数学转化与化归思想.pptx-淘文阁

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1、3.3.转化具有多样性、层次性和重复性的特点,为了实施有效的转化,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论;既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,这就是多样性.转化原则既可以应用于沟通数学与各分支学科的联系,从宏观上实现学科间的转化,又能调动各种方法与技术,从微观上解决多种具体问题,这是转化的层次.而解决问题时可以多次的使用转化,使问题逐次达到规范化,这是转化原则应用的重复性.问题规范问题原问题的解答解答问题转化已知理论、方法、技巧问题还原第1页/共40页1.1.函数y y=sin=sin4 4x x+cos+cos2 2x x的最小正周期是（）A.B.C.D.A.B.C.D

2、.解析B B第2页/共40页2.2.在直角坐标系中,O O是坐标原点,动点P P在直线x x=3=3上运动,若从动点P P向Q Q点的轨迹引切线,则所引切线长的最小值为（）A.4 B.5 C.D.A.4 B.5 C.D.解析点Q Q的轨迹是以(-2,-2)(-2,-2)为圆心,半径为1 1的圆,要使所求切线长最小,只要使圆心到直线x x=3=3的距离最短即可.C C第3页/共40页3.3.设椭圆 (a ab b0)0)的半焦距为c c,直线l l过（0,0,a a)和(b b,0),0),已知原点到l l的距离等于 ,则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.A.B.C.D.解析直线方

3、程为l l:axax+byby-abab=0,=0,所以，变形为1212e e4 4-31-31e e2 2+7=0,+7=0,再解出 .B B第4页/共40页4.4.设O O是坐标原点,A A(1,1),(1,1),若B B(x x,y y)满足，则取最小值时,点B B的个数（）A.1 B.2 C.3 D.A.1 B.2 C.3 D.无数个解析点B B（x x,y y）满足画出可行域如图阴影部分,又A A(1,1),(1,1),B B(x x,y y),),令 =x x+y y=t t，则由t t得几何意义可知，当过圆中B B1 1、B B2 2两点时，t t的值最小，此时t tm

4、inmin=3,=3,所以取最小值时,点B B的个数为2.2.B B第5页/共40页题型一等与不等的转化与化归【例1 1】若a a、b b是正数，且满足abab=a a+b b+3+3，求abab的取值范围.解方法一（看成函数的值域）abab=a a+b b+3+3，即a a1 1或a a-3,-3,又a a0,0,a a1,1,故a a-1-10.0.当且仅当 ,即a a=3=3时取等号.第6页/共40页又a a3 3时，是关于a a的单调增函数.abab的取值范围是9 9，+）.方法二（看成不等式的解集）a a，b b为正数，abab9.9.【探究拓展】将一个等式转化成不等式，是求

5、变量取值范围的重要方法，通常利用函数的单调性解答此类问题，或者利用基本不等式解答这类问题.第7页/共40页变式训练1 1 已知三实数a a,b b,c c成等比数列,且a a+b b+c c=m m(m m是正常数)，求b b的取值范围.解方法一设三个实数为由a a+b b+c c=m m,得第8页/共40页方法二因为a a,b b,c c成等比数列，所以b b2 2=acac,又a a+b b+c c=m m,所以则a a、c c是关于x x的方程x x2 2-(-(m m-b b)x x+b b2 2=0=0的两个实数根,所以=-(-(m m-b b)2 2-4-4b b2 20

6、,0,第9页/共40页题型二正与反的转化与化归【例2 2】试求常数m m的范围,使曲线y y=x x2 2的所有弦都不能被直线y y=m m(x x-3)-3)垂直平分.解由题意可知，m m00，所以设抛物线上两点关于直线y y=m m(x x-3)-3)对称，于是有：第10页/共40页因为存在x x1 1R R使上式恒成立，即1212m m3 3+2+2m m2 2+1+10,0,也即(2(2m m+1)(6+1)(6m m2 2-2-2m m+1)+1)0.0.因为6 6m m2 2-2-2m m+1+10 0恒成立,所以2 2m m+1+10,0,所以 .即当时,抛物线上存在两

