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1、第第2 2讲讲 连续介质力学连续介质力学 1 1引言引言2 2变形和运动变形和运动3 3应变度量应变度量4 4应力度量应力度量5 5守恒方程守恒方程6Lagrangian守恒方程守恒方程7 7极分解和框架不变性极分解和框架不变性第1页/共90页1 引言 连续介质力学是非线性有限元分析的基石。连续介质力学是非线性有限元分析的基石。从描述从描述变形和运动变形和运动开始。在刚体的运动中开始。在刚体的运动中着重于转动的描述。转动在非线性连续介质力着重于转动的描述。转动在非线性连续介质力学中扮演了中心的角色，许多更加困难和复杂学中扮演了中心的角色，许多更加困难和复杂的非线性连续介质力学问题都是源于转动。
2、的非线性连续介质力学问题都是源于转动。第2页/共90页1 1 引言引言 非非线线性性连连续续介介质质力力学学中中的的应应力力和和应应变变，有有多多种种方方式式定定义义。在在非非线线性性有有限元程序中应用最频繁的是：限元程序中应用最频繁的是：应变度量：应变度量：GreenGreen应变张量和变形率应变张量和变形率。应应力力度度量量：CauchyCauchy应应力力、名名义义应应力力和和第第二二PiolaPiolaKirchhoffKirchhoff应应力力，简简称为称为PK2PK2应力。应力。还还有有许许多多其其它它的的度度量量，过过多多的的应应力力和和应应变变度度量量是是理理解解非非线线性性连
3、连续续介介质质力力学学的的障障碍碍之之一一。一一旦旦理理解解了了这这一一领领域域，就就会会意意识识到到这这么么多多的的度度量量没没有有增增加基础的东西，也许只是学术过量的一种显示。加基础的东西，也许只是学术过量的一种显示。我我们们只只用用一一种种应应力力和和应应变变度度量量的的方方式式进进行行讲讲授授，也也涉涉及及到到其其它它的的方方式式，以便能够理解文献和软件。以便能够理解文献和软件。第3页/共90页1 1 引言引言 守守恒恒方方程程，通通常常也也称称为为平平衡衡方方程程，包包括括质质量量、动动量量和和能能量量守守恒恒方方程程。平平衡衡方方程程是是在在动动量量方方程程中中当当加加速速度度为为
4、零零时时的的特特殊殊情情况况。守守恒恒方方程程既既从从空空间域也从材料域中推导出来。间域也从材料域中推导出来。推推导导并并解解释释极极分分解解原原理理，检检验验CauchyCauchy应应力力张张量量的的客客观观率率，也也称称作作框框架架不不变变率率。解解释释了了率率型型本本构构方方程程要要求求客客观观率率的的原原因因，然然后后表表述述了了几几种种非非线性有限元中常用的客观率。线性有限元中常用的客观率。第4页/共90页2 变形和运动 它它们们的的属属性性和和响响应应可可以以用用空空间间变变量量的的平平滑滑函函数数来来表表征征，至至多多具具有有有有限限个个不不连连续续点点。它它忽忽略略了了非非均
5、均匀匀性性，诸诸如如分分子子、颗颗粒粒或或者者晶晶体体结结构构。晶晶体体结结构构的的特特性性有有时时也也通通过过本本构构方方程程出出现现在在连连续续介介质质模模型型中中，但但是是假假定定其其响响应应和和属属性性是是平平滑滑的的，只只具有有限个不连续点。具有有限个不连续点。连连续续介介质质力力学学的的目目的的就就是是提提供供有有关关流流体体、固固体体和和组组织织结结构的宏观行为的模型。构的宏观行为的模型。Kinematic description:应变是如何度量的？Kinetic description:应力是如何度量的？Mesh description:网格移动如何联系连续体的运动？第5页/共
6、90页2 2 变形和运动变形和运动 在初始域和当前域域之间的映射 初始构形 当前构形 材料点的位置矢量 ei 直角坐标系的单位基矢量，xi 位置矢量的分量。第6页/共90页2 2 变形和运动变形和运动 运动描述运动描述空间坐标空间坐标 当当参参考考构构形形与与初初始始构构形形一一致致时时，在在 t t0 0 时时刻刻任任意意点点处处的的位置矢量位置矢量 x x 与其材料坐标一致与其材料坐标一致 一致映射一致映射 为为 常常 数数 值值 的的 线线 被被 蚀蚀 刻刻 在在 材材 料料 中中，恰恰 似似LagrangianLagrangian网网格格；它它们们随随着着物物体体变变形形，当当在在变变
