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1、误差理论基础误差理论基础绪绪 论论主要内容：主要内容：v基本概念基本概念物理实验和测量误差物理实验和测量误差v误差分类误差分类偶然误差和系统误差偶然误差和系统误差v误差计算误差计算测量结果的不确定度测量结果的不确定度 v数据格式数据格式有效数字有效数字v数据处理数据处理用最二乘法作直线拟合用最二乘法作直线拟合第1页/共52页误误 差差 理理 论论 基基 础础一、物理实验和测量误差测量就是将待测量与选做标准单位的物理量进行比较，得到此物理量的测量值。测量值必须包括:数值和单位，如测量课桌的长度为1.2534m。测量的分类：按测量方式通常可分为：直接测量由仪器直接读出测量结果的叫做直接测量如：用米
2、尺测量课桌的长度，电压表测量电压等间接测量由直接测量结果经过公式计算才能得出结果的叫做间接测量如：测量单摆的振动周期T，用公式求得求得gg第2页/共52页按测量精度通常可分为：等精度测量对某一物理量进行多次重复测量，而且每次测量的条件都相同(同一测量者，同一组仪器，同一种实验方法，温度和湿度等环境也相同)。不等精度测量在诸测量条件中，只要有一个发生了变化，所进行的测量。由于测量方法、测量环境、测量仪器和测量者的局限性误差的不可避免性，待测物理量的真值同测量值之间总会存在某种差异，这种差异就称为测量误差，定义为测量误差（）=测量值（X）-真值（a)测量结果也应包含测量误差的说明及其优劣的评价Y=
3、NN误误 差差 理理 论论 基基 础础第3页/共52页误误 差差 理理 论论 基基 础础真值就是与给定的特定量的定义相一致的量值。客观存在的、但不可测得的（测量的不完善造成）。可知的真值：a.理论真值-理论设计值、理论公式表达值等 如三角形内角和180度；b.约定(实用)真值-指定值,最佳值等，如阿伏加德罗常数,算术平均值当真值等。第4页/共52页二、偶然误差和系统误差误差分类按其性质和原因可分为三类:系统误差 偶然误差(随机误差)粗大误差误误 差差 理理 论论 基基 础础第5页/共52页误误 差差 理理 论论 基基 础础1系统误差：在重复测量条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减去
4、真值 来源：仪器、装置误差；测量环境误差；测量理论或方法误差；人员误差-生理或心理特点所造成的误差。标准器误差标准器误差；仪器安装调整不妥仪器安装调整不妥,不水平、不不水平、不垂直、偏心、零点不准等，如天平不等臂垂直、偏心、零点不准等，如天平不等臂,分分光计读数装置的偏心；附件如导线光计读数装置的偏心；附件如导线 理论公式为近似理论公式为近似或实验条件达不或实验条件达不到理论公式所规到理论公式所规定的要求定的要求温度、湿度、光照，电磁场等温度、湿度、光照，电磁场等特点特点：同一被测量多次测量中，保持恒定或以可预知的方式变化（一经查明就应设法消除其影响）第6页/共52页误误 差差 理理 论论 基
5、基 础础分类:a.定值系统误差-其大小和符号恒定不变。例如，千分尺没有零点修正，天平砝码的标称值不准确等。例如，千分尺没有零点修正，天平砝码的标称值不准确等。b.变值系统误差-呈现规律性变化。可能随时间,随位置变化。例如分光计刻度盘中心与望远镜转轴中心不重合，存在偏心差 发现发现的方法的方法(2)理论分析法理论分析法-理论公式和仪器要求的使用条件理论公式和仪器要求的使用条件 规律性变化规律性变化(一致变大变小一致变大变小)一定存在着系统误差一定存在着系统误差(1)数据分析法数据分析法-观察观察 随测量次序变化随测量次序变化第7页/共52页(3)对比法对比法 a.a.实验方法实验方法 b.b.仪
6、器仪器 c.c.改变测量条件改变测量条件 误误 差差 理理 论论 基基 础础处理:任何实验仪器、理论模型、实验条件，都不可能理想 a.消除产生系统误差的根源(原因)b.选择适当的测量方法 单摆单摆g=(9.8000.002)m/s2；自由落体自由落体g=(9.77=(9.770.02)m/s2，其一存在系统误差其一存在系统误差如两个电表接入同一电路，对比两个表的如两个电表接入同一电路，对比两个表的读数，如其一是标准表，可得另一表的修读数，如其一是标准表，可得另一表的修正值。正值。某些物理量的方向、参数某些物理量的方向、参数的数值、甚至换人等的数值、甚至换人等 第8页/共52页误误 差差 理理
