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1、2011.8.29数字逻辑与电路1-2 1-2 逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则第一章 数字逻辑基础第1页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路1-3 逻辑函数的标准形式函数表达式的常用形式函数表达式的常用形式逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式第一章 数字逻辑基础第2页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路1-4 逻辑函数的简化代数法化简函数代数法化简函数图解法化简函数图解法化简函数 逻辑函数简化中的几个实际问题逻辑函数简化中的几个实际问题第一章 数字逻辑基础
2、第3页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路1.1 进位计数制进位计数制（1）十进制）十进制=3 102+3 101+3 100+3 10-1+3 10-2权权 权权 权权 权权 权权特点：特点：1)基数基数10，逢十进一逢十进一，即，即9+1=103)不同数位上的数具有不同的权值不同数位上的数具有不同的权值10i。(333.33)10位置计数法按权展开式 2)有有09十个数字符号和小数点，数码十个数字符号和小数点，数码K i从从09数基表示相对小数点的位置第一章 数字逻辑基础第4页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路(N)10=(Kn-1 K1 K0.K-1 K-m)10 =Kn-
3、1 10n-1+K1101+K0100+K-1 10-1+K-m 10-m 4)任意一个十进制数，都可按其权位展成多项式的形式任意一个十进制数，都可按其权位展成多项式的形式1.1 进位计数制进位计数制第一章 数字逻辑基础第5页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路二进制二进制1）基数）基数2，逢二进一逢二进一，即，即1+1=10 3）不同数位上的数具有不同的权值）不同数位上的数具有不同的权值2i。4）任意一个二进制数，都可按其权位展成多）任意一个二进制数，都可按其权位展成多项式的形式项式的形式2)有有0-1两个数字符号和小数点两个数字符号和小数点，数码，数码K i从从0-1第一章 数字逻辑
4、基础第6页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路任意进制任意进制1）基数基数R，逢逢R进一进一 3）不同数位上的数具有不同的权值）不同数位上的数具有不同的权值Ri。4）任意一个任意一个R进制数，都可按其权位展成多项式的形式进制数，都可按其权位展成多项式的形式2)有有R个数字符号和小数点，数码个数字符号和小数点，数码K i从从0(R-1)第一章 数字逻辑基础第7页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路常用数制对照表常用数制对照表十二八十六十二八十六01234567000000010010001101000101011001110123456701234567891011121314151
5、0001001101010111100110111101111101112131415161789ABCDEF第一章 数字逻辑基础第8页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路数制转换十进制十进制非十进制非十进制非十进制非十进制十进制十进制二进制二进制八、十六进制八、十六进制八、十六进制八、十六进制二进制二进制十进制与非十进制间的转换十进制与非十进制间的转换非十进制间的转换非十进制间的转换第一章 数字逻辑基础第9页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路整数部分的转换整数部分的转换十进制转换成二进制除除基基取取余余法法：用用目目标标数数制制的的基基数数（R=2）去去除除十十进进制制数数，第
6、第一一次次相相除除所所得得余余数数为为目目的的数数的的最最低低位位 K0，将将所所得得商商再再除除以以基基数数，反反复复执执行行上上述述过过程程，直直到到商商为为“0”，所得余数为目的数的所得余数为目的数的最高位最高位Kn-1。例：（例：（81）10=（？）（？）2得：（得：（8181）1010=（10100011010001）2 281402010520 2 2 2 2 2 2 21K00K10K20K31K40K51K61第一章 数字逻辑基础第10页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路小数部分的转换小数部分的转换乘乘基基取取整整法法：小小数数乘乘以以目目标标数数制制的的基基数数（R=