7、点关于直线y y=m m(x x-3)-3)对称.所以当时,曲线y y=x x2 2的所有弦都不能被直线y y=m m(x x-3)-3)垂直平分.第11页/共40页【探究拓展】在进行正与反的转化时,一定要搞清楚问题的反面是什么,就本题而言,它的反面是“至少存在一条弦能被直线y y=m m(x x-3)-3)垂直平分”,进而将问题转化成对称问题,在解答问题时,正难则反是转化的一种有效手段.变式训练2 2 已知a a、b b、c c(0,1),(0,1),求证:(1-:(1-a a)b b,(1-(1-b b)c c,(1-,(1-c c)a a不能同时大于 .证明 “不能同时大于 ”

8、包含多种情形,不易直接证明,可用反证法证明.假设三式同时大于，第12页/共40页a a、b b、c c(0,1),(0,1),三式同向相乘得(1-(1-a a)b b(1-(1-b b)c c(1-(1-c c)a a .这与假设矛盾，故原命题正确.第13页/共40页题型三以换元为手段的转化与化归【例3 3】已知函数f f(x x)=1-2)=1-2a a-2-2a acos cos x x-2sin-2sin2 2x x的最小值为g g(a a).).(1)(1)求g g(a a)的表达式；(2)(2)若g g(a a)=,)=,求实数a a的值,并求此时f f(x x)的最大值.解

9、（1 1）因f f(x x)=2cos)=2cos2 2x x-2-2a acos cos x x-2-2a a-1-1 令t t=cos=cos x x,则-1-1t t1,1,第14页/共40页(2)(2)由题意分析得:只有一种情况，所以令 ,其中-2-2a a2,2,解得a a=-1,=-1,此时 ,所以当cos cos x x=1,=1,即x x=2=2k k(k kZ Z)时，函数f f(x x)的最大值为5.5.【探究拓展】通过换元将三角问题转化成较为熟悉的二次函数问题,应特别注意换元后t t-1,1,-1,1,应讨论二次函数的对称轴与区间-1,1-1,1的位置关系,才能快速、准

10、确解答此题.第15页/共40页变式训练3 3 求函数的最大值和最小值.解设t t=sin=sin x x+cos+cos x x Z ZZ Z第16页/共40页题型四常量与变量的转化与化归【例4 4】设f f(x x)是定义在R R上的单调递增函数，若 f f(-1-(-1-axax-x x2 2)f f(-2-(-2-a a)对任意a a-1,1-1,1恒成立，求实数x x的取值范围.解由题意知,-1-,-1-axax-x x2 2-2-2-a a,即(1-(1-x x)a a-x x2 2+10,+10,令g g(a a)=(1-)=(1-x x)a a-x x2 2+1,+1,所

11、以原不等式等价于解得x x(-,-21,+)(-,-21,+)，所以实数x x的取值范围是(-,-21,+).(-,-21,+).第17页/共40页【探究拓展】在解答这类问题时,往往是通过变换主元的方式，转换思维方式从而使问题的解答变得简洁、明快.变式训练4 4 已知二次方程axax2 2+2(2+2(2a a-1)-1)x x+4+4a a-7=0-7=0中的a a为正整数，问a a取何值时此方程至少有一个整数根.解原方程即是(x x2 2+4+4x x+4)+4)a a=2=2x x+7+7，x x=-2=-2不是原方程的解，又a a为正整数，即x x2 2+2+2x x-30-30，

12、第18页/共40页解得-3-3x x1.1.又x x是整数且x x-2,-2,x x=-3,-1,0,1,=-3,-1,0,1,把它们分别代入原方程得又因为a a为正常数，故当a a=1=1或a a=5=5时,原方程至少有一个整数根.第19页/共40页【考题再现】已知奇函数f f(x x)的定义域为实数集R R,且f f(x x)在0,0,+)+)上是增函数,当时,是否存在这样的实数 m m,使对所有的均成立?若存在,求出所有适合条件的实数m m;若不存在,请说明理由.第20页/共40页【解题示范】解由f f(x x)是R R上的奇函数可得f f(0)=0,(0)=0,再利用f

13、f(x x)的单调性,则可把原不等式转化为关于的三角不等式.f f(x x)在R R上为奇函数,又在0,+)0,+)上是增函数,故 f f(x x)在R R上为增函数,且f f(0)=0.(0)=0.2 2分由题设条件可得,又由f f(x x)为奇函数,可得 4 4分f f(x x)在R R上为增函数,6 6分第21页/共40页令 00t t1.1.于是问题转化为对一切00t t1,1,不等式t t2 2-mtmt+2+2m m-2-20 0恒成立.8 8分t t2 2-2-2m m(t t-2),-2),即又 1010分 1111分存在实数m m满足题设的条件,12,12分第22页/共4

