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1、数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁，*数学建模没有普遍适用的方法与技巧.*有一些普遍适用的思想方法与思维方式.整个数学建模过程由若干个有明显差别的阶段性工作组成 怎样构架这座桥梁？第1页/共45页求解数学模型求解数学模型 实际问题分析实际问题分析建立数学模型建立数学模型提交论文与报告提交论文与报告 模型与模型解的分析及检验模型与模型解的分析及检验 数学建模的各阶段工作第2页/共45页此流程 具有指导意义，应注意*流程应用是弹性的，切不能生搬硬套.本章基本上按照此流程来介绍数学建模的方法。*建模过程往往是一个反复循环的过程.第3页/共45页 数学建模过程是一种创新过程，在思考方法和思维方式上
2、与学习其他课程有很大差别。数学创新思维.等等.类比思维归纳思维逆向思维发散思维猜测思维第4页/共45页 掌握几类方法：问题解决法、思想表达法、创造发明法.方法的共同特点：不轻易否定别人的意见，怀疑一般常识，努力发现别人尚未察觉的事物等 以下介绍几种（个体和集体的）创造性思维方法 对于创造能力的培养不可或缺第5页/共45页一、打开思路的方法一、打开思路的方法面对新问题，应尽量打开自己的思路：发散性思维和猜测思维是创造性思维方式的重要组成部分 1.不要轻易沿一条思路深入，不要轻易做出结论.2.尽量多一些想法，多一些猜测。思考、思考、再思考.第6页/共45页帮助展开思路的方法：关键词联想法提问题法1
3、.提问题法提问题法 面临难题,束手无策时通过提出一系列问题来导出一些想法或一个好的方案.如：(l)这个问题和什么问题相类似？(2)假如变动问题的某些条件将会怎样？借助于一系列问题来展开思路.第7页/共45页(4)重新组合又会怎样？(3)将问题分解成若干部分再考虑会怎样？为进一步打开思路可提以下问题：(5)我们还可以做什么工作？(6)有无需要进一步完善的内容？(7)可否换一种数学工具来解决此问题？针对问题和初始方案可以先设计出类似的问题清单，然后反复展开。第8页/共45页 一种新产品刚面世，厂家和商家总是采取各种措施促进销售，比如不惜血本大做广告等等.他们都希望对这种新产品的推销速度做到心中有数
4、,厂家用于组织生产，商家便于安排进货.例1 电饭煲销售问题电饭煲销售问题 怎样建立一个数学模型描述新产品(电饭煲)推销速度，并由此分析出一些有用的结果以指导生产.第9页/共45页想一想 此问题与我们遇到的哪一个建模问题 相类似？分析 Logistic人口模型，t 时刻的人口数为t0 改写为 第10页/共45页数学分析1.若 r0，则S0，随着 ,则2.若 r0，讨论Logistic曲线特征N(t)是单调上升函数.K是使得人口净增长率 r(K)=0 的人口数，可理解为该地区能容纳的人口上限.第11页/共45页第12页/共45页t00N0kk/2 人口不会无限增长，存在一个转折时间点t0，过此点以
5、后增长速度会减缓。第13页/共45页 (1)一般每户只需用12只电饭煲就足够,一个地区的需求量是有限的；电饭煲的销售情况类似于人口增长情况,可利用类比方法建立模型.Logistic模型特点：初期高速增长，过一个特定时间点后增长速度减缓，且有上界控制.对原问题的分析：(2)初期在广告之类推销作用下销售速度较快,商品趋于饱和时销售速度会减缓.第14页/共45页 记x(t)为t 时刻已售出的电饭煲总数,市场的饱和量(最大需求量)为M,利用Logistic模型来描述电饭煲的销售速度变化情况.实际情况与Logistic销售曲线十分吻合 思考 请考虑现实中哪些变量的变化可用 Logistic模型进行描述？
6、第15页/共45页 现代化都市里大楼林立,这些拔地而起的摩天大楼安全性不容忽视,我们经常耳闻目睹大楼内发生意外情况,造成令人震惊的人员伤亡和财产损失.大楼内居住人员的安全保障在于无论发生什么情况,都能使人员有组织,有秩序地进行疏散撤离.例2 “9.11”事件的反思第16页/共45页 一座大楼的管委会想进行一次紧急疏散人员的演习.问题分析 演习之前需要考虑许多方面,如大楼内的设施、人员的分布情况、撤离路线的设计、撤离的步骤等等，这是一个较庞大的系统工程应考虑将此问题分解成为若干个子问题，如*一个房间内人员的撤离；*一个通道的撤离；第17页/共45页*一层楼人员的撤离；最后，将各个子问题重新组合起
7、来.练习题：2007年MCM Problem B:The Airplane Seating Problem。第18页/共45页2.关键词联想法关键词联想法主要步骤如下：主要步骤如下：(1)抓住问题或方案的关键词,不受任何约束地进行联想；(2)把联想到的内容用关键词的方式登记在卡片上,进一步激发产生新的想法,进一步想出新的主意；(3)再把积攒的卡片相互搭配,形成解决问题的初步思路与步骤.一种有效的发散思维方式.第19页/共45页 在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行.区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理.当一架欲进入该区域