7、形形构构形形中中观观察察时时，这这些些线线就就不不再再是是CartesianCartesian型型。这这种种观观察察方方式式下下的的材材料料坐坐标标被被称称为为流流动动坐坐标标。但但是是，当当我我们们在在参参考考构构形形中中观观察察材材料料坐坐标标时时，它它们们不不随随时时间间改改变变。建建立立的的方方程程，是是在在参参考考构构形形上上观观察察材材料料坐坐标标，因因此此以以固固定定的的CartesianCartesian坐坐标标系系推推导导方方程程。另另一一方方面面无无论论怎样观察，空间坐标系都不随时间变化。怎样观察，空间坐标系都不随时间变化。材料坐标材料坐标第7页/共90页2 2 变形和运动
8、变形和运动 运动描述运动描述 在在流流体体力力学学中中，根根据据参参考考构构形形来来描描述述运运动动通通常常是是不不可可能能的的，并并且且没没有有必必要要。在在固固体体力力学学中中，应应力力一一般般依依赖赖于于变变形形和和它它的的历历史史，所所以以必必须须指指定定一一个个未未变变形形构构形形，普普遍遍采采用用Lagrangian描描述述，独独立立变量是材料坐标变量是材料坐标X X 和时间和时间t t。位移速度加速度速度是材料点的位置矢量的变化率材料时间导数速度是材料点的位置矢量的变化率材料时间导数 第8页/共90页2 变形和运动 运动描述独立变量是空间坐标独立变量是空间坐标x x 和时间和时间
9、t t，称为空间或，称为空间或EulerianEulerian描述描述 通过链规则得到材料时间导数通过链规则得到材料时间导数 空间时间导数 对流项、迁移项 矢量场的左梯度 第9页/共90页 空空间间变变量量 x x 和和时时间间 t t 的的任任何何函函数数的的材材料料时时间间导导数数可可以以通过链规则得到通过链规则得到和张量函数其材料时间导数给出为其材料时间导数给出为对于标量函数2 变形和运动 运动描述左梯度矩阵 第10页/共90页变形梯度是运动函数的Jacobian矩阵 2 变形和运动 第一个指标代表运动，第二个指标代表偏导数 材料坐标左梯度的转置 直角坐标系下二维的变形梯度给出为F F
10、的行列式用的行列式用J J 表示，称作表示，称作JacobianJacobian行列式或变形梯度行列式行列式或变形梯度行列式第11页/共90页2 变形和运动 变形梯度将当前构形和参考构形上的积分联系起来 二维域 Jacobian行列式的材料时间导数给出为左散度第12页/共90页2 变形和运动 运动条件运动条件除了在有限数量的零度量集合上，假设描述运动和物体变形的映射除了在有限数量的零度量集合上，假设描述运动和物体变形的映射满足以下条件：满足以下条件：连续可微，一对一（F可逆），J 0 这这些些条条件件保保证证函函数数足足够够平平滑滑以以至至于于满满足足协协调调性性，即即在在变变形形物物体体中中
11、不不存存在在缝缝隙隙和和重重叠叠。运运动动及及其其导导数数可可以以是是非非连连续续或或者者在在零零尺尺度度集集合合上上具具有有非非连连续续的的导导数数（如如裂裂纹纹），所所以以它它是是分分段段连连续续可可微微的的。增增加加不不包包括括零零尺尺度度集集合合的的附附加加条条件件以以解解释释裂裂纹纹形形成成的的可可能能性性。在在形形成成裂裂纹纹的的表表面面上上，上上述述条条件件不不满满足足。零零尺尺度度集集合合在在一一维维情情况况中中是是点点，在在二二维维中中是是线线，三三维维中中是是平平面面，因因为为一一个个点点具具有有零零长长度度，一一条条线线具具有零面积，一个表面具有零体积。有零面积，一个表面
12、具有零体积。第13页/共90页2 2 变形和运动变形和运动 运动条件运动条件 变变形形梯梯度度通通常常在在材材料料的的界界面面上上是是非非连连续续的的。在在某某些些现现象象中中，例例如如扩扩展展裂裂纹纹，运运动动本本身身也也是是非非连连续续的的。要要求求在在运运动动及及其其导导数数中中非非连连续续的的数数量量是是有有限限的的。实实际际上上发发现现，有有些些非非线线性性解解答答可可能能拥拥有有无无限限数数量量的的非非连连续续。然然而而，这这些些解解答答非非常常罕罕见见，不不能能被被有有限限元元有有效地处理，所以将不关注这些解答。效地处理，所以将不关注这些解答。第第二二个个条条件件，即即运运动动为