7、论论 基基 础础1)交换法-如为了消除天平不等臂而产生的系统误差 2)替代法-如用自组电桥测量电阻时 3)抵消法-如测量杨氏模量实验中，取增重和减重时读数的平均值；各种消减系统误差的方法都具有较强的针对性，都是些经验型、具体的处理方法!4)半周期法-如分光计的读数盘相对180设置两个游标，任一位置用两个游标读数的平均值图中角度读数为：游标1读数:295+132=29513游标2读数:115+12=11512分光计 读数方法示意图第9页/共52页误误 差差 理理 论论 基基 础础2偶然误差（随机误差）：测量结果减去同一条件下对被测量进行无限多次测量结果的平均值 来源：仪器性能和测量者感官分辨力的
8、统计涨落，环境条件的微小波动，测量对象本身的不确定性(如气压小球直径或金属丝直径)等 特点：个体而言是不确定的;但其总体服从一定的统计规律。处理：可以用统计方法估算其对测量结果的影响（标准差），不可修正，但可减小之。（下面讲）定义:在相同的条件下，由于偶然的不确定的因素造成每一次测量值的无规则的涨落，测量值对真值的偏离时大时小、时正时负，这类误差称为偶然误差 第10页/共52页误误 差差 理理 论论 基基 础础测量结果测量结果分布规律分布规律的估计的估计经验分布曲线经验分布曲线 f(v vi)-v vi 测量列测量列 xi，n容量容量对大量数据处理时，往往对对大量数据处理时，往往对 i取一个单
9、位取一个单位(尽量小尽量小)，考虑考虑 i落在第一个落在第一个，第二个第二个，第三个第三个-的的f(i)，-经验分布曲线经验分布曲线f(i)-i出现的概率出现的概率正态分布正态分布均匀分布均匀分布三角分布三角分布i (单位单位)-0.2-0.2-0.1-0.10.00.00.10.10.20.2出现次数出现次数10102020404020201010f f(i)0.10.10.20.20.40.40.20.20.10.1第11页/共52页正态分布规律正态分布规律:大多数偶然误差服从正态分布大多数偶然误差服从正态分布(高斯分布高斯分布)规律规律 特点特点：1）有界性）有界性.2）单峰性）单峰性.
10、3）对称性）对称性.4）抵偿性）抵偿性.可以通过多次测量，利用其统计规律达到互相抵偿随机可以通过多次测量，利用其统计规律达到互相抵偿随机误差，找到真值的最佳近似值误差，找到真值的最佳近似值(又叫最佳估计值或最近又叫最佳估计值或最近真值真值)。误误 差差 理理 论论 基基 础础第12页/共52页误误 差差 理理 论论 基基 础础3粗大误差：明显超出规定条件下预期的误差来源：使用仪器的方法不正确，粗心大意读错、记错、算错数据或实验条件突变等原因造成的（坏值）。处理：实验测量中要尽力避免过失错误；在数据处理中要尽量剔除坏值。实验中的异常值决不能不加分析地统统扔掉实验中的异常值决不能不加分析地统统扔掉
11、 -很多惊世发现都是超出预期的结果！很多惊世发现都是超出预期的结果！第13页/共52页误误 差差 理理 论论 基基 础础精确度：用于表述测量结果的好坏1精密度：表示测量结果中随机误差大小的程度。即是指在规定条件下对被测量进行多次测量时，所得结果之间符合的程度，简称为精度。2.正确度：表示测量结果中系统误差大小的程度。它反映了在规定条件下，测量结果中所有系统误差的综合。3.准确度：表示测量结果与被测量的“真值”之间的一致程度。它反映了测量结果中系统误差与随机误差的综合。又称精确度。第14页/共52页误误 差差 理理 论论 基基 础础a)精密度低,正确度高(b)精密度高，正确度低(c)精密度、正确
12、度和准确度皆高第15页/共52页三、测量结果的不确定度 1什么是不确定度测量结果写成如下形式：yNN (1.1)其中y代表待测物理量，N为该物理量的测量值，N是一个恒正的量，称为不确定度，代表测量值代表测量值N N不不确定的程度，也是对测量误差的可能取值的测度，确定的程度，也是对测量误差的可能取值的测度，是对待测真值可能存在的范围的估计是对待测真值可能存在的范围的估计不确定度和误差是两个不同的概念:误差是指测量值与误差是指测量值与真值之差真值之差，一般情况下，由于真值未知，所以它是未知的不确定度的大小可以按一定的方法计算不确定度的大小可以按一定的方法计算(或估计或估计)出来出来误误 差差 理理