14、0页转化思想方法包含三个基本要素：1.1.把什么东西转化,即转化的对象；2.2.转化到何处去,即转化的目标；3.3.如何进行转化,即转化的方法.转化思想方法应遵循以下五条原则：1.1.熟悉化原则:将陌生等问题转化成熟悉的问题,以利于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解决.2.2.简单化原则:将复杂问题转化成简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.第23页/共40页3.3.和谐化原则:转化问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐统一的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.4.4.直观化原则:将

15、比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.5.5.正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,应想到考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,是问题获得解决，或证明问题的可能性.第24页/共40页一、选择题1.1.已知向量a a=(1,1),=(1,1),b b=(=(x x,-1),-1),若a a与b b所成的角不是锐角，则x x的取值范围是（）A.(-,1)B.(-,1A.(-,1)B.(-,1 C.(-1,1 D.(1,+)C.(-1,1 D.(1,+)解析假设a a与b b所成的角是锐角，则得x x1,1,所以a a与b b所成的角不是锐角时，x x的取值范围是（-,1-,1

16、.B B第25页/共40页2.2.已知a ab bc c,a a+b b+c c=0,=0,当0 0 x x1 1时,代数式axax2 2+bxbx+c c的值是（）A.A.正数 B.B.负数 C.0 D.C.0 D.介于-1-1到0 0之间解析由a ab bc c,a a+b b+c c=0=0知a a0,0,c c0,0,令f f(x x)=)=axax2 2+bxbx+c c,则f f(0)=(0)=c c0,0,f f(1)=(1)=a a+b b+c c=0,=0,设m m是f f(x x)=0)=0的另一根，则所以在区间(0,1)(0,1)上,f f(x x)=)=axax2

18、a,b b,x x,y yR R,a a2 2+b b2 2=4,=4,axax+byby=6,=6,则x x2 2+y y2 2的最小值为_._.解析由题意可设则所以即x x2 2+y y2 2=r r2 2=9第34页/共40页9.9.直线y y=x x-3-3与抛物线y y2 2=4=4x x交于A A、B B两点并向抛物线的准线作垂线.垂足分别为D D、C C，则梯形ABCDABCD的面积为_._.解析由得x x2 2-10-10 x x+9=0,+9=0,解得x x1 1=9,=9,x x2 2=1,=1,如图，梯形面积 S S=(|=(|ADAD|+|+|BCBC

19、|)|)|CDCD|=(=(x x1 1+x x2 2+p p)|)|y y1 1-y y2 2|=(9+1+2)2(3+1)=48.=(9+1+2)2(3+1)=48.4848第35页/共40页10.10.已知函数f f(x x)满足f f(1)=2,(1)=2,则f f(1)(1)f f（2 2）f f（2 0092 009）=_.=_.解析由题意得，所以f f(x x)是以4 4为周期的函数，且f f(1)(1)f f(2)(2)f f(3)(3)f f(4)=1(4)=1，所以f f(1)(1)f f(2)(2)f f(2 009)(2 009)=1 =1502502f f(2 00

20、9)(2 009)=f f(5024+1)=(5024+1)=f f(1)=2.(1)=2.2 2第36页/共40页三、解答题11.11.设二次函数f f(x x)=)=x x2 2+bxbx+c c(b b，c cR R),),且对任意实数（1 1）求证：b b+c c=-1=-1；（2 2）求证：c c3.3.证明 (1)(1)因又所以 -1-1，1,1,则即f f(1)0,(1)0,f f(1)0,(1)0,所以f f(1)=0,(1)=0,即b b+c c=-1.=-1.(2)(2)由(1)(1)可知f f(3)0,(3)0,即9+39+3b b+c c0,0,又b b+c c=-1,=-1,所以9-3(1+9-3(1+c c)+)+c c0,0,即6-26-2c c0,0,所以c c3.3.第37页/共40页解第38页/共40页返回第39页/共40页感谢您的观看！第40页/共40页

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