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1、 第二章 静电场 1.一个半径为 R 的电介质球，极化强度为2/rKrP，电容率为。（1）计算束缚电荷的体密度和面密度：（2）计算自由电荷体密度；（3）计算球外和球内的电势；（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。解：（1）Pp2222/)/1()/1()/(rKrrKrKrrr)(12PPnpRKRrr/Pe（2）)/(00PPED内 200)/()/(rKfPD内（3）)/(/0PDE内内 rrfrKRrVeeDE200200)(4d外外 rKRr)(d00rE外外)(lndd00rRKRRrrErE外内内（4）RRrrrRKrrrKVW42200222022202d4)(21d4)(21
2、d21ED 200)(1(2KR 2.在均匀外电场中置入半径为0R的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0；（2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。当0RR 时，电势满足拉普拉斯方程，通解为 nnnnnnPRbRa)(cos)(1 因为无穷远处 0EE，)(coscos10000RPERE 所以 00a，01Ea，)2(,0nan 当 0RR 时，0 所以 0101000)(cos)(cosnnnnPRbPRE 即：002010000/,/RERbR
3、b 所以 )2(,0,),(30010000nbREbRbn)()(/cos/)(cos000230000000RRRRRRERRRE（2）设球体待定电势为0，同理可得)()(/cos/)(cos000230000000RRRRRRERRRE 当 0RR 时，由题意，金属球带电量Q ddsin)cos2cos(d2000000000RERESnQRR)(40000R 所以 00004/)(RQ)(4/)(cos)/(4/cos00002300000RRRQRRRRERQRE 3.均匀介质球的中心置一点电荷fQ，球的电容率为，球外为真空，试用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较
4、。提示：空间各点的电势是点电荷fQ的电势RQf4/与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。解：（一）分离变量法 空间各点的电势是点电荷fQ的电势RQf4/与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加。设极化电荷产生的电势为，它满足拉普拉斯方程。在球坐标系中解的形式为：）（）（内cos1nnnnnnPRbRa）（）（外cos1nnnnnnPRdRc 当R时，0外，0nc。当0R时，内为有限，0nb。所以 ）（内cosnnnnPRa，）（外cos1nnnnPRd 由于球对称性，电势只与 R 有关，所以)1(,0nan )1(,0ndn 0a内，Rd/0外 所以空间各点电势可写成RQaf
5、40内 RQRdf40外 当0RR 时，由 外内 得：000/Rda 由 nn外内0得：20002002044RdRQRQff，)11(400fQd 则 )11(4000RQaf 所以 ）（内114400RQRQff）（外11440RQRQffRQf04 （二）应用高斯定理 在球外，RR0，由高斯定理得：fpfQQQQd总外sE0，（整个导体球的束缚电荷0pQ），所以 rfRQeE204外，积分后得：RQdRRQdfRRf02044RE外外 在球内，R0R）置一点电荷fQ，试用分离变量法求空间各点电势，证明所得结果与电象法结果相同。解：以球心为原点，以球心到点电荷的连线为极轴建立球坐标系。将空
6、间各点电势看作由两部分迭加而成。一是介质中点电荷产生的电势 cos24/221RaaRQf，二是球面上的感应电荷及极化面电荷产生的2。后者在球内和球外分别满足拉普拉斯方程。考虑到对称性，2与无关。由于0R时，2为有限值，所以球内的2解的形式可以写成 nnnniPRa)(cos2 （1）由于R时，2应趋于零，所以球外的2解的形式可以写成 nnnnPRb)(cos12o （2）由于 nnnPaRaRaaR(cos)/()/1(cos222 nnnfPaRaQ(cos)/()4/(1 （3）当0RR 时，21i内 nnnnnnnfPRaPaRaQ)(cos(cos)/()4/(（4）当0RR 时，2