13、 论论 基基 础础第16页/共52页2测量结果的含义式 yNN 的含义是:待测物理量的真值有一定的概率落在上述范围内，或者说，上述范围以一定的概率包含真值这里所说的这里所说的“一定的概率一定的概率”称称为置信概率为置信概率，而区间 N N-N N，N N+N N 则称为置信区间在一定的测量条件下，置信概率与置信区间之间存在单一的对应关系：置信区间越大，置信概率越高，置信区间越小，置信概率越低如果置信概率为如果置信概率为100100，其对应的，其对应的N N就称为极限不确定度，用就称为极限不确定度，用e e表表示，示，这时式(1.1)写做YNe 表示真值一定在N-e，N+e中误误 差差 理理 论
14、论 基基 础础第17页/共52页标准差用标准差来表示N，这时式(11)写做YN 的大小标志着测量列的离散程度，置信概率为68.3其意义可表示为:待测量落在N-,N+范围内的可能性为68.3的大小是如何标志测量列的离散程度的?判断粗大误差的3原则(奈尔、格拉布斯等)误误 差差 理理 论论 基基 础础n n要完整地表达一个物理量，应该有数值、单位和不确定度要完整地表达一个物理量，应该有数值、单位和不确定度要完整地表达一个物理量，应该有数值、单位和不确定度要完整地表达一个物理量，应该有数值、单位和不确定度 N N三个要素三个要素三个要素三个要素第18页/共52页相对不确定度为了比较两个以上测量结果精
15、确度的高低，常常使用相对不确定度这一概念，其定义为相对不确定度相对不确定度=不确定度不确定度/测量值测量值 即NN误误 差差 理理 论论 基基 础础n n用米尺分别测量课桌长度用米尺分别测量课桌长度(L L=1210.5mm)=1210.5mm)和钢笔直径和钢笔直径(d d=10.1mm)=10.1mm)，它，它们的测量极限不确定度均为们的测量极限不确定度均为e e=1mm=1mm，比较以上两个测量结果精确度的，比较以上两个测量结果精确度的高低高低第19页/共52页误误 差差 理理 论论 基基 础础（1）直接测量中不确定度的估算 （a)多次测量：在相同条件下对一物理量X进行了n次独立的直接测量
16、，所得n个测量值为x1，x2，xn，称其为测量列，标准不确定度参数：数学期望（算术平均值）和标准：数学期望（算术平均值）和标准差差任一测量结果的误差落在-x，x范围内的概率为68.3%。3不确定度的估计方法 第20页/共52页误误 差差 理理 论论 基基 础础算术平均值的标准不确定度算术平均值的误差落在 范围内的概率为68.3%。随随n的增大而减小，但当的增大而减小，但当n大于大于1010后，减小速度明后，减小速度明显降低，通常取显降低，通常取 5 5n1010 第21页/共52页误误 差差 理理 论论 基基 础础（b)b)单次测量结果标准单次测量结果标准不确定度的估算：的估算：e e为极限不
17、确定度（仪器的最大读数误差）为极限不确定度（仪器的最大读数误差）k为分布系数，对于为分布系数，对于正态分布，正态分布，k=3=3,=e/3；对于均匀分布，对于均匀分布，k=3,即即=e/3；测量结果的表示测量结果的表示:意义意义:真值真值a落在落在 范围内的概率为范围内的概率为68.3%。第22页/共52页误误 差差 理理 论论 基基 础础例例1 1 用温度计对某个不变温度等精度测量数据如表，求测量结果。i i1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111t t(OC)528528531531529529527527531531533533529529530530532
18、532530530531531 解解:=530.0909 OC=0.5301 OC=0.1000017%=0.6 OC=530.1 OC=0.11%第23页/共52页(2)(2)间接测量结果不确定度的估计：间接测量结果不确定度的估计：设间接测量设间接测量N=f（x，y，z）量值量值：标准不确定度标准不确定度：误误 差差 理理 论论 基基 础础第24页/共52页相对不确定度：测量结果的表示计算顺序计算顺序：计算公式以加减运算为主，先算标准，再算相对计算公式以加减运算为主，先算标准，再算相对不确定度不确定度；计算公式以乘除或乘方运算为主，先算相对，再算标准计算公式以乘除或乘方运算为主，先算相对，再