7、2R=2），第第一一次次相相乘乘结结果果的的整整数数部部分分为为目目的的数数的的最最高高位位K K-1-1，将将其其小小数数部部分分再再乘乘基基数数依依次次记记下下整整数数部部分分，反反复复进进行行下下去去，直直到到小小数数部部分分为为“0 0”，或或满满足足要要求求的的精精度度为为止止（即即根根据据设设备备字长限制，取有限位的近似值）。字长限制，取有限位的近似值）。例：例：（0.650.65）1010=(?)=(?)2 2 要求精度为小数五位。要求精度为小数五位。由此得：由此得：(0.65)10=(0.10100)2综合得：综合得：(81.65)10=(1010001.10100)2如2-5
8、，只要求到小数点后第五位十进制十进制二进制二进制八进制、十六进制八进制、十六进制十进制转换成二进制0.65 2K-110.3 2K-200.6 2K-310.2 2K-400.4 2K-500.8第一章 数字逻辑基础第11页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路非十进制转成十进制方法方法：将相应进制的数按权展成多项式，按十进制求和(F8C.B)16=F162+8161+C160+B16-1=3840+128+12+0.6875=3980.6875例：第一章 数字逻辑基础第12页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路 二进制与八进制间的转换二进制与八进制间的转换从从小小数数点点开开始始，
9、将将二二进进制制数数的的整整数数和和小小数数部部分分每每三三位位分分为为一一组组，不不足足三三位位的的分分别别在在整整数数的的最最高高位位前前和和小小数数的的最最低低位位后后加加“0 0”补补足足，然然后后每每组组用用等等值值的的八八进进制制码码替替代代，即得目的数。即得目的数。例例8 8：11010111.0100111 B=?Q11010111.0100111 B=?Q 11010111.0100111 B=327.234 Q11010111.0100111 B=327.234 Q11010111.0100111小数点为界000723234第一章 数字逻辑基础第13页/共84页2011.8
10、.29数字逻辑与电路非十进制间的转换 二进制与十六进制间的转换从从小小数数点点开开始始，将将二二进进制制数数的的整整数数和和小小数数部部分分每每四四位位分分为为一一组组，不不足足四四位位的的分分别别在在整整数数的的最最高高位位前前和和小小数数的的最最低低位位后后加加“0 0”补补足足，然然后后每每组组用用等值的十六进制码替代，即得目的数等值的十六进制码替代，即得目的数。例例9 9：111011.10101 B=?H111011.10101 B=?H 111011.10101 B=3B.A8 H111011.10101 B=3B.A8 H111011.10101小数点为界00000B3A8第一章
11、 数字逻辑基础第14页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路第一章 数字逻辑基础X X1 1=+1101101 1101101X X2 2=-11011011101101数值数据的表示一、一、真值真值与与机器数机器数数符（数符（+/-+/-）+尾数尾数（数值的绝对值（数值的绝对值）符号（符号（+/-+/-）数码化）数码化 最高位：最高位：“0 0”表示表示“+”“1 1”表示表示“-”二、二、带符号二进制数的代码表示带符号二进制数的代码表示1.1.原码原码XX原：原：原码原码反码反码补码补码变形补码变形补码尾数部分的表示形式：尾数部分的表示形式：最高位：最高位：“0 0”表示表示“+”“1
12、 1”表示表示“-”符号位符号位+尾数部分（真值）尾数部分（真值）原码的性质：原码的性质：“0 0”有两种表示形式有两种表示形式+00+0000原原 =000=0000 0 而而 -00-0000原原 =100=1000 0 数值范围：数值范围：+（2 2n n 1 1-1-1）XX原原-（2 2n-1n-1-1-1）如如n n=8 8，原原码码范范围围01111111011111111111111111111111，数数值值范范围围为为+127+127-127-127 符号位后的尾数即为真值的数值符号位后的尾数即为真值的数值第15页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路第一章 数字逻辑基
13、础2.2.反码反码XX反：反：符号位符号位+尾数部分尾数部分 反码的性质反码的性质正数：尾数部分与真值形式相同正数：尾数部分与真值形式相同负数：尾数为真值数值部分按位取反负数：尾数为真值数值部分按位取反 X X1 1=+4=+4X X2 2=-4=-4XX1 1 反反 =0 000001000000100XX2 2 反反 =1 1111101111110113、补码补码XX补：补：符号位符号位+尾数部分尾数部分正数：尾数部分与真值同即正数：尾数部分与真值同即XX补补 =X=X正正负数：负数：尾数为真值数值部分按位取反加尾数为真值数值部分按位取反加1 1即即XX补补 =X=X反反 +1 1 “0
