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1、武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 1 1 设计任务与设计分析 初始条件：反馈系统方框图如下图所示。K(s)D1（比例 P 控制），sKK(s)DI2（比例积分 PI 控制），)6s)(1s(1sG1s(s)，)2s)(1s(1G2(s)；图 1-1 反馈系统框图 1.1 任务要求(1)当 D(s)=D1(s),G(s)=G1(s)时，确定使反馈系统保持稳定的比例增益 K 的范围。计算系统在单位阶跃信号输入作用下的误差常数和稳态误差；(2)满足（1）的条件下，取三个不同的 K 值（其中须包括临界 K 值），计算不同 K 值下系统闭环特征根，特征根可用 MATLAB 中的 roots 命令求
2、取；(3)用 Matlab 画出（2）中三个增益对应的单位阶跃输入的响应曲线，通过响应曲线分析不同 K 值时系统的动态性能指标；(4)当 D(s)=D2(s),G(s)=G2(s)时，确定使系统稳定 K 和 KI的范围，并画出稳定时的允许区域。计算系统在单位阶跃信号输入作用下的误差常数和稳态误差；(5)满足（4）的条件下，取三个不同的 K 和 KI值，计算不同 