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1、一、平面图形的面积一、平面图形的面积1.直角坐标情形直角坐标情形设曲线与直线及 x 轴所围曲则边梯形面积为 A,右下图所示图形面积为 第1页/共49页例例1.计算两条抛物线计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解解:由得交点第2页/共49页例例2.计算抛物计算抛物线线与直线的面积.解解:由得交点所围图形为简便计算,选取 y 作积分变量,则有第3页/共49页例例3.求椭圆求椭圆解解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当 a=b 时得圆面积公式第4页/共49页一般地一般地,当曲边梯形的曲边由参数当曲边梯形的曲边由参数方程方程 给出时,按顺时针方向规定起点和终点
2、的参数值则曲边梯形面积第5页/共49页例例4.求由摆线求由摆线的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.解解:第6页/共49页2.极坐标情形极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为第7页/共49页对应 从 0 变例例5.计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线解解:点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停到 2 所围图形面积.第8页/共49页例例6.计算心形线计算心形线所围图形的面积.解解:(利用对称性)第9页/共49页例例7.计算心形线计算心形线与圆所围图形的面积.解解:利用对称性,所求面积第10页/共49页例例
3、8.求双纽线求双纽线所围图形面积.解解:利用对称性,则所求面积为思考思考:用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积.答案答案:第11页/共49页二、平面曲线的弧二、平面曲线的弧长长定义定义:若在弧 AB 上任意作内接折线,当折线段的最大边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧 AB 的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)则称第12页/共49页(1)曲线弧由直角坐标方程给曲线弧由直角坐标方程给出出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长第13页/共49页(2)曲线弧由参数方程给曲线弧由参数方程给出出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长第1
4、4页/共49页(3)曲线弧由极坐标方程给出曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):(自己验证)第15页/共49页例例9.两根电线杆之间的电线两根电线杆之间的电线,由于其本身的由于其本身的重量重量,成悬链线.求这一段弧长.解解:下垂悬链线方程为第16页/共49页例例10.求连续曲线求连续曲线段段解解:的弧长.第17页/共49页例例11.计算摆线计算摆线一拱的弧长.解解:第18页/共49页例例12.求阿基米德螺线求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长.解解:第19页/共49页三三、已知平行截面面积函数的立体体、已知平行截面面积函数的立体体积积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(
5、x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,第20页/共49页特别特别,当考虑连续曲线当考虑连续曲线段段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有第21页/共49页例例13.计算由椭计算由椭圆圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积.解解:方法方法1 利用直角坐标方程则(利用对称性)第22页/共49页方法方法2 利用椭圆参数方程利用椭圆参数方程则特别当b=a 时,就得半径为a 的球体的体积第23页/共49页例例14.计算摆计算摆线线的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋转而成的立体体积.解解:绕 x 轴旋转而成的体积为利
6、用对称性利用对称性第24页/共49页绕绕 y 轴旋转而成的体积轴旋转而成的体积为为注意上下限!注注第25页/共49页柱壳体积说明说明:柱面面积第27页/共49页偶函数奇奇函数第28页/共49页例例15.设设在 x0 时为连续的非负函数,且 形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积,证明:证证:利用柱壳法则故第29页/共49页例例16.一平面经过半径为一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆的圆柱体的底圆中心中心,并与底面交成 角,解解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.第30页/共49页思考思考:可否选择可否选择 y 作
7、积分变作积分变量量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示提示:第31页/共49页垂直 x 轴的截面是椭圆例例17.计算由曲计算由曲面面所围立体(椭球体)解解:它的面积为因此椭球体体积为特别当 a=b=c 时就是球体体积.的体积.第32页/共49页例例18.求曲求曲线线与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.(94 考研)解解:利用对称性,故旋转体体积为在第一象限 第33页/共49页四、旋转体的侧面积四、旋转体的侧面积(补充补充)设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:第34页/共49页侧面积元素的线性主部
8、.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积S 的 注意注意:侧面积为第35页/共49页例例19.计算圆计算圆x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S.解解:对曲线弧应用公式得当球台高 h2R 时,得球的表面积公式第36页/共49页例例20.求由星形线求由星形线一周所得的旋转体的表面积 S.解解:利用对称性绕 x 轴旋转 第37页/共49页内容小结内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意:求弧长时积分上下限必须上大下小第39页/共49页3.已知平
9、行截面面面积函数的立体体已知平行截面面面积函数的立体体积积旋转体的体积绕 x 轴:4.旋转体的侧面积侧面积元素为(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)绕 y 轴:(柱壳法)第40页/共49页思考与练习思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s.提示提示:交点为弧线段部分直线段部分以 x 为积分变量,则要分两段积分,故以 y 为积分变量.第41页/共49页2.试用定积分求圆试用定积分求圆绕 x 轴上上半圆为下下求体积:提示提示:方法方法1 利用对称性旋转而成的环体体积 V 及表面积 S.第42页/共49页方法方法2 用柱壳法用柱壳法说明说明:上式可变形为上上半圆为下下此式反映
10、了环体微元的另一种取法(如图所示).第43页/共49页求侧面积求侧面积:利用对称性上式也可写成上上半圆为下下它也反映了环面微元的另一种取法.第44页/共49页备用题备用题解：解：1.求曲线所围图形的面积.显然面积为同理其它.又故在区域第45页/共49页分析曲线特点2.解解:与 x 轴所围面积由图形的对称性,也合于所求.为何值才能使与 x 轴围成的面积等故第46页/共49页3.求曲线图形的公共部分的面积.解解：与所围成得所围区域的面积为第47页/共49页设平面图形 A 由与所确定,求图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积.提示：提示：选 x 为积分变量.旋转体的体积为4.若选 y 为积分变量,则 第48页/共49页感谢您的观看！第49页/共49页