14、 0”有两种表示形式有两种表示形式+00+0000反反 =000=0000 0 而而 -00-0000反反 =111=1111 1 数值范围：数值范围：+（2 2n n 1 1-1-1）XX反反-（2 2n-1n-1-1-1）如如n n=8 8，反反码码范范围围01111111011111111000000010000000，数数值值范范围围为为+127+127-127-127 符号位后的尾数是否为真值取决于符号位符号位后的尾数是否为真值取决于符号位第16页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路补码的性质：补码的性质：双符号位：正数双符号位：正数-“0000”负数负数-“1111”符号位符
15、号位+尾数尾数应用：应用：两两个个符符号号位位（S S1 1S S0 0）都都作作为为数数值值一一起起参参与与运运算算，运运算算结结果果的的符符号号如如两两个个符符号号位位相相同，结果正确；不同则溢出同，结果正确；不同则溢出。判断是否有溢出判断是否有溢出方法：方法：4 4、变形补码、变形补码XX变补：变补：例例：已知已知X X1 1=-1110 B=-1110 B，X X2 2=+0110 B=+0110 B，求，求 X X1 1+X X2 2=？XX1 1 补补 =1 0010 -1110B=1 0010 -1110B +）XX2 2 补补 =0 0110 +0110B=0 0110 +01
16、10B X X1 1+X+X2 2 补补 =1 1000 -1000B=1 1000 -1000B故得故得 XX1 1+X+X2 2 补补 =11000=11000 即即X X1 1+X+X2 2=-1000 B=-1000 B例：已知例：已知X X1 1=48=48，X X2 2=31 =31 求求X X1 1+X+X2 2=？X X1 1=+48 X=+48 X1 1 变补变补=00 110000=00 110000+）X X2 2=+31 +=+31 +）XX2 2 变补变补=00 011111=00 011111 X X1 1+X+X2 2 =+79 X=+79 X1 1+X+X2 2
17、 变补变补 =01 001111=01 001111 “0 0”有两种表示形式有两种表示形式+00+0000补补 =000=0000 0 而而 -00-0000补补 =1 000=1 0000 0 数值范围：数值范围：+(2+(2n-1n-1-1-1）XX补补-2-2n-1n-1如如n n=8 8，补补码码范范围围01111111011111111000000010000000，数值范围为数值范围为+127+127-128-128 符号位后的尾数并不表示真值大小符号位后的尾数并不表示真值大小 用补码进行运算时，两数补码之和等于两用补码进行运算时，两数补码之和等于两数和之补码，即数和之补码，即
18、XX1 1 补补+X+X2 2 补补 =X=X1 1+X+X2 2 补补（mod 2mod 2n n）第一章 数字逻辑基础第17页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路第一章 数字逻辑基础常用的常用的编码编码：（一）自然二进制码及格雷码（一）自然二进制码及格雷码1.自然二进制码自然二进制码常常用用四四位位自自然然二二进进制制码码，表表示示十十进进制制数数0-150-15，各各位位的的权权值值依依次次为为2 23 3、2 22 2、2 21 1、2 20 0。2.格雷码格雷码任任意意两两组组相相邻邻码码之之间间只只有有一一位位不不同同。注注：首首尾尾两两个个数数码码即即最最小小数数00000
19、000和和最最大大数数10001000之之间间也也符符合合此此特特点点，故故它它可可称为循环码。称为循环码。按按自自然然数数顺顺序序排排列的二进制码列的二进制码1.自然二进制码自然二进制码2.格雷码格雷码3.二二十进制码十进制码4.奇偶检验码奇偶检验码5.ASCII 码等码等。用一组二进制码按一定规则排列起来以表示数字、符号等特定信息。第18页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路第一章 数字逻辑基础常用的常用的编码编码：1.自然二进制码自然二进制码2.格雷码格雷码3.二二十进制码十进制码4.奇偶检验码奇偶检验码5.ASCII 码等码等。（二）（二）二二十进制十进制BCDBCD码码1.有权