7、1o外 nnnnnnnfPRbPaRaQ)(cos(cos)/()4/(1 （5）因为导体球接地，所以 0内 （6）000RR内外 （7）将（6）代入（4）得:14/nfnaQa （8）将（7）代入（5）并利用（8）式得:11204/nnfnaRQb （9）将（8）（9）分别代入（4）（5）得:)(00RR 内 （10）/cos2)/(cos241202202022aRRaRRaQRRaaRQff外,)(0RR （11）用镜像法求解：设在球内 r0处的像电荷为 Q。由对称性，Q在球心与 Qf的连线上，根据边界条件：球面上电势为 0，可得：（解略）aRr/200，aQRQf/0 所以空间的电势为
8、/cos2)/(cos241)(4120220202221aRRaRRaQRRaaRQrQrQfff外)(0RR 9.接地的空心导体球的内外半径为1R和2R，在球内离球心为 a 处(a a），试用电象法求空间电势。解：如图，根据一点电荷附近置一无限大接地导体平板和一点电荷附近置一接地导体球两个模型，可确定三个镜像电荷的电量和位置。QbaQ1，zbaer21；QbaQ 2，zbaer22；QQ3，zber3，所以),20(,cos2cos2cos21cos2142242224222220aRRbabaRbaRbabaRbaRbbRRbbRQ 12.有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所 围
9、成的直角空间内，它到两个平面的距离为a和b，求空间电势。解：用电像法，可以构造如图所示的三个象电荷来代替两导体板的作用。22200)()()(14bzayxxQ 2220)()()(1bzayxx)0,(,)()()(1)()()(122202220zybzayxxbzayxx 13.设有两平面围成的直角形无穷容器，其内充满电导率为的液体。取该两平面为xz面和yz面在),(000zyx和),(000zyx两点分别置正负电极并通以电流I，求导电液体中的电势。解：本题的物理模型是，由外加电源在A、B两点间建立电场，使溶液中的载流子运动形成电流I，当系统稳定时，属恒定场，即0/t，0 J。对于恒定的
10、电流，可按静电场的方式处理。于是在A点取包围A的高斯面，则/QdSE，由于Sj dI，Ej，所以 /QI 可得：/IQ 。同理，对B点有：QIQB/又，在容器壁上,0nj，即无电流穿过容器壁。),(0baxQ),(0baxQ),(0baxQ),(0baxQabyz),(000zyxA),(000zyxBzxyo),(000zyxQ),(000zyxQzxyo),(000zyxQ),(000zyxQ),(000zyxQ),(000zyxQ),(000zyxQ),(000zyxQ 由Ej可知，当0nj时，0nE。所以可取如右图所示电像，其中上半空间三个像电荷Q，下半空间三个像电荷-Q，容器内的电势
11、分布为：8141iiirQ202020)()()(14zzyyxxI202020)()()(1zzyyxx202020)()()(1zzyyxx202020)()()(1zzyyxx202020)()()(1zzyyxx202020)()()(1zzyyxx202020)()()(1zzyyxx)()()(1202020zzyyxx 14.画出函数dxxd/)(的图，说明)()(xp是一个位于原点的偶极子的电荷密度。解：（1）0,0,0)(xxx xxxxdxxdx)()(lim)(0 1）0 x时，0/)(dxxd 2）0 x时，a)对于0 x，xdxxdx0lim)(0 b)对于0 x，x
12、dxxdx0lim)(0 图象如右图所示。)()/()()(332211xxpxpxpxpxxx dVxpxpxpdVdVxxxxxxxpx)()/()()(332211 其中第一项为：3213322113211111)()()()()()(dxdxdxxxxxxxxpdVxpxxeeexx 32133221132111)()()(dxdxdxxxxxxxxpxeee111111)(dxdxxdxpxe 应用dttdttdtttd)()()(，即)()()(tdtttddttdt，可得：111111)(dxdxxdxpxe11111111)()(dxxpxxdpxxee dxxd)(xo 11
