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1、一、向量数量积的物理背景一、向量数量积的物理背景 在物理课中，我们学过功的概念，在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力即如果一个物体在力 的作用下产生位的作用下产生位移移 ，那么力，那么力 所做的功所做的功第1页/共17页 我们将功的运算类比到两个向量我们将功的运算类比到两个向量的一种运算，得到向量的一种运算，得到向量“数量积数量积”的的概念。概念。第2页/共17页二、向量与的数量积的概念 已知两个非零向量与，它们已知两个非零向量与，它们的夹角为的夹角为，则我们把数量，则我们把数量 叫做叫做 与与 的数量积的数量积(或或内积内积)，记作：，记作：.规定：规定：零向量和任一向量的数量积
2、为零向量和任一向量的数量积为0 0第3页/共17页 向量的数量积是一个数量，不是一个向量的数量积是一个数量，不是一个向量，那么它什么时候为正，什么时候为向量，那么它什么时候为正，什么时候为负？负？=|cos当当0 90时时 为正；为正；当当90 180时时 为负。为负。当当=90时时 为零。为零。=|cos第4页/共17页解：解：ab=|a|b|cos =54cos120 =54（-1/2）=10例例1 1 已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a与与b b的夹角的夹角=120=120，求，求a ab b。第5页/共17页，过点，过点B作作垂直于直线OA，垂足为 ，则|b|c
3、osOABabOABab|b|cos叫向量b 在a 方向上的投影为锐角时，为锐角时，|b|cos0为钝角时，为钝角时，|b|cos0为直角时，为直角时，|b|cos=0BOAab几何意义几何意义几何几何意义意义数量积 a b 等于a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积.第6页/共17页设设是非零向量，是非零向量，方向相同的方向相同的单位向量，的夹角，则的夹角，则特别地特别地OAB abB1第7页/共17页四四.数学运用数学运用 例例1:第8页/共17页注意注意：“”不能省略不写，也不能写为“”，数学中“a b”表示两个向量的向量积(或外积)va b表示数量而不表示向
4、量，与实数a b不 同,a+b、a-b表示向量；（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c.但是ab=bc不能得到 a=c(5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)c a(bc)数量积:a b=|a|b|cos 第9页/共17页练习练习判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确()()()()()()第10页/共17页二、二、平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：数量积的运算律：其中，其中，是任意三个向量，是任意三个向量，注：注：第11页/共17页 则则 (a+b)c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=ac+bc.ONMa+bbac 向量向量a、b、a+b在在c上的射影的数上的射影的数量分别是量分别是OM、MN、ON,证明运算律证明运算律(3)第12页/共17页例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.第13页/共17页例例4、的夹角为的夹角为解解:第14页/共17页第15页/共17页作业：作业：第16页/共17页感谢您的观看。第17页/共17页