20、码有权码有权码表示十进制数符：有权码表示十进制数符：D=b3w3+b2w2+b1w1+b0w0(1)8421BCD（NBCD）码2 7 6 .82 7 6 .8 0010 0111 0110 10000010 0111 0110 1000例：（例：（276.8）10=（？）（？）NBCD（276.8）10 =（001001110110.1000）NBCD(2)其它有权码其它有权码见P14 表1-3四位二进制数中的每一位都对应有固定的权第19页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路第一章 数字逻辑基础常用的常用的编码编码：1.自然二进制码自然二进制码2.格雷码格雷码3.二二十进制码十进制码4
21、.奇偶检验码奇偶检验码5.ASCII 码等码等。2.无权码无权码（1 1）余）余3 3码码余余3 3码码中中有有效效的的十十组组代代码码为为0011001111001100代表十进制数代表十进制数0-90-9（2 2）其它无权码其它无权码（三）奇偶校验和（三）奇偶校验和ASCIIASCII码码ASCIIASCII码：七位代码表示码：七位代码表示128128个字符个字符 其中：其中：9696个为图形字符，个为图形字符，32个个控制字符控制字符。奇偶校验码：含奇偶校验位的编码奇偶校验码：含奇偶校验位的编码第20页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路1-2 逻辑代数基础逻辑变量及基本逻辑运算逻
22、辑变量及基本逻辑运算逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则第一章 数字逻辑基础第21页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路一、逻辑变量一、逻辑变量取取值值：逻逻辑辑0 0、逻逻辑辑1 1。逻逻辑辑0 0和和逻逻辑辑1 1不不代代表表数数值值大大小小，仅仅表表示示相相互互矛矛盾盾、相相互互对对立立的的两种逻辑状态。两种逻辑状态。二、基本逻辑运算二、基本逻辑运算与运算与运算或运算或运算非运算非运算第一章 数字逻辑基础第22页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路逻辑表达式逻辑表达式F=A B=AB与逻辑真值表与逻辑真值表与逻辑关系表与逻
23、辑关系表与逻辑与逻辑开关开关A 开关开关B灯灯F断 断断 合合 断合 合灭灭灭亮ABF1 01 10 10 00010ABF 逻辑符号逻辑符号与逻辑运算符，也有用“”、“”、“”、“&”表示第一章 数字逻辑基础只有决定某一事件的所有条件全部具备，这一事件才能发生第23页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路逻辑表达式逻辑表达式F=A+B或逻辑真值表或逻辑真值表或逻辑或逻辑ABF1逻辑符号逻辑符号ABF1 01 10 10 01110N N个输入：个输入：F=A+B+.+N或逻辑运算符，也有用“”、“”表示第一章 数字逻辑基础只有决定某一事件的一个或一个以上具备，这一事件才能发生第24页/共
24、84页2011.8.29数字逻辑与电路非逻辑非逻辑非逻辑真值表非逻辑真值表逻辑符号逻辑符号AF1AF0110逻辑表达式逻辑表达式F=A F=A“-”非逻辑运算非逻辑运算符符三、复合逻辑运算三、复合逻辑运算与非逻辑运算与非逻辑运算F1=AB或非逻辑运算或非逻辑运算F2=A+B与或非逻辑运算与或非逻辑运算F3=AB+CD第一章 数字逻辑基础当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生.第25页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路异或运算异或运算ABF1 01 10 10 01100逻辑表达式逻辑表达式F=AF=A B=AB+ABB=AB+AB ABF=1逻辑符号逻辑符号同或运算同或运
25、算逻辑表达式逻辑表达式F=A F=A B=B=A A B B ABF=1逻辑符号逻辑符号“”异或逻辑异或逻辑运算符运算符“”同或逻辑同或逻辑运算符运算符第一章 数字逻辑基础ABF1 01 10 10 00011第26页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路逻辑函数及其表示方法一、逻辑函数一、逻辑函数用用有有限限个个与与、或或、非非逻逻辑辑运运算算符符，按按某某种种逻逻辑辑关关系系将将逻逻辑辑变变量量A、B、C、.连连接接起起来来，所所得得的的表表达式达式F=f（A、B、C、.）称为逻辑函数。称为逻辑函数。二、二、逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式 逻辑图逻
26、辑图波形图波形图输入变量输入变量不同取值组合不同取值组合与与函函数值数值间的对应关系列成表格间的对应关系列成表格用用逻辑符号逻辑符号来表示来表示函数式的运算关系函数式的运算关系输入变量输入变量输出函数输出函数取值：逻辑取值：逻辑0 0、逻辑、逻辑1 1。逻辑。逻辑0 0和逻辑和逻辑1 1不代表不代表数值数值大小大小，仅表示相互矛盾、相互对立的，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑态两种逻辑态反反映映输输入入和和输输出出波波形形变变化的图化的图形又叫时序图形又叫时序图第一章 数字逻辑基础第27页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路第一章 数字逻辑基础ABCF00000100101110011