19、算标准不确不确 定度定度误误 差差 理理 论论 基基 础础第25页/共52页不确定度常用公式N N=x xk k (k k为常数为常数)e eNN=|k|e=|k|ex x N N=|k|=|k|x xN N=kxkx(k k为常数为常数)N N=xyxy或或N=N=x x/y ye eNN=e ex x+e ey yN=x N=x y y算数合成方式算数合成方式方和根合成方式方和根合成方式函数表达式函数表达式误误 差差 理理 论论 基基 础础第26页/共52页误误 差差 理理 论论 基基 础础例例2 测某立方体钢材的长宽高为 l,b,h 如表，材料的密度p=7.86gcm-3 求其质量m。1
20、 12 23 34 45 5平均值平均值l l i i(mm)(mm)1483.71483.71483.81483.81483.91483.91484.11484.11484.01484.01483.91483.9b b i i(mm)(mm)471.2471.2471.4471.4471.3471.3471.1471.1471.0471.0471.2471.2h h i(mm)i(mm)23.123.123.223.223.323.323.023.023.423.423.223.2解：m=plbh=0.00501mm2=127.503013kg=0.02158=0.275157kg第27页/
21、共52页有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算四、有效数字1.1.概念概念 数字分类：完全准确数字；有效数字。有效数字的构成(读取)：准确部分+一位非准确部分(误差所在位)。(I)物体长度物体长度L估读为估读为4.27cm或或4.28cm (II)右端恰好与右端恰好与15cm刻度线对齐刻度线对齐,准确数字为准确数字为“15.0”，再加上估读数，再加上估读数“0”，则物体长度，则物体长度L的有效数字应记为的有效数字应记为15.00cm 估计值，一般为最小分度值的估计值，一般为最小分度值的1/10的整数倍的整数倍位数无限多，如1/3，等位数有限，如0.333，3.14159等第28页/共5
22、2页有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算有效数字有效数字位数的特点：位数的特点：a.a.位数与仪器最小分度值有关，与被测量的大小也有关；位数与仪器最小分度值有关，与被测量的大小也有关；如用最小分度值如用最小分度值0.010.01mmmm的千分尺测量的长度读数为的千分尺测量的长度读数为 8.348.344 4mmmm，用最小分度值为用最小分度值为0.020.02mmmm的游标卡尺来测量，的游标卡尺来测量，其读数为其读数为 8.3 8.34 4mmmm。b.b.位数与小数点的位置（单位）无关；位数与小数点的位置（单位）无关；如重力加速度如重力加速度9.80m9.80ms s2 2，0.0
23、09800.00980kmkms s2 2 或或 980980cmcms s2 2,9.809.80 x10 x103 3mmmms s2 2 都是三位有效数字都是三位有效数字c.c.位数粗略反映测量的误差位数粗略反映测量的误差.位数越多，测量的相对误差就越小位数越多，测量的相对误差就越小,如如8.348.344 4mmmm，8.38.34 4mmmm的相对误差的相对误差,不要写成不要写成9800 mm/s2 第29页/共52页有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算原则：五下舍，五上入，整五凑偶。如保留四位有效数字如保留四位有效数字:3.1423.1422.7172.7174.5104
24、.5103.2163.2166.3796.3793.1413.1415 59 9 2.7172.7172 29 9 4.5104.5105 50 0 3.2153.2155 50 0 6.3786.3785 50 0l l 7.6917.6914 49999 7.6917.691测量误差测量误差的有效位数：修约原则的有效位数：修约原则-只入不舍只入不舍相对不确定度相对不确定度-两位，如两位，如E=0.0010023修约为修约为0.11%绝对绝对不确定度不确定度-一位，当为一位，当为1或或9时，可以保留两位。时，可以保留两位。如：如：0.00123写为写为0.0013，0.0962写为写为0.1