13、为一一对对一一的的，要要求求对对于于在在参参考考构构形形上上的的每每一一点点，在在当当前前构构形形上上有有唯唯一一的的点点与与之之对对应应，反反之之亦亦然然。这这是是F F规规则则的的必必要要充充分分条条件件，即即F F是是可可逆逆的的。当当变变形形梯梯度度F F是是正正常常的的，则则 ，因因为为当当且且仅仅 当当时时F F的的逆逆才才存存在在。因因此此，第第二二个个条条件件和和第第三三个个条条件件是是有有联联系系的的。更更强强的的条条件件是是J J 必必须须为为正正而而不不仅仅是是非非零零，在在第第3.5.43.5.4节节可可以以看看到到这这遵遵循循了了质质量量守守恒恒。这这个个条条件件在在
14、零零尺尺度度集集合合上上也也可可以以违违背背。例例如如，在在一一个个裂裂纹纹的的表表面面上上，每每一一个个点点都都成成为为了了两两个点。个点。第14页/共90页运动条件运动条件 一个Lagrangian网格的刚体转动，显示在参考(初始、未变形)构形和当前(变形)构形中观察到的材料坐标。转转动动是是正正交交变变换换的的一一个个例例子子，R R是是正正交交矩矩阵阵。一一个个矩矩形形单单元元的的LagrangianLagrangian网网格格的的刚刚体体转转动动，如如图图所所示示。可可以以看看出出，在在刚刚体体转转动动中中单单元元的的边边发发生生转转动动，但但是是边边与与边边之之间间的的夹夹角角保保
15、持持不不变变。单单元元的的边边是是X X 或或Y Y 坐坐标标为为常常数数的的直直线线，所所以以在在变变形形构构形形中中观观察察时，当物体转动时材料坐标也转动。时，当物体转动时材料坐标也转动。一一个个刚刚体体的的运运动动包包括括平平动动和和绕绕原原点点的的转转动动，刚刚体体转转动动和和坐坐标标转换的关系为转换的关系为 第15页/共90页2 2 变形和运动变形和运动 二维问题 角速度 空间坐标 角速度张量或角速度矩阵 偏对称张量也称作反对称张量 二维问题 动力学教材中的刚体运动方程 第16页/共90页例3.13节点三角形有限元，设节点的运动为求解变形梯度和Jacobian行列式为时间的函数，当J
16、acobian行列式保持常数时求出a和b的值。2 2 变形和运动变形和运动(1)第17页/共90页三角形3节点线性位移单元的构形 解：在初始构形中，t=0 面积坐标 2 变形和运动(2)第18页/共90页将未变形构形中的节点坐标代入上式 在初始构形中，t=0 得到三角形坐标与材料坐标之间的关系 即 得到运动的表达式 变形梯度为 2 变形和运动 将(1)和(3)代入(2)(3)第19页/共90页 在在单单元元中中的的位位移移是是材材料料坐坐标标的的线线性性函函数数，变变形形梯梯度度仅仅为为时时间间函数，若给定时间，函数，若给定时间，F F 为常数。为常数。JacobianJacobian行列式给
17、出为行列式给出为变形梯度为 当 J的行列式为常数，这种运动是没有变形的转动；当 一个剪切变形和一个转动，其中单元的面积保持常数。这种类型的变形称为等体积变形；不可压缩材料的变形就是等体积变形。2 变形和运动 J行列式也保持常数，这种情况对应于第20页/共90页例3.3 一一个个单单位位正正方方形形4 4节节点点单单元元，其其中中3 3个个节节点点固固定定。求导致求导致JacobianJacobian行列式等于零时节点行列式等于零时节点3 3位置的轨迹。位置的轨迹。除节点除节点3 3之外所有节点均固定，矩形单元的位移场由双线性场给之外所有节点均固定，矩形单元的位移场由双线性场给出出2 2 变形和
18、运动变形和运动 第21页/共90页沿着由节点沿着由节点1 1和和2 2以及节点以及节点1 1和和4 4所定义的边界上位移场为零，运动为所定义的边界上位移场为零，运动为 变形梯度 则Jacobian行列式为检验什么时候Jacobian行列式为零，只需考虑单元未变形构形中材料点的Jacobian行列式，即单位正方形 显然 且J是最小 当 对应的点的轨迹由节点位移的线性函数给定对应的点的轨迹由节点位移的线性函数给定 节点节点3 3越过未变形单元的对角线越过未变形单元的对角线 2 2 变形和运动变形和运动 第22页/共90页例3.4小变形情况下一个扩展裂纹周围的位移场给出为小变形情况下一个扩展裂纹周围
19、的位移场给出为 初始未开裂的构形和裂纹沿轴扩展的两个随后构形 2 2 变形和运动变形和运动 这这个个位位移移场场对对应应于于沿沿着着X X轴轴的的开开口口裂裂纹纹，且且裂裂尖尖速速度度为为c c。求求出出沿沿着着直直线线 上上的的位位移移间间断断。并并问问这这个个位位移移场场是是否满足运动连续性要求？否满足运动连续性要求？第23页/共90页解：2 2 变形和运动变形和运动 运动为运动为 ，。位移场的间断是在公式中关于位移场的间断是在公式中关于 和和 的差值：的差值：所以位移的跳跃或间断为所以位移的跳跃或间断为其它任何地方的位移场都是连续的。其它任何地方的位移场都是连续的。这这个个运运动动满满足