27、0111011断断“0”合合“1”亮亮“1”灭灭“0”0000110逻辑函数式逻辑函数式 挑出函数值为挑出函数值为1的项的项1 101111101111 每个函数值为每个函数值为1 1的输入变量取值组合写成一个的输入变量取值组合写成一个乘积项乘积项 这些乘积项作这些乘积项作逻辑加逻辑加输入变量取值为1用原变量表示;反之，则用反变量表示ABC、ABC、ABC第28页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路逻辑图逻辑图波形图波形图101101111111第一章 数字逻辑基础乘积项用与门实现，和项用或门实现第29页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路表示方法之间的相互转换表示方法之间的相互转
28、换1 1、真值表、真值表逻辑函数式逻辑函数式方法方法:将真值表中为将真值表中为1 1的项相加的项相加,写成写成 “与或式与或式”。A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 第一章 数字逻辑基础第30页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路2 2、逻辑式、逻辑式真值表真值表方法方法:将输入变量取值的所有组合将输入变量取值的所有组合状态逐一带入逻辑式求函数值状态逐一带入逻辑式求函数值,列列成表即得真值表。成表即得真值表。A B C Y 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0
29、 1 0 1 1 1 0 1 1 1 01111110第一章 数字逻辑基础表示方法之间的相互转换表示方法之间的相互转换第31页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路3 3、逻辑式、逻辑式逻辑图逻辑图方法方法:用图形符号代替逻辑式中的运算符号用图形符号代替逻辑式中的运算符号,就就可以画出逻辑图可以画出逻辑图.第一章 数字逻辑基础第32页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路4 4、逻辑图、逻辑图逻辑式逻辑式方法方法:从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即得到对应的逻辑函数式的逻辑式，即得到对应的逻辑函数式.第一章 数字逻辑基础表示方法
30、之间的相互转换表示方法之间的相互转换第33页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路5 5、波形图、波形图真值表真值表ABCYtttt00000011010101101000101111001111A B C Y 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 01100101第一章 数字逻辑基础表示方法之间的相互转换表示方法之间的相互转换第34页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路逻辑代数的运算公式逻辑代数的运算公式 公理公理与与定律定律公理公理交换律交换律结合律结合律分配律分配律0 0=00 1=1 0=0 1 1=10+0=00+1
31、=1+0=1 1+1=1A B=B A A+B=B +A(A B)C=A (B C)(A+B)+C=A+(B+C)A (B+C)=A B+A C A+B C=(A+B)(A+C)(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC=A(A+B+C)+BC=A+BC第一章 数字逻辑基础第35页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路0-1律律重叠律重叠律互补律互补律还原律还原律反演律反演律自等律自等律吸收律吸收律包含律包含律合并律合并律消因律消因律第一章 数字逻辑基础第36页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路证明方法证明方法利用真值表利用真值表例：用真值表证明反演律例：用真值表证明反演律A B
