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1、3-3 二阶系统的分析二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统二阶系统的分析具有极其重要的实际意义，很多高阶系统在一定条件下可以用二阶系统近似分析1.二阶系统的数学模型微分方程描述第1页/共52页二阶系统结构图二阶系统开环传递函数标准形式的二阶系统闭环传递函数第2页/共52页自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的特征方程为 二阶系统的两个极点（特征根）为系统对输入响应的特性取决于特征根特征根的性质主要取决于阻尼比二阶系统闭环传函第3页/共52页42.二阶系统特征根分布情况特征根公式1)1)：两个正实部的特征根 单位阶跃响应发散,系统不稳定第4页/共52页52)2)：
2、两个负实部共轭复根，单位阶跃响应衰减振荡特性，欠阻尼系统3)3)：两个相等的实根 单位阶跃响应单调变化，临界阻尼系统第5页/共52页64)4)：两个不相等的负实根 单位阶跃响应单调变化，过阻尼系统5)5)：共轭纯虚根 单位阶跃响应作等幅振荡，无阻尼系统第6页/共52页二阶系统单位阶跃 响应定性分析(s)=s2+2 zwzwns+w wn2w wn2s1,2=-zwzwnz z2-1w wns1,2=-zwzwnj1-z z2w wns1,2=-zwzwn-w wn=s1,2=j w wn0z z1z z1z z0z z1j0j0j0j0j0j0j0j0T11T21h(t)=1T2tT1T21e
3、+T1tT2T11e+h(t)=1-(1+w wnt)e-w w tnh(t)=11-z z21e-zwzw tnsin(w wdt+b b)h(t)=1-cosw wntz z1z z10z z1z z0第7页/共52页8欠阻尼：指的是阻尼比特征根是具有负实部的共轭复数令衰减系数（与虚轴的距离）阻尼振荡频率（与实轴的距离）则3.二阶系统的单位阶跃响应：1）欠阻尼情形第8页/共52页9当输入为单位阶跃时注意：第9页/共52页10拉式反变换得到单位阶跃响应为其中称为阻尼角第10页/共52页11阻尼角的图形意义衰减系数 是闭环极点到虚轴的距离阻尼振荡频率 是闭环极点到实轴的距离自然振荡频率 是闭环
4、极点到原点的距离第11页/共52页12稳态分量，瞬态分量n稳态分量为1 1，二阶系统在单位阶跃函数作用下不存在稳态误差n瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为n瞬态过程收敛速度取决于包络线第12页/共52页13单位阶跃响应是平均值为1的正余弦形式等幅振荡3.二阶系统的单位阶跃响应：2）零阻尼情形闭环传递函数第13页/共52页14闭环传递函数单位阶跃响应为求拉氏逆变换3.二阶系统的单位阶跃响应：3）临界阻尼情形第14页/共52页15n稳态值为1，无稳态误差n响应过程是单调上升的第15页/共52页16系统有两个负实根3.二阶系统的单位阶跃响应：4）过阻尼情形闭环传递函数单位阶跃响应为第16页/共5
5、2页17n过阻尼系统的响过阻尼系统的响应是无振荡的应是无振荡的n稳态值为稳态值为1，无稳，无稳态误差态误差第17页/共52页0123456789101112 nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0第18页/共52页 直观地看，越大，超调量%越小，响应的振荡性越弱，平稳性越好；反之，越小，振荡性越强，平稳性越差。若 过大，如 ，系统响应迟缓，调节时间ts长，快速性差；若 过小，虽然响应的起始速度较快，tr和tp小，但振荡强烈，响应曲线衰减缓慢，调节时间ts亦长
6、。第19页/共52页在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间二阶系统一般取 其它的动态性能指标可用 精确表示只能近似表示第20页/共52页21(1)延迟时间令n4.欠阻尼二阶系统动态性能分析欠阻尼二阶系统动态性能分析在较大的 值范围内，近似有 时近似表示为增大自然频率或减小阻尼，都可减小延迟时间记住！单位阶跃响应方程单位阶跃响应方程第21页/共52页22(2)上升时间令 得 取n=1n=1，所以 响应速度越快一定，即 一定时记住！第22页/共52页23(3)峰值时间令c(t)导数为零，得由于所以取记住！第23页/共52页