25、0。拟舍的第一位数字为拟舍的第一位数字为5，其后无数字或皆为其后无数字或皆为0 保留末位为奇数保留末位为奇数,加加1，保留末位为偶数保留末位为偶数,不变不变 2 2 有效数字的修约有效数字的修约第30页/共52页有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算3.3.有效数字有效数字运算运算:规则规则:准确数字与准确数字的运算结果仍为准确数字，准确数字与准确数字的运算结果仍为准确数字，准确数字与非准确数字或非准确数字与非准确数字的运准确数字与非准确数字或非准确数字与非准确数字的运算结果为非准确数字。运算结果只保留一位非准确数字。算结果为非准确数字。运算结果只保留一位非准确数字。(1)加减法加减法
26、 结果的非准确位与参与运算的所有数字中非准确位数值结果的非准确位与参与运算的所有数字中非准确位数值最大者相同最大者相同(2)乘除法乘除法 结果的位数与所有参与运算的数字中有效数字位数最结果的位数与所有参与运算的数字中有效数字位数最少的相同少的相同(3)(3)乘方开方乘方开方 结果的位数与相应的底数的位数相同结果的位数与相应的底数的位数相同如如674.6-21.3542的结果取为的结果取为653.2如如23.4*26的结果取为的结果取为6.1*102如如23.42的结果取为的结果取为548 第31页/共52页有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算(4)(4)对数对数 结果的位数与真数的位
27、数相同结果的位数与真数的位数相同(5)(5)三角函数三角函数角度误差角度误差10 10”1 1”0.1 0.1”0.01 0.01”选择位数选择位数5 56 67 78 8以上方法对少量数据运算可用以上方法对少量数据运算可用,运算过程中可多保留运算过程中可多保留位数。对大量数据用统计方法处理位数。对大量数据用统计方法处理.如如 ln23.4的结果取为的结果取为3.15 如如sin(16O2512)的结果取为的结果取为0.282676第32页/共52页有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算4.4.测量最终结果测量最终结果的有效数字的有效数字：结果的标准不确定度求出并修约后，测量量结果的最
28、后结果的标准不确定度求出并修约后，测量量结果的最后位与标准不确定度对齐，测量量结果按四舍五入的原则位与标准不确定度对齐，测量量结果按四舍五入的原则修约。修约。如如由公式求得的杨氏模量由公式求得的杨氏模量 Y=2.182641011(kg/m2)，求得标准不确定度为求得标准不确定度为 Y=0.02318641011(kg/m2)。则根据上述规则，最终结果为则根据上述规则，最终结果为Y Y=(2.18=(2.180.03)0.03)10101111(kg/m(kg/m2 2)E E=1.4%=1.4%第33页/共52页有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算(1)加减法加减法求求N=X+Y+
29、Z，其中其中X=(98.70.3)cm，Y=(6.2380.006)cm，Z=(14.360.08)cm(2)乘除法乘除法 求立方体体积求立方体体积V，其中其中L=(22.4550.002)mm，H=(90.350.03)mm，B=(279.680.05)mm 五、举例五、举例：解解:N=X+Y+Z=98.7+6.238+14.36=119.298(cm)所以所以 N=(119.3 0.4)(cm)所以所以 V=(56743)*102 mm3=219.866 mm3第34页/共52页有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算(3)(3)指数指数 求求e ex x，已知，已知 x x=7.8
30、50.05=7.850.05故故 e ex x=（2.570.132.570.13）10103 3 (4)(4)三角函数三角函数-已知已知x=38241，求求sinx sin3824sin3824=0.62114778=0.62114778 所以所以 sin3824=0.6211 0.0003 0.0003 第35页/共52页(5)(5)对数对数-已知已知x=65.48，求求lnx lnx=ln65.48=4.18174475d(lnx)/dx=1/x-d(lnx)/dx=1/x-(1nx)=x/x=0.1/65.48=0.002 所以所以 lnx=4.182 0.002有有 效效 数数 字字
