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1、平面向量基本概念和运算平面向量基本概念和运算一、平面向量的基本概念及其表示一、平面向量的基本概念及其表示向量定义：向量定义：既有既有大小大小又有又有方向方向的量叫向量。的量叫向量。重要概念：重要概念：（1）零向量：）零向量：（2）单位向量：）单位向量：长度为长度为1个单位长度的向量个单位长度的向量.方向？方向？任意！任意！（3）平行向量：）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量的非零向量.长度为长度为0的向量，记作的向量，记作0.第1页/共24页平面向量的基本概念及其表示平面向量的基本概念及其表示重要概念：重要概念：（4）相等向量：）相等向量：长度相等且方
2、向相同的向量长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：）相反向量：长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量.辨析：相反向量方向相反的向量？辨析：相反向量方向相反的向量？说明：说明：第2页/共24页平面向量复习平面向量复习几何表示 :有向线段有向线段向量的表示字母表示 坐标表示 :(x，y)若若 A(x1,y1),B(x2,y2)则则 AB=(x2 x1,y2 y1)三种表示对应三种运算第3页/共24页1.1.几何运算几何运算：（1 1）三角形法则三角形法则:二、向量的运算二、向量的运算.加法运算：加法运算：(2)(2)平行四边形法则平行四边形法则:运算要点运算要点：运算要点运算要点：同
3、一起点，同一起点，运算结果为？运算结果为？首尾相接，首尾相接，运算结果为从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点运算结果为从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点abaaba第4页/共24页1.1.几何运算几何运算：（1 1）三角形法则三角形法则:.加法运算：加法运算：aba一般地，一般地，2.2.字母运算字母运算：ABC运算要点运算要点：首尾相接，首尾相接，运算结果为从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点运算结果为从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点3.3.坐标运算坐标运算：设向量设向量a=(x=(x1 1，y y1 1),),b=(x=(x2 2，y y2 2),),则则ab(x(x
4、1 1x x2 2，y y1 1y y2 2)第5页/共24页.减法运算：减法运算：1.1.几何运算几何运算：（1 1）三角形法则三角形法则:（2 2）平行四边形法则平行四边形法则:a运算要点运算要点：同一起点，同一起点，运算结果为两向量的终点连线指向被减向量的终点。运算结果为两向量的终点连线指向被减向量的终点。a-ba-a-b第6页/共24页2.2.字母运算字母运算：运算要点运算要点：同一起点，同一起点，运算结果为两向量的终点连线指向被减向量的终点。运算结果为两向量的终点连线指向被减向量的终点。3.3.坐标运算坐标运算：.减法运算：减法运算：1.1.几何运算几何运算：（1 1）三角形法则三角
5、形法则:OABa-b设向量设向量a=(x=(x1 1，y y1 1),),b=(x=(x2 2，y y2 2),),则则ab(x(x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2)a第7页/共24页定义定义：坐标运算：坐标运算：.实数实数 与向量与向量 a a 的积的积 a a是一个是一个是一个是一个向量向量向量向量.它的它的它的它的长度长度长度长度|a a|=|=|a a|；它的它的它的它的方向方向方向方向(2)(2)当当当当00时时时时,a a 的方向的方向的方向的方向与与与与a a方向相同方向相同方向相同方向相同；(3)(3)当当当当 0 0时时时时,a a 的方向的方向的方向的方向与与与
6、与a a方向相反方向相反方向相反方向相反.若若a a=(x,y),则则 a a=(x,y)=(x,y)(1)=0 0时时,a=0a 1 1时时 a=1 1时时 a 0 01 1时时 a-1-1时时 a=-1-1时时 a-1-10 0时时 a第8页/共24页三三.向量平行（共线）与不平行（不共线）向量平行（共线）与不平行（不共线）两向量平行的条件两向量平行的条件（2 2）规定：零）规定：零向量任一向量平行！向量任一向量平行！坐标表示：坐标表示：说明：对应坐标成比例，要求位于分母的坐标不为说明：对应坐标成比例，要求位于分母的坐标不为0。记法：交叉相乘再相减等于记法：交叉相乘再相减等于0。（1 1）
7、共线定理：）共线定理：向量向量a（a00）与）与b共线，共线，当且仅当有唯一一个实数当且仅当有唯一一个实数，使，使b=a.思考：思考：b=a是是a/b的的 条件？条件？设向量设向量a=(x=(x1 1，y y1 1),),b=(x=(x2 2，y y2 2),),则则（1）a/b的的充分不必要充分不必要条件条件 (对应坐标成比例）对应坐标成比例）（2）a/b的的充要充要条件：条件：第9页/共24页平面向量基本定理：平面向量基本定理：三三.向量平行（共线）与不平行（不共线）向量平行（共线）与不平行（不共线）若若e1 1、e2 2是同一平面内的是同一平面内的两个不共线向量两个不共线向量，则对于这一
8、平面内的任意向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数，有且只有一对实数1 1，2 2，使，使 a1e12e2.其中，其中，e1 1、e2 2为表示这一平面内所有向量的一组为表示这一平面内所有向量的一组基底基底。说明：（说明：（1）向量向量e1 1、e2 2作为平面向量的作为平面向量的基底的充要条件是基底的充要条件是不共线（即不平行）不共线（即不平行）（2）若若a1e12e2 1e12e2，则，则第10页/共24页与非零向量与非零向量a方向方向相同相同的单位向量为：的单位向量为：与非零向量与非零向量a方向方向相反相反的单位向量为：的单位向量为：与非零向量与非零向量a平行平行的单位向量
9、为：的单位向量为：一个常考的结论一个常考的结论第11页/共24页例1 下列说法正确的个数为（）温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；零向量没有方向；向量的模一定是正数；非零向量方向上的单位向量是唯一的；两向量 与 的模相等.A.0 B.1 C.2 D.3题型一：题型一：基本概念的辨析基本概念的辨析第12页/共24页题型二：题型二：向量的（字母、坐标、图形）运算向量的（字母、坐标、图形）运算例例1 化简化简（1）（）（AB+MB）+BO+OM （2）AB+DA+BD BCCA第13页/共24页3 3、（、（0808辽宁卷辽宁卷）已知）已知O O，A A，B B是平面上的三个是平面上的三个点，直
10、线点，直线ABAB上有一点上有一点C C，满足，满足则则（）B BC CD D A A，题型二：向量的（字母、坐标、图形）运算第14页/共24页“例例 1”：(1)已知已知 O 是平面上一定点，是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共是平面上不共则点则点 P 的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABC 的的()A.外心外心C.内心内心B.垂心垂心D.重心重心题型二：向量的（字母、坐标、图形）运算第15页/共24页(2)O(2)O是平面上一是平面上一 定点，定点，A A、B B、C C是平面上不共是平面上不共线的三个点，动点线的三个点，动点P P满足满足则则P P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABCABC
11、的的（）A A外心外心 B B内心内心 C C重心重心 D D垂心垂心第16页/共24页1、已知、已知A、B、C是不共线的三点，是不共线的三点，O是是ABC内的一点，若内的一点，若+=则则O是是ABC的（的（）（A）重心）重心 （B）垂心（）垂心（C）内心（）内心（D）外心）外心，练习：练习：第17页/共24页“【互动探究】”A.2C.4B.3D.5A.重心、外心、垂心重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心重心、外心、内心C.外心、重心、垂心外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心外心、重心、内心第18页/共24页题型三：平行与基底（不平行）第19页/共24页第20页/共24页“”第21页/共24页“引例引例”第22页/共24页【互动探究】第23页/共24页