8、的飞机到达区域边缘,记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞.如果会碰撞,则应例4 飞行管理问题第20页/共45页请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度).).要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小.记录数据为：试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广.计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行方向角，以避免碰撞.现假定条件如下：第21页/共45页 *对问题仔细阅读,首先抓住题目中的关键词“管理”进行联想.*抓住诸如“碰撞”、“调整”、“避免碰撞”、“立即”、“判断”等等词语.*联系解决问题的方案,不加约束继续联
9、想，再将关键词搭配起来.第22页/共45页立即 判断 碰撞 条件 实时 算法 避免 碰撞 调整 方向角 实时 幅度尽量小 相对距离优化问题优化算法优化调整方案第23页/共45页问题的初步理解和想法:飞行管理问题是优化问题,在调整方向角的幅度尽量小的同时，还必须注意调整方案及算法的实时性.第24页/共45页思考题：尝试读题与分析思考题：尝试读题与分析MCM1999A题：强烈的碰撞 美国国家航空和航天局(NASA)从过去某个时间以来一直在考虑一颗大的小行星撞击地球会产生的后果。作为这种努力的组成部分，要求你们队来考虑这种撞击的后果，假如该小行星撞击到了南极洲的话。人们关心的是撞到南极洲比撞到地球的
10、其他地方可能会有很不同的后果。第25页/共45页 假如小行星的直径大约为1000米，还假设它正好在南极与南极洲大陆相撞。要求你们队对这样一颗小行星的撞击提供评估。特别是，NASA希望有一个关于这种撞击下可能的人类人员伤亡的数量和所在地区的估计，对南半球海洋的食物生产区域造成的破坏的估计，以及由于南极洲极地冰岩的大量融化造成的可能的沿海岸地区的洪水的估计。第26页/共45页强烈的碰撞读题分析强烈的碰撞读题分析撞击爆炸？后果冲击波地震、海啸、飓风热能释放冰融海岸线上升洪水放射物粉尘放射减少日照、大气层变化第27页/共45页人员伤亡所在地区沿海海啸、地震、洪水、放射物食物生产区的破坏冰融对地球运行轨
11、迹的影响第28页/共45页相关因素：小行星形状、成分与密度撞击角度、速度、位置（运行轨迹）太阳、地球、月亮轨道能量来源引力、动能南极冰盖的成分（深度、密度、温度）冰融的估算以及冰盖下的成分大气环流粉尘的传送温室效应第29页/共45页相关理论：Newton引力模型轨迹碰撞的动力学冰的热力学（冰融、汽化）、热传导生态系统（磷虾.krill.krill）水温后期工作：预测与预警第30页/共45页二、整体把握问题的方法二、整体把握问题的方法有两种把握住问题的全貌的有效方法：(1)层次结构法(2)问题分解法 有专著介绍 问题分解法是一种简单而有效的把握问题整体的方法.第31页/共45页将问题分解为“三要
12、素”的三个部分.问题分解三要素 初态初态 目标态目标态 过程过程 觉察到的现在状态(目前“有什么”，如条件、数据等).).觉察到的希望目标(想要什么、希望达到什么等).).能在“初态”和“目标态”之间发生作用的行动(能做什么).).第32页/共45页例5 常见数学题目模式 已知求（证）解题初态目标态过程教师的主要教学目标第33页/共45页 *解决实际问题时，分析出问题的初态和目标态很困难.*未清晰地描述出问题的“初态”和“目标态”之前，过早地进入解决问题的阶段，会条件不清、目标不明.尽量拓展思路的基础上,再进行充分分析得到的问题分解结果：例6飞行管理问题 初态：现有飞机的飞行状态（数据）与碰撞
13、条件第34页/共45页 过程：建立碰撞的判别准则，优化管理方案及相应算法.目标态：实时调整，避免碰撞。课后练习题目：“气象观察站调整问题”前期问题分析与问题分解。第35页/共45页气象观察站调整问题 某地区内有12个气象观察站（位置如图),),有10年各观察站的年降水量数据.为了节省开支，想要适当减少气象站.问题：减少哪些观察站可以使得到的降水量的信息量仍然足够大？如何利用熵的概念解决此问题，给出解决问题的思路。第36页/共45页x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 问题：怎样比较信息的大小？信息的多少能不能度量？降水量的信息量仍然足够大？第37页/共45页1.问题分析首先找出问题中的关
14、键词，进行联想.减少 站数 删除原则各站关系降水数据保持 信息量 足够大衡量指标衡量指标熵降水数据第38页/共45页2.问题的分解初态：12个气象站的年降水数据。（无日或月的降水数据，也无地理、气候等其它条件.）目标态：减少气象站数，并保持降水量足够大的信息量.过程：（将做的事情）(1)信息量的衡量（用熵）；(2)给出删除气象站的条件及原则；(3)建立保持足够信息量的判别条件；解决问题的惟一出发点第39页/共45页(1)确定各气象站的年降水量：的概率分布，并计算各个气象站降水量的熵值.(2)分析判断各站年降水量(两两之间或多个变量间)是否存在相关关系(线性的或非线性的)，并据此保留其中熵值较大
15、的气象站.随机变量另一种方法：用聚类分析法进行聚类.3.解决问题的思路 （可由降水数据分析各个气象站的相似性，如同为干旱、湿润地区等.）统计检验第40页/共45页1)设定一个阈值，保留所有熵值大于阈值设定一个阈值，保留所有熵值大于阈值的气象站；的气象站；2)使保留气象站的信息量总和占原信息量总和的一定比例.可考虑各种判别条件，如：(3)建立保持足够信息量的判别条件 注：阈值或比例值均需背景知识和经验来确定。仍保留降水量的信息量较大的站。第41页/共45页将建模思想应用于工作生活工作、生活中处处存在问题如何思考问题？是什么？（A是什么样的？）为什么？（A为什么是这样的？）怎样解决问题？第42页/共45页论文学习读懂原文理解思想把握本质找到不足找同质方法或改进原方法第43页/共45页努力不一定成功放弃一定是失败第44页/共45页感谢您的观看！第45页/共45页