现。例如den1=1,2,2den2=2,3,3,2den=conv(den1,den2)den1=1 2 2den2=322 3den=2 71314104第124页/共133页计算闭环传递函数系统的基本连接方式有三种：串连、并联和反馈串连：sys=series(sys1,sys2)并联：sys=paral
27、lel(sys1,sys2)反馈：sys=feedback(sys1,sys2,-1)如果是单位反馈系统，则可使用cloop()函数，sys=cloop(sys1,-1)第125页/共133页B(s)b0sm+b1sm1+L+bm1s+bm应用举例用MATLAB展开部分分式=设：F(s)=A(s)a0sn+a1sn1+L+an1s+an用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式，即：num=b0 b1 bmden=a0 a1 an第126页/共133页MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开，其句法为：r,p,k=residue(num,den)其中，r,p分别为展开后的
28、留数及极点构成的列向量、k为余项多项式行向量。第127页/共133页s p(j)若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：+K(s)r(n)s p(n)r(1)s p(2)+r(1)s p(1)F(s)=+L+若存在q重极点p(j)，展开式将包括下列各项：2r(j+q 1)s p(j)qr(j+1)+r(j)s p(j)+L+第128页/共133页s 4+11s3+39s 2+52s+26s +10s3+35s 2+50s+24的部分分式展开。num=1 11 39 52 26;den=1 10 35 50 24;r,p,k=residue(num,den)r=1.00002.5000-3.
29、00000.5000p=-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000k=1展开式为：F(s)=1 +2.5+3 +0.5+1s+4 s+3 s+2 s+1第129页/共133页s 5+10s 2+5s+6s +5s 3+9s 2+7 s+2的部分分式展开。num=1 0 0 10 5 6;den=1 5 9 7 2;r,p,k=residue(num,den)r=-4.000020.0000-20.000010.0000p=-2.0000-1.0000-1.0000-1.0000k=1 -5s+2 s+1 (s+1)(s+1)第130页/共133页函数 residue 也可用于将部分分式合并，其句num,den=residue(r,p,k)法为：例：r=1 2 3 4;p=-1-2-3-4;k=0;num,den=residue(r,p,k)num=10 70 150 96den=1 10 35 50 2410s 3+70s 2+150s+96s +10s 3+35s 2+50s+24第131页/共133页已知两个系统 G1(s)=,用MATLAB求系统传递函数1s+2G2(s)=1s分别求两者串联、并联连接时的系统传递函数，并求负反馈连接时系统的零、极点增益模型。第132页/共133页感谢您的观看！第133页/共133页