31、 及及 其其 运运 算算必须指出，测量结果的必须指出，测量结果的有效数字位数取决于测量有效数字位数取决于测量，而，而不取决于运算过程。因此在运算时，尤其是使用计算不取决于运算过程。因此在运算时，尤其是使用计算器时，不要随意扩大或减少有效数字位数，更不要认器时，不要随意扩大或减少有效数字位数，更不要认为算出结果的位数越多越好。为算出结果的位数越多越好。第36页/共52页数数 据据 处处 理理 方方 法法实验的数据处理不单纯是数学运算，而是要以一定的物实验的数据处理不单纯是数学运算，而是要以一定的物理模型为基础，以一定的物理条件为依据，理模型为基础，以一定的物理条件为依据，通过对数据通过对数据的整
32、理、分析和归纳计算，得出明确的实验结论的整理、分析和归纳计算，得出明确的实验结论。1 列表法列表法-记录数据时，把数据列成表格记录数据时，把数据列成表格要求要求(1)(1)表格设计合理表格设计合理;(2)(2)标题栏中写明各物理量的符号和单位标题栏中写明各物理量的符号和单位;(3)(3)表中所列数据要正确反映测量结果的有效数字；表中所列数据要正确反映测量结果的有效数字；(4)(4)实验室给出的数据或查得的单项数据应列在表格实验室给出的数据或查得的单项数据应列在表格的上部的上部 m(g)t1(s)t2(s)t3(s)5.0010.0015.00 如如：r=2.50cm,h=cm六、数据处理六、数
33、据处理第37页/共52页数数 据据 处处 理理 方方 法法2 图示法图示法-将数据之间的关系或其变化情况用图线直观将数据之间的关系或其变化情况用图线直观地表示出来地表示出来优点：物理量之间的变化规律；优点：物理量之间的变化规律；内插法求值；内插法求值；外推法求值。外推法求值。缺点：三个及其以上的变量不适用；缺点：三个及其以上的变量不适用；绘图时易引入人为误差。绘图时易引入人为误差。作图步骤作图步骤：选用合适的坐标纸选用合适的坐标纸 坐标轴的比例与标度坐标轴的比例与标度a.a.用粗实线描出坐标轴用粗实线描出坐标轴(箭头箭头)，横轴代表自变量，横轴代表自变量,纵纵轴代表因变量，标明物理量名称轴代表
34、因变量，标明物理量名称(或符号或符号)及单位。及单位。第38页/共52页数数 据据 处处 理理 方方 法法b.b.原则上，原则上，坐标中的最小格对应测量值可靠数字的最后一位，坐标中的最小格对应测量值可靠数字的最后一位，坐标中的最小格对应测量值可靠数字的最后一位，坐标中的最小格对应测量值可靠数字的最后一位，可根可根据情况选择这一位的据情况选择这一位的“1 1”、“2 2”或或“5 5”倍倍c.c.坐标轴的起点不一定从零开始，标度用整数，不坐标轴的起点不一定从零开始，标度用整数，不用测量值。用测量值。标实验点标实验点a.a.以以“+”、“”、“”、“”等符号等符号标出实验点，测量数据落在所标符号的
35、中心，标出实验点，测量数据落在所标符号的中心，大小适中。大小适中。禁止用禁止用“”b.b.一条实验曲线用同一种符号。一条实验曲线用同一种符号。连图线（拟合线）连图线（拟合线）a.a.把点连成直线或光滑曲线；不要无限延长把点连成直线或光滑曲线；不要无限延长b.b.要求数据点均匀地分布在图线两旁，连线要细而清晰要求数据点均匀地分布在图线两旁，连线要细而清晰第39页/共52页数数 据据 处处 理理 方方 法法(5)注解说明注解说明a.图形的意义、数据来源、所用公式等图形的意义、数据来源、所用公式等b.图线的名称、实验日期、实验者等图线的名称、实验日期、实验者等图解法图解法-求直线的斜率和截距求直线的
36、斜率和截距(y=a+bx)在图线上测量范围内靠近两端取两相距较远的点，在图线上测量范围内靠近两端取两相距较远的点，如如P1(x1，y1)和和P2(x2，y2)(不同于实验点不同于实验点),用不同于实用不同于实验点的符号表明验点的符号表明第40页/共52页数数 据据 处处 理理 方方 法法图示法图示法举例举例 在刚体转动实验中，当保持塔轮半径在刚体转动实验中，当保持塔轮半径r不变的情况下，悬不变的情况下，悬挂砝码质量挂砝码质量m与下落时间与下落时间t的关系为的关系为 m与与1/t2成成线性关系线性关系其中 r=2.50 cm h=89.50 cm 测出一组测出一组m m 1/1/t t2 2值值