13、111111)(xxxppxxpeee (x=0)同理可得另外两项分别为22xpe及33xpe，所以，pxdV,即 p是一个位于原点的偶极子的电荷密度。15.证明：（1）axax/)()()0(a，（若0a，结果如何？）（2）0)(xx 证明：1)显然，当0 x时，axax/)()(成立；又 aaxdaxaaaxdaxdxax1)()(1)()()(1)(dxx 所以axax/)()(在全空间成立。若0a，aaaxdaxdxaxdxax1)()()()(即，axax/)()(所以axax/)()(在全空间成立。2)由)(x的选择性证明。0)()(xxxx，而0)(0 xxdxxx 0)(xx，
14、进而0)(xx 16.一块极化介质的极化矢量为)(xP，根据偶极子静电势的公式，极化介质所产生的静电势为VdVr4)(30rxP，另外根据极化电荷公式)(xPp及Pnp，极化介质所产生的电势又可表为SVrddVr004)(4)(SxPxP，试证明以上两表达式是等同的。证明：由第一种表达式得 VVdVrdVr1)(41)(41030 xPrxP rrr111PPP VVdVrdVr)()(410 xPxP )()(410SxPxPdrdVrSV，所以，两表达式是等同的。实际上，继续推演有：41)(4100dSrdVrdSrdVrSpVpSVnPxP 刚好是极化体电荷的总电势和极化面电荷产生的总电
15、势之和。17.证明下述结果，并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化。（1）在面电荷两侧，电势法向微商有跃变，而电势是连续的。（2）在面偶极层两侧，电势有跃变012/Pn，而电势的法向微商是连续的。（各带等量正负面电荷密度而靠的很近的两个面，形成面偶极层，而偶极矩密度lP0liml）证明：1）如图，由高斯定理可得：0/2SSE，02/E，0)2/()2/(0012zz 即，电势是连续的，但是 01112/znneE，02222/znneE 02211/nn 1 +即，电势法向微商有跃变 n E l 2）如图，由高斯定理可得：0/zEe 2 00012/limlimlnlEll z 0/Pn
16、又 En/1，En/2 0/21nn，即电势的法向微商是连续的。18.一个半径为R0 的球面，在球坐标2/0的半球面上电势为0在2/的半球面上电势为0，求空间各点电势。提示：10101112)()()(nxPxPdxxPnnn，1)1(nP，偶数）（奇数）（nnnnPnn,642)1(531)1(,0)0(2/解：由题意，球内外电势均满足拉普拉斯方程：02内；02外 球内电势在0r时为有限，球外电势在r时为0，所以通解形式为：nnnnPra)(cos内，nnnnPrb)(cos1外。在球面上，00RrRr外内，即)2/(,)2/0(,)(000fRr EESxz12 将)(f按球函数展开为广义
17、傅立叶级数，nnnPff)(cos)(则 nnnnnfRbRa)1(00，下面求nf。011sin)(cos212cos)(cos)(2120dPndPfnfnRnn sin)(cossin)(cos21220200dPdPnnn)()(212100010dxxPdxxPnnn)()(21210100dxxPdxxPnnn 由于)()1()(xPxPnnn，所以 1010101100)()1(1 212)()1()(212dxxPndxxPdxxPnfnnnnnn 当n为偶数时，0nf；当n为奇数时，1011012)()(11 212nxPxPnfnnn10110)()(xPxPnn)12()1(642)2(531)1()0()0(210110 nnnPPnnn nnnRfa0/)12()1(642)2(531)1(2100 nnnRnn)1(0nnnRfb)12()1(642)2(531)1(21100 nnnRnn 至此，可写出球内外的电势为）为奇数，内00210(,)(cos)(12()1(642)2(531)1(RrnPRrnnnnnn )(,)(cos)(12()1(642)2(531)1(010210RrnPrRnnnnnn 为奇数，外 Love is not a maybe thing.You know when you love someone.