7、24根据 的表达式越小，表明响应速度越快第24页/共52页25(4)超调量超调量在峰值时间发生，故即为最大输出所以记住！超调量只与阻尼比有关系！超调量只与阻尼比有关系！第25页/共52页26阻尼比越小，超调量越大第26页/共52页%与与 的关系曲线的关系曲线 增大，%减小，通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比 取在0.4-0.80.4-0.8之间,相应的超调量25%-1.5%25%-1.5%。第27页/共52页(5)调节时间ts 根据定义：不易求出ts，需用近似求解的方法第28页/共52页29已知欠阻尼二阶系统的包络线为已知欠阻尼二阶系统的包络线为欠阻尼二阶系统响应的包络线欠阻尼二阶系统响
8、应的包络线实际输出响应的曲线实际输出响应的曲线收敛程度，小于包络收敛程度，小于包络线的收敛程度。线的收敛程度。一般一般采用包络线来代替实采用包络线来代替实际响应来估算调节时际响应来估算调节时间间。所得结果略为保。所得结果略为保守。守。第29页/共52页30令令 为实际响应与稳态值的误差，则有为实际响应与稳态值的误差，则有若令所以所以记住！第30页/共52页调节时间不连续的示意图调节时间不连续的示意图 值的微小变化可引起调节时间t ts s显著的变化。第31页/共52页n阻尼比阻尼比越小，超调量越大，平稳性越差，调节时越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间间t ts s长；长；n过大时，系统响应
9、迟钝，调节时间过大时，系统响应迟钝，调节时间t ts s也长，快速也长，快速性差；性差；n=0.7=0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量，调节时间最短，快速性最好，而超调量%5%5%，平稳性也好，故称，平稳性也好，故称=0.7=0.7为最佳阻尼比。为最佳阻尼比。总结：结构参数对单位阶跃响应性能的影响第32页/共52页R(s)(-)C(s)化为标准形式 即有 2 n=1/Tm=5,n2=K/Tm=25解：系统闭环传递函数为 解得 n=5,=0.5 例：已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应指标。第33页/共52页 设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定其闭环传递函
10、数。例：解解：图图示示为为一一欠欠阻阻尼尼二二阶阶系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应曲曲线线。由由图图中中给给出出的的阶阶跃跃响响应应性性能能指指标标，先先确确定定二二阶阶系系统统参参数数，再再求求传传递函数。递函数。由图知：由图知：0t(s)11.30.1h(t)第34页/共52页5.过阻尼系统的动态特性分析单位阶跃输入系统的输出量为拉氏反变换得第35页/共52页 响应曲线起始速度小，然后上升速度逐渐加大，到达某一值后又减小，响应曲线不同于一阶系统。过阻尼二阶系统的动态性能指标主要是调节时间ts，根据公式求ts的表达式很困难，一般用计算机确定第36页/共52页过阻尼二阶系统调节时间特性第3
11、7页/共52页从曲线可以看出：从曲线可以看出：当当 ,(临界阻尼）时，临界阻尼）时，,当当 ，时，时，当当 ，时，时，由此可见，当由此可见，当 ，二阶系统可近似等效为一阶，二阶系统可近似等效为一阶系统，调节时间可用系统，调节时间可用3T1来估算。来估算。过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用的控制过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用的控制系统一般不采用过阻尼系统。系统一般不采用过阻尼系统。第38页/共52页6.二阶系统的单位斜坡响应1）欠阻尼）欠阻尼稳态分量 css 瞬态分量 ctt系统的误差响应为系统的误差响应为第39页/共52页2.临界阻尼临界阻尼3.过阻尼过阻尼第40页/共52页仿真时间仿真时间输出误差自然频率：wn=1.0阻尼比：=0.4；1.0；2.5=0.4=1.0=2.5=2.5=1.0=0.4第41页/共52页7.二阶系统性能的改善1.系统运行的平稳性与稳态精度矛盾系统运行的平稳性与稳态精度矛盾2.要求在系统具有较高稳态精度的前提下要求在系统具有较高稳态精度的前提下提高平稳性提高平稳性比例比例+微分控制微分控制速度反馈控制速度反馈控制加入校正装置（第六章加入校正装置（第六章）改进措施：改进措施：第45页/共52页感谢您的观看。第52页/共52页