20、足第第1414页页所所给给出出函函数数连连续续性性准准则则，因因为为不不连连续续仅仅仅仅发发生生在在一一条条线线上上，在在二二维维中中这这是是一一个个零零尺尺度度的的集集合合。从从图图中中可可以以看看出出，在在这这个个运运动动中中裂裂纹纹尖尖端端后后面面的的线线被被分分成成两两条条线线。在在设设计计运运动动时时也也可可能能该该线线并并不不分分离离，只只是是在在切切线线位位移移场场上上发发生生间间断断。现现在在这这两两种种运运动动都都常常常常应应用用在在非非线性有限元分析中。线性有限元分析中。第24页/共90页3 3 应变度量应变度量1.1.GreenGreen应变应变E E2.2.变形率张量变
21、形率张量D D 许许多多应应变变和和应应变变率率度度量量出出现现在在连连续续介介质质力力学学的的文文献献中中；然然而而，在在有有限限元元方方法法中中应应用用最最普普遍遍的的是是上上面面两两种种度度量量。在在描描述述本本构构方方程程时，如果需要，有时使用其它度量更加有利。时，如果需要，有时使用其它度量更加有利。对对于于任任何何刚刚体体运运动动(含含刚刚体体转转动动)，应应变变度度量量必必须须为为零零。如如果果在在刚刚体体转转动动中中应应变变度度量量不不为为零零，预预示示着着有有非非零零应应变变，结结果果导导致致非非零应力。下面看一个例子零应力。下面看一个例子3.63.6。第25页/共90页一个单
22、元绕着原点转动了一个单元绕着原点转动了角。计算线性应变角。计算线性应变 例3.6取它们对材料坐标求导取它们对材料坐标求导 如果如果较大，伸长应变不为零。较大，伸长应变不为零。对对于于任任何何刚刚体体运运动动(含含刚刚体体转转动动)，应应变变度度量量必必须须为为零零。这这就就是是为为什什么么在在非非线线性性理理论论中中放放弃弃一一般般的的线线性性应应变变位位移移方方程程的的关关键因素。键因素。3 3 应变度量应变度量第26页/共90页3 3 应变度量应变度量 下下面面将将看看到到在在刚刚体体转转动动中中E E和和D D为为零零。应应变变度度量量也也应应该该满满足足其其它它的的准准则则，比比如如，
23、当当变变形形增增大大时时它它也也相相应应的的增增大大，等等等等。然然而而，能能够够表表示示刚刚体体运运动动是是至至关关重重要要的的，并并且且指指明明什什么么时时候候使使用用几几何何非非线性理论。线性理论。到底多么大的转动需要进行非线性分析？到底多么大的转动需要进行非线性分析？说说明明在在转转动动中中线线性性应应变变的的误误差差是是二二阶阶的的，线线性性分分析析的的适适用用性性在于容许误差的量级，最终取决于感兴趣的误差大小。在于容许误差的量级，最终取决于感兴趣的误差大小。因此，线性应变张量不能用于大变形问题。因此，线性应变张量不能用于大变形问题。第27页/共90页 线线性性分分析析的的适适用用性
24、性则则在在于于能能够够容容许许误误差差的的量量级级，最最终终取取决决于于感感兴兴趣趣的的应应变变的的大大小小。如如果果感感兴兴趣趣的的应应变变量量级级是是1010-2-2，那那么么1 1的的误误差差是是能能够够接接受受的的（几几乎乎总总是是这这样样）。如如果果感感兴兴趣趣的的应应变变更更小小，可可接接受受的的转转动动更更小小，对对于于1010-4-4量量级级的的应应变变，为为满满足足1 1的误差，转动必须是的误差，转动必须是1010-3-3 弧度量级的。弧度量级的。这这些些指指导导数数据据假假设设平平衡衡解解答答是是稳稳定定的的，即即不不可可能能发发生生屈屈曲曲。然然而而，屈屈曲曲是是可可能能
25、的的，即即使使是是在在很很小小的的应应变变下下，所所以以当当可能发生屈曲时，应该使用能适合应付大变形的度量。可能发生屈曲时，应该使用能适合应付大变形的度量。3 3 应变度量应变度量第28页/共90页3 3 应变度量应变度量GreenGreen应变张量定义应变张量定义 材材料料矢矢量量dXdX长长度度平平方方的的变变化化。GreenGreen应应变变度度量量了了当当前前(变变形形)构构形形和和参参考考(未未变变形形)构构形形中中一一个个微微小小段段长长度度的的平平方方的的差差。利利用用变变形形梯度公式梯度公式,将公式左边重新写成为矩阵形式将公式左边重新写成为矩阵形式 整理上面公式为提出相同的项得