37、,作出它们关系曲线作出它们关系曲线,求出斜率求出斜率K K1 1即即可得到可得到I I1 1 第41页/共52页数数 据据 处处 理理 方方 法法OOO作图：作图：选坐标纸；选坐标纸；坐标轴的比坐标轴的比例与标度；例与标度；标实验点；标实验点；连图线；连图线；注解说明注解说明第42页/共52页数数 据据 处处 理理 方方 法法求直线的斜率和截距在图线上测量范围内靠近两端任取两相距较远的点，如P1(x1，y1)和P2(x2，y2)(不同于实验点),用不同于实验点的符号标明 P1（x1,y1）=(5.0010-3,6.02)，P2 (x2,y2)=(36.0010-3,34.30)C1=1.65（
38、g）（延长与延长与Y 轴交点；由轴交点；由P1，P2的坐标值；取第三点。）的坐标值；取第三点。）第43页/共52页数数 据据 处处 理理 方方 法法3 逐差法-充分利用测量数据减小测量误差两个条件：函数具有y=a+bx的线性关系(或代换后是线性）自变量x是等间距变化的,测量次数为偶数如:杨氏模量,等第44页/共52页数数 据据 处处 理理 方方 法法4 线性回归（方程法）根据实验数据用函数解析形式求出经验公式，既无根据实验数据用函数解析形式求出经验公式，既无人为因素影响，也更为明确和快捷人为因素影响，也更为明确和快捷,这个过程称为这个过程称为回归回归分析分析a.函数关系已经确定，但式中的系数是
39、未知的，利函数关系已经确定，但式中的系数是未知的，利用测量的用测量的n对对(xi，yi)值，确定系数的最佳估计值。值，确定系数的最佳估计值。b.第二类问题是第二类问题是y和和x之间的函数关系未知，需要从之间的函数关系未知，需要从n对对(xi，yi)测量数据中寻找出它们之间的函数关系测量数据中寻找出它们之间的函数关系式。式。只讨论第一类问题中的最简单的函数关系，即一元线只讨论第一类问题中的最简单的函数关系，即一元线性方程的回归问题性方程的回归问题(或称或称直线拟合问题直线拟合问题)第45页/共52页数数 据据 处处 理理 方方 法法一元线性回归一元线性回归若已知函数的形式若已知函数的形式(最佳经
40、验最佳经验)为为 y=a+bx 实验测得数据（实验测得数据（xi，yi）,i=1,2,n由由 n 对（对（xi，yi）求求a，b 使使(yi)2 最小最小-最小二乘法最小二乘法 (P7)其中其中 y=y y=y(a+bx)对应于每一个对应于每一个x值，值，观测值观测值 y和最佳经验公式的和最佳经验公式的 y 值之间存在一个偏差值之间存在一个偏差y 第46页/共52页数数 据据 处处 理理 方方 法法相关系数来判断回归分析的合理性|-1，线性回归是合理的线性回归是合理的;|-0，不宜用线性回归不宜用线性回归.其中：其中：第47页/共52页数数 据据 处处 理理 方方 法法例例3 用X射线检查合金
41、铸件，透视电压U与铸件的厚度x的 数据如表，求Ux的经验公式，并作相关性检验。观察可见，表中观察可见，表中x与与U呈现比较显著的线性关系呈现比较显著的线性关系,设设U=a+bx解：(1)计算平均值计算平均值X Xi i(mm)(mm)12.012.013.013.014.014.015.015.016.016.018.018.020.020.022.022.024.024.026.026.0U Ui(kV)i(kV)52.052.055.055.058.058.061.061.070.070.065.065.075.075.080.080.085.085.091.091.0第48页/共52页(
42、3)(3)相关性检验相关性检验(2)(2)回归系数回归系数可见，可见，U与与x的线性相关性是很高的。的线性相关性是很高的。数数 据据 处处 理理 方方 法法第49页/共52页数数 据据 处处 理理 方方 法法曲线改直对非线性关系变量进行变量代换，使新变量成为线性关系对非线性关系变量进行变量代换，使新变量成为线性关系,可以用可以用线性回归、图解法、逐差法线性回归、图解法、逐差法来处理。来处理。Y=aex+b,令令ex=Z,则则y=az+b y=ae bx，lny=lna+bx 令令lny=y，lna=a0，y=a0+bxy=a/x,令z=1/x,则y=azT2 看做一个变量y，则y(即T2)与m成线性关系 第50页/共52页谢谢!第51页/共52页感谢您的观看！第52页/共52页