32、A BAB A+BA BA+B000110111110111010001000 A B=A+B A+B=AB第一章 数字逻辑基础第37页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路等式右边等式右边由由此此可可以以看看出出：与与或或表表达达式式中中，两两个个乘乘积积项项分分别别包包含含同同一一因因子子的的原原变变量量和和反反变变量量，而而两两项项的的剩剩余余因因子子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的公式可推广：公式可推广：例：证明包含律例：证明包含律成立成立利用基本定律利用基本定律第一章 数字逻辑基础第38页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路逻辑代
33、数的运算规则逻辑代数的运算规则 三个基本运算规则三个基本运算规则 代入规则代入规则：任何一个含有某变量的等式，如果任何一个含有某变量的等式，如果等等式式中所有出现此中所有出现此变量变量的位置均代之以的位置均代之以一个一个逻辑函数式逻辑函数式，则此等式依然成立，则此等式依然成立例：例：A B=A+B得得由此反演律能推广到由此反演律能推广到n n个变量：个变量：利用反演律BC替代B第一章 数字逻辑基础第39页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路基本运算规则基本运算规则 反演规则反演规则：对于任意一个逻辑函数式对于任意一个逻辑函数式F F，做如下处理：，做如下处理：若把式中的运算符若把式中的运
34、算符“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.”;常量常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”；原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量那么得到的那么得到的新函数式新函数式称为原函数式称为原函数式F F的的反函数式反函数式。注：注：保持原函数的运算次序保持原函数的运算次序-先与后或，必要时适当地加入括号先与后或，必要时适当地加入括号 不属于单个变量上的非号有两种处理方法不属于单个变量上的非号有两种处理方法 非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换 将非号去掉，而非号下的函数式保留不变将非号去掉，而非号下
35、的函数式保留不变例：例：F(AF(A、B B、C)C)其反函数为其反函数为或或第一章 数字逻辑基础第40页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路 对偶式对偶式：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：1 1）若把式中的运算符）若把式中的运算符“.”换成换成“+”，“+”换成换成“.”；2 2）常量）常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”得到新函数式为原函数式得到新函数式为原函数式F F的对偶式的对偶式FF，也称对偶函数，也称对偶函数 对偶规则：对偶规则：如如果果两两个个函函数数式式相相等等，则则它它们们对对应应的的对对偶偶式式也也相相等等
36、。即即 若若 F F1 1 =F F2 2 则则F F1 1=F F2 2。使使公公式式的的数目增加一倍。数目增加一倍。求求对对偶偶式式时时运运算算顺顺序序不不变变，且且它它只只变变换换运运算符和常量算符和常量，其，其变量变量是是不变不变的。的。注：注：函函数数式式中中有有“”和和“”运运算算符符，求求反反函函数数及及对对偶偶函函数数时时，要要将将运运算算符符“”换换成成“”，“”换成换成“”。例：例：其对偶式其对偶式第一章 数字逻辑基础第41页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路1-3 逻辑函数的标准形式函数表达式的常用形式函数表达式的常用形式逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式第一章
37、 数字逻辑基础第42页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路函数表达式的常用形式函数表达式的常用形式 五种常用表达式五种常用表达式F(AF(A、B B、C)C)“与与或或”式式“或或与与”式式“与非与非与非与非”式式 “或非或非或非或非”式式“与与或或非非”式式基本形式基本形式 表达式形式转换表达式形式转换利用还原律利用反演律第一章 数字逻辑基础第43页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路最小项：最小项：n n个变量有个变量有2 2n n个最小项，记作个最小项，记作m mi i例如：例如：3 3个变量有个变量有2 23 38 8个最小项：个最小项：m m0 0m m1 1000001