26、到 对于任何dX都成立第29页/共90页3 3 应变度量应变度量GreenGreen应变张量应变张量E E以位移的形式使用指标写法 代入上式，表示为位移梯度的形式 第30页/共90页3 3 应变度量应变度量 在在任任何何刚刚体体运运动动中中，GreenGreen应应变变张张量量为为零零，满满足足了了应应变变度度量量的的一个重要要求。一个重要要求。考虑刚体运动 由变形梯度F 定义，绕原点纯转动时，给出为FR（证明见例3.2)式中转动张量满足正交性，R是正交矩阵 GreenGreen应变张量应变张量E E第31页/共90页第二个运动度量D，称为速度应变,是变形的率度量,定义速度梯度 3 3 应变度
27、量应变度量变形率张量变形率张量D D速度梯度张量可以分解为对称部分和反对称部分为 令变形率(对称)转动(反对称)二阶张量或方阵的标准分解：以上面的方式，任何一个二阶张量都可以表示为它的对称部分和反对称部分的和 所以第32页/共90页没有变形，转动张量和角速度张量相等：W。由速度梯度定义，在刚体运动中变形率D0，所以LW，积分其中xT和vT是积分常数，对比刚体动力学公式：得到 在在刚刚体体转转动动中中，转转动动和和角角速速度度张张量量是是相相同同的的。当当刚刚体体除除了了转动之外还有变形时，转动张量一般区别于角速度张量。转动之外还有变形时，转动张量一般区别于角速度张量。3 3 应变度量应变度量变
28、形率张量变形率张量D D变形率是微小材料线段长度的平方的变化率度量 第33页/共90页证明在刚体运动中变形率D03 应变度量变形率张量D第34页/共90页3 3 应变度量应变度量变形率的变形率的GreenGreen应变率形式应变率形式 将将变变形形率率与与GreenGreen应应变变张张量量的的率率联联系系起起来来，首首先先得得到到速速度度场场的的材料梯度，并通过链规则表示为空间梯度的形式材料梯度，并通过链规则表示为空间梯度的形式 取变形梯度 的材料时间导数 应用链规则展开恒等式得到 代入上面公式，有第35页/共90页3 3 应变度量应变度量变形率的变形率的GreenGreen应变率形式应变率
29、形式将变形率与Green应变张量的率联系起来将变形率D前面点积FT，后面点积F，得到 这两种度量是看待相同过程的两种方式：Green应变率是在参考构形中表达的，变形率是在当前构形中表达的。两种形式的性质的区别是，在例3.7中将会看到Green应变率对时间积分是与路径无关的，而变形率对时间积分是与路径有关的。逆变换得到 前推运算后拉运算第36页/共90页例例3.5 3.5 拉伸和转动联合作用下的应变度量拉伸和转动联合作用下的应变度量 考虑运动 其中a和b是正常数。计算作为时间函数的变形梯度F，Green应变和变形率张量，并验证在t0与t1时的值。定义计算变形梯度F 以上变形包括同时沿着X和Y轴材
30、料线的拉伸和单元转动。在任何时刻在单元中的变形梯度是常数，应变度量也是常数。得到Green应变张量，由公式给出F，这样得到：第37页/共90页得到Green应变张量当t0时，有xX和E0，计算变形率，先获得速度，取运动的材料时间导数 在t0时，xX，yY，c1，s0，AB1，速度梯度在t0时为 例例3.5 3.5 拉伸和转动联合作用下的应变度量拉伸和转动联合作用下的应变度量 第38页/共90页为了确定变形率的时间历史，计算变形梯度的时间导数和逆 等式右边的第一项是变形率，因为它是速度梯度的对称部分，而第二项是转动，它是反对称部分。变形率在t1时给出为因此，当在中间步骤中，剪切速度应变是非零的，
31、在t1时刻的构形中只有伸长的速度应变是非零的。当t1时刻的Green应变率通过对变形率后拉运算给出例例3.5 3.5 拉伸和转动联合作用下的应变度量拉伸和转动联合作用下的应变度量 第39页/共90页 一一个个单单元元经经历历了了图图示示的的变变形形阶阶段段。在在这这些些阶阶段段之之间间的的运运动动是是时时间间的的线线性性函函数数。计计算算每每一一阶阶段段的的变变形形率率张张量量D，对对于于回回到到未变形构形的整个变形循环，获得变形率的时间积分。未变形构形的整个变形循环，获得变形率的时间积分。例例3.7 3.7 计算变形率的时间积分计算变形率的时间积分 假假定定变变形形的的每每个个阶阶段段都都发