38、01m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 7010011100101110111234567n n个个变变量量的的逻逻辑辑函函数数中中，包包括括全全部部n n个个变变量量的的乘乘积积项项（每每个个变变量量必必须须而而且且只只能能以以原原变变量或反变量的形式出现一次）量或反变量的形式出现一次）一、最小项最小项和和最大项最大项乘积项乘积项和项和项二进制数二进制数十进制数十进制数编号编号函数表达式的常用形式函数表达式的常用形式最小项编号i的值：是各输入变量取值后的二进制数对应的十进制数。第一章 数字逻辑基础第44页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路0 0 1A
39、 B CA B C0 0 0m m0 0m m1 1m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 71000000001000000110 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1000000000000100000010000001000000100000010000001111111三变量的最小项三变量的最小项 最小项及其性质最小项及其性质 任意一组变量取值，任意一组变量取值，只有一个只有一个最小最小 项项的值为的值为1，其它最小项的值均为，其它最小项的值均为0 同同一一组组变变量量取取值值任任意意两两个个不不同同最最小小项项的的乘积乘积为为0。即。
40、即mi mj=0 (ij)全部全部最小项之最小项之和和为为1，即，即第一章 数字逻辑基础第45页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路最大项最大项n n个变量有个变量有2 2n n个最大项，记作个最大项，记作i in n个个变变量量的的逻逻辑辑函函数数中中，包包括括全全部部n n个个变变量量的的和和项项（每每个个变变量量必必须须而而且且只只能能以以原原变变量量或反变量的形式出现一次）或反变量的形式出现一次）同同一一组组变变量量取取值值任任意意两两个个不不同同最最大大项项的的和和为为1。即。即Mi+Mj=1 (ij)全部全部最大项之最大项之积积为为0，即，即 任任意意一一组组变变量量取取值值
41、，只只有有一一个个最最大大项项的值为的值为0，其它最大项的值均为，其它最大项的值均为1最大项：最大项：最大项的性质：最大项的性质：第一章 数字逻辑基础第46页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路 最小项与最大项的关系最小项与最大项的关系1.相同编号的最小项和最大项存在互补关系相同编号的最小项和最大项存在互补关系即即:mi=Mi Mi=mi证明证明：m1m3m5m7=2.若若干干个个最最小小项项之之和和表表示示的的函函数数F，其其反反函函数数 可可用用与这些最小项相对应的最大项之积表示。与这些最小项相对应的最大项之积表示。第一章 数字逻辑基础第47页/共84页2011.8.29数字逻辑与电
42、路逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式标准积标准积(最小项）最小项）之和表达式之和表达式式中的每一个乘式中的每一个乘积项均为最小项积项均为最小项F(A、B、C、D)例：例：求函数求函数F(AF(A、B B、C)C)的标准积之的标准积之和表达式和表达式解：解：F(A、B、C)利用反演律利用反演律利用互补律，补利用互补律，补上所缺变量上所缺变量C第一章 数字逻辑基础第48页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式A B CA B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1mi01234567FMi012345670001
43、0111例：例：已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式(1)从从真真值值表表找找出出F为为1的最小项的最小项解解:(2)将这些项逻辑加将这些项逻辑加F(A、B、C)0 1 1 3 3 1 1 0 1 5 5 1 1 1 0 6 6 1 1 1 1 7 7 1 标准积标准积(最小项）最小项）之和表达式之和表达式第一章 数字逻辑基础第49页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路1-4 逻辑函数的简化代数法化简函数代数法化简函数图解法化简函数图解法化简函数 逻辑函数简化中的几个实际问题逻辑函数简化中的几个实际问题第一章 数字逻辑基础第50页/
44、共84页2011.8.29数字逻辑与电路函数简化的必要性 逻辑电路所用门的数量少逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入端个数少每个门的输入端个数少 逻辑电路构成级数少逻辑电路构成级数少 逻辑电路可靠性提高逻辑电路可靠性提高降低成本降低成本提高电路的工作提高电路的工作速度和可靠性速度和可靠性逻辑函数的简化第一章 数字逻辑基础第51页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路逻辑函数的简化最简式的标准最简式的标准:式中式中乘积项最少乘积项最少 乘积项中含的变量少乘积项中含的变量少1.与或表达式的简化与或表达式的简化方法：方法：并项：利用并项：利用将两项并为一项，将两项并为一项，且消去一个变量且消去一