32、发生生在在一一个个单单位位时时间间间间隔隔内内。时时间间标定与结果无关，标定与结果无关，从构形从构形1 1到构形到构形2 2的运动为：的运动为：确定变形梯度确定变形梯度第40页/共90页得到速度梯度和变形率为得到速度梯度和变形率为 例例3.7 3.7 计算变形率的时间积分计算变形率的时间积分 这这样样，变变形形率率就就是是一一个个纯纯剪剪切切，即即两两个个拉拉伸伸分分量量都都为为零零。由由公公式得到式得到GreenGreen应变为：应变为：比较上面两式，比较上面两式，E E2222非零，而非零，而D D22220 0，当，当a a为小量时，为小量时，E E2222也小。也小。从构形从构形2 2
33、到构形到构形3 3剪切与剪切与y y向拉伸的联合运动：向拉伸的联合运动：第41页/共90页例例3.7 3.7 计算变形率的时间积分计算变形率的时间积分 从构形从构形3 3到构形到构形4 4纯剪切运动：纯剪切运动：从构形从构形4 4到构形到构形5 5y y向拉伸（压缩）运动：向拉伸（压缩）运动：在在构构形形5 5中中的的GreenGreen应应变变为为零零，因因为为在在t=4t=4时时的的变变形形梯梯度度是是单单位位张张量，量，F FI I。变形率对时间的积分给出为。变形率对时间的积分给出为第42页/共90页例例3.7 3.7 计算变形率的时间积分计算变形率的时间积分 变变形形率率在在回回到到初
34、初始始构构形形结结束束的的整整个个循循环环上上的的积积分分不不为为零零。这这个个问问题题的的最最后后构构形形对对应应于于未未变变形形构构形形，所所以以应应变变的的度度量量应应该该为零，变形率的积分不为零，为零，变形率的积分不为零，变形率的积分是路径相关的变形率的积分是路径相关的。对对于于第第5 5章章描描述述的的次次弹弹性性材材料料，这这是是一一个个重重要要的的诠诠释释。它它同同时时也也暗暗示示变变形形率率的的积积分分不不是是整整个个应应变变的的一一个个很很好好的的度度量量。必必须须注注意意到到D D在在一一个个循循环环上上的的积积分分结结果果是是表表征征变变形形的的二二阶阶常常数数，所所以以
35、只只要要这这些些常常数数非非常常小小，误误差差是是可可以以忽忽略略不不计计的的。GreenGreen应应变变率率在在任任何何闭闭合合循循环环上上的的积积分分等等于于零零，因因为为它它是是GreenGreen应应变变E E的的时时间间导导数。换句话说，数。换句话说，GreenGreen应变率的积分是路径无关的应变率的积分是路径无关的。第43页/共90页4 4 应力度量应力度量1 Cauchy应力，2 名义应力张量，P3 PK2应力张量，S法向矢量通常在左边 以Cauchy应力的形式表示面力，称为Cauchy定理，或者Cauchy假定。它包括当前表面的法线和面力（每单位面积上的力），称为物理应力或
36、真实应力。例如，Cauchy应力的迹，这是流体力学中普遍使用的真实压力p。应力度量P和S的迹没有给出真实压力，因为它们参考未变形的面积。使用约定，在拉伸中Cauchy应力的法向分量为正，由公式，在压缩时压力是正的。在角动量守恒中将看到，Cauchy应力张量是对称的，即T。第44页/共90页4 4 应力度量应力度量1 Cauchy应力，2 名义应力张量，P3 PK2应力张量，S第45页/共90页4 4 应力度量应力度量 名义应力P表示是在参考表面上的面积和法线，即未变形表面，它的定义类似于Cauchy应力的定义。名义应力是非对称的。名义应力的转置称作为PK1(第一Piola-Kirchhoff)
37、应力。PK2应力为对称的，它和Green应变率在功率上是共轭的。PK2应力被广泛应用于路径无关材料，如橡胶(势能）。在Nanson关系中，当前法线与参考法线通过下式联系起来 为了说明如何得到不同应力度量之间的转换关系，将以Cauchy应力的形式建立名义应力的表达式。通过Nanson关系第46页/共90页4 4 应力度量应力度量由于上式对于任意的n0都成立，所以有对于任意的n0都成立，有作矩阵变换从公式可以看到，PPT(FFT)，即名义应力张量是非对称的。Cauchy应力，PK2应力，名义应力的关系 后拉 前推 参考构形S和之间的关系，只依赖于变形梯度F和J行列式Jdet(F)只要变形已知，应力
38、状态总能够表示为、P或者S的形式。可以看出，如果Cauchy应力对称，那么S也是对称：SST。第47页/共90页在物体中的每个点都构造了一个坐标系。这个坐标系随着材料或单元一起转动。通过将这些张量表达在一个随材料而转动的坐标系中，很容易处理结构单元和各向异性材料。旋转应力和变形率旋转应力和变形率 4 4 应力度量应力度量在旋转方法中，用基矢量变形率也表示为其旋转分量的形式，它可以从总体分量中得到，也可以直接从速度场中得到。第48页/共90页4 4 应力度量应力度量旋转应力和变形率旋转应力和变形率 变形率也可以表示为旋转分量事实上，速度v的正确梯度是 旋转方法经常迷惑一些有经验的力学工作者，他们
39、把它解释为一种用基矢量 的曲线坐标系统，是x的函数，从而会给出一个矢量 错误地认为速度v的梯度是 每个点可能有不同的旋转系统 第49页/共90页旋转Cauchy应力和旋转变形率定义为4 4 应力度量应力度量旋转应力和变形率旋转应力和变形率 旋转Cauchy应力张量与Cauchy应力是同一个张量，但是它被表示为随材料而转动的坐标系的分量形式。严格的讲，一个张量不依赖于表示它的分量的坐标系。“戴帽子”的那个坐标系是随着材料（或单元）运动的，有限元中一般定义三套坐标系统：总体，单元，节点第50页/共90页例例3.8 平面问题平面问题 设给定初始状态的Cauchy应力和运动形式为应力嵌入在材料中，当物
40、体转动时，初始应力也跟着转动，计算初始构形以及t/2时构形的PK2应力，名义应力和旋转应力。在初始状态，FI，有在t/2时的变形构形中，变形梯度给出为4 4 应力度量应力度量第51页/共90页例：平面问题 因为应力是嵌入在材料中，在转动t/2构形中的应力状态为由于这个问题中的映射为纯刚体转动，RF，所以当t/2时 在纯转动中，PK2应力是不变的；PK2应力行为好像是被嵌入在材料中。材料坐标随着材料转动，而PK2应力的分量始终与材料坐标的取向保持关联。第52页/共90页5 5 守恒方程守恒方程如果 知识准备知识准备 是C1连续的，且对于 的任何子域有 那么在上，对于任何 有 1.1.质量守恒质量
41、守恒2.2.线动量守恒，常称为动量守恒线动量守恒，常称为动量守恒3.3.能量守恒能量守恒4.4.角动量守恒角动量守恒第53页/共90页5 5 守恒方程守恒方程1 1 质量守恒质量守恒 质量守恒要求任意材料域的质量为常数，没有穿过材料域的边界，不考虑质量到能量的转化。根据能量守恒原理，m()的材料时间导数为零，即 材料域的质量为对上式应用Reynold转换定理得到由于上式对于任意的子域都成立，可以得到质量守恒方程，称其为连续性方程，是一阶偏微分方程。第54页/共90页5 5 守恒方程守恒方程ReynoldReynold转换定理转换定理 一个积分的材料时间导数是在材料域上积分的变化率。材料域随着材
42、料而运动，在边界上的材料点始终保持在边界上，且不发生质量流动跨过边界。材料域类似于Lagrangian网格；对于材料时间导数的各种积分形式称为Reynold转换定理。将右边的两个积分转换到参考域上 t是同一材料点在t时刻所占据的空间域。积分域经过这种变换，f 成为材料坐标的函数。积分域现在是时间独立，将极限运算拉入积分内进行，取极限得到第55页/共90页5 5 守恒方程守恒方程1 1 质量守恒质量守恒 独立的空间变量是材料坐标，被积函数中对时间的偏导数是材料时间导数 将上式右边的积分转换到当前域上，并把独立变量改为Eulerian描述，给出Reynold转换定理一种形式第56页/共90页5 5
43、 守恒方程守恒方程1 质量守恒 Reynold转换定理另一种形式对上式右边的第二项应用Gauss定理 质量守恒方程质量守恒方程第57页/共90页质量守恒方程的几种特殊形式质量守恒方程的几种特殊形式 5 5 守恒方程守恒方程(1)(1)当材料不可压缩时，密度的材料时间导数为零,即速度场的散度为零(2)(2)对于LagrangianLagrangian描述，将质量守恒方程对时间积分，得到密度的代数方程 将上式左边的积分转换到参考域 代数方程常常应用于LagrangianLagrangian网格中以保证质量守恒(固体力学),),在EulerianEulerian网格中质量守恒的代数形式不能应用，通过
44、偏微分方程，即连续性方程保证质量守恒(流体力学)。第58页/共90页5 5 守恒方程守恒方程2 2 线动量守恒线动量守恒 从线动量守恒原理得出的方程是非线性有限元程序中的一个关键方程。线动量守恒等价于Newton第二运动定律，它将作用在物体上的力与它的加速度联系起来。这个原理通常称为动量守恒原理，或动量平衡原理。称为动量方程；也称为线动量平衡方程。左边的项代表动量的变化，称为惯性或运动项。根据应力场的散度，右边的第一项是每单位体积的净合内力。这种形式的动量方程均适用于LagrangianLagrangian格式和EulerianEulerian格式。平衡方程 平衡过程是静态的,荷载缓慢施加到物