45、个变量B B 消项：利用消项：利用A+AB=A消去多余的项消去多余的项AB 配项：利用配项：利用和互补律、和互补律、重叠律，先增添项，再消去多余项重叠律，先增添项，再消去多余项BCBC 消元：利用消元：利用消去多余变量消去多余变量A A第一章 数字逻辑基础第52页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路例：例：试简化函数试简化函数解：解：利用反演律利用反演律配项加配项加ABAB消因律消因律消项消项ABAB2.或与表达式的简化或与表达式的简化F（或与式）（或与式）求对偶式求对偶式 F（与或式）（与或式）简化简化 F（最简与或式）（最简与或式）求对偶式求对偶式 F（最简最简或与式）或与式）逻辑函
46、数的简化第一章 数字逻辑基础第53页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路2.或与表达式的简化或与表达式的简化逻辑函数的简化F（或与式）求对偶式（或与式）求对偶式 F（与或式）简化（与或式）简化 F（最简（最简与或式）与或式）求对偶式求对偶式 F（最简最简或与式）或与式）例：例：第一章 数字逻辑基础第54页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路图形法化简函数图形法化简函数1.卡诺（卡诺（Karnaugh）图及其函数化简规则）图及其函数化简规则图中的图中的一小格一小格对应真值表中的对应真值表中的一行一行，即对应一个即对应一个最小项最小项，又称真值图，又称真值图A B0 00 11 01
47、1 m0 m1 m2 m3AABBABBAAB ABAB1010 m0 m1 m2 m3 miABC01000111100001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD二二变变量量K图图三三变变量量K图图四四变变量量K图图第一章 数字逻辑基础第55页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路图形法化简函数图形法化简函数K图的特点 k图为方形图。n个变量的函数-k图有2n个小方格，分别对应2n个最小项；k图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，使各最
48、小项之间具有逻辑相邻性。有三种几何相邻：邻接、相对（行列两端）和对称方格均属相邻0001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD四四变变量量K图图上下左右几何相邻的方格内，只有一个因子不同第一章 数字逻辑基础第56页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路卡诺图化简函数规则：卡诺图化简函数规则：图形法化简函数图形法化简函数0001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD四四变变量量K图图两个相邻
49、格圈在一起，两个相邻格圈在一起，结果消去一个变量结果消去一个变量ABD ADA四个相邻格圈在一起，四个相邻格圈在一起，结果消去两个变量结果消去两个变量八个相邻格圈在一起，八个相邻格圈在一起，结果消去三个变量结果消去三个变量 几几何何相相邻邻的的2i（i=1、2、3n）个个小小格格可可合合并并在在一一起起构构成成正正方方形形或或矩矩形形圈圈，可可消消去去i个个变变量量，而而用用含含（n-i）个变量的积项标注该圈个变量的积项标注该圈。十六个相邻格圈在十六个相邻格圈在一起，结果一起，结果 mi=11第一章 数字逻辑基础第57页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路2.卡诺图化简函数的步骤卡诺图化
50、简函数的步骤步步骤骤 先先将将函函数数填填入入相相应应的的卡卡诺诺图图中中，存存在在的的最最小小项对应的方格填项对应的方格填1，其它填，其它填0。合合并并：按按作作圈圈原原则则将将图图上上填填1的的方方格格圈圈起起来来，要要求求圈圈的的数数量量少少、范范围围大大，圈圈可可重重复复包包围围但但每每个圈内必须有个圈内必须有新新的最小项。的最小项。每个圈按每个圈按取同去异取同去异 原则写出一个乘积项。原则写出一个乘积项。最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式图形法化简函数图形法化简函数第一章 数字逻辑基础第58页/共84页2011.8.29数字逻辑与电路2.1