45、体上，不包括加速度。动量和平衡方程都是张量方程,代表了NSD个标量方程。第59页/共90页5 5 守恒方程守恒方程3 3 角动量守恒角动量守恒 用用位位置置矢矢量量x x叉叉乘乘相相应应的的线线动动量量原原理理中中每每一一项项，得得到到角角动动量量守恒的积分形式守恒的积分形式式中 角角动动量量守守恒恒方方程程要要求求CauchyCauchy应应力力为为对对称称张张量量。所所以以，在在二二维维问问题题中中CauchyCauchy应应力力张张量量代代表表着着3 3个个不不同同的的相相关关变变量量，在在三三维维问问题题中中为为6 6个个。当当使使用用CauchyCauchy应应力力时时，角角动动量量
46、守守恒恒不不会会产产生生任任何何附附加的方程。加的方程。第60页/共90页4 4 能量守恒能量守恒 5 5 守恒方程守恒方程 考虑热力学过程，仅有的能量源为机械功和热量。能量守恒原理，即能量平衡原理，说明整个能量的变化率等于体力和面力做的功加上由热流量和其它热源传送到物体中的热能。每单位体积的内能用wint表示，其中wint是每单位质量的内能。每单位面积的热流用矢量q表示，其量纲是功率除以面积，每单位体积的热源用ss表示。能量守恒则要求在物体中总能量的变化率，包括内能和动能，等于所施加的力和在物体中由热传导和任何热源产生的能量的功率。第61页/共90页5 5 守恒方程守恒方程4 4 能量守恒能
47、量守恒 在域内由体积力,和在表面上由面力做的功率为在物体中总能量的变化率为 由热源s和热流q提供的功率为 其中热流一项的符号是负的，因为正的热流是向物体外面流出的 能量守恒能量守恒 第62页/共90页5 守恒方程4 能量守恒 即物体内总能量的变化率（包括内能和动能）等于外力的功率和由热流及热能源提供的功率。这是已知的热力学第一定律。内能的支配依赖于材料。在弹性材料中，它以内部弹性能的形式存储起来，并在卸载后完全恢复；在弹塑性材料中，部分内能转化为热，部分由于材料内部结构的变化而耗散了。应用Reynold定理将求导数移入积分内，然后将面积分转换为域积分 第63页/共90页5 5 守恒方程守恒方程
48、4 4 能量守恒能量守恒 将Cauchy定律和Gauss定理应用于面力边界积分，得到 代入能量守恒公式，对热流积分应用Gauss定理，并整理各项得到 动量方程,为0 0 第64页/共90页5 5 守恒方程守恒方程4 4 能量守恒能量守恒 由域的任意性,得到能量守恒的偏微分方程 当没有热流和热源时，即为一个纯机械过程，能量方程成为 这不再是一个偏微分方程，它以应力和应变率度量的形式，定义了给予物体单位体积的能量变化率；称为内能变化率或内部功率。由变形率和Cauchy应力的缩并给出内部功率。变形率和变形率和CauchyCauchy应力在功率上是耦合的应力在功率上是耦合的。功率上的耦合有助于弱形式的
49、建立：在功率上耦合的应力和应变率的度量可以用于构造虚功原理或虚功率原理，即动量方程的弱形式。在功率上耦合的变量也可以说在功或者能量上是耦合的，但是常常使用功率耦合的说法，因为它更加准确。第65页/共90页5 守恒方程第66页/共90页6 6 LagrangianLagrangian守恒方程守恒方程 以以应应力力和和应应变变的的LagrangianLagrangian度度量量形形式式，在在参参考考构构形形中中直直接接建建立立守守恒恒方方程程是是有有益益的的。在在连连续续介介质质力力学学的的文文献献中中，这这些些公公式式称称为为LagrangianLagrangian描描述述，而在有限元的文献中，
50、这些公式称为完全的，而在有限元的文献中，这些公式称为完全的LagrangianLagrangian格式格式。对对 于于 完完全全 的的 LagrangianLagrangian格格式式，总总是是 使使用用 LagrangianLagrangian网网格格。在在LagrangianLagrangian框框架架中中的的守守恒恒方方程程与与刚刚刚刚建建立立的的守守恒恒方方程程基基本本上上是是一一致致的的；它它们们只只是是以以不不同同的的变变量量表表示示。实实际际上上将将看看到到，可可以以通通过过框框3.23.2中中的的转转换换关系和链规则得到它们。关系和链规则得到它们。第67页/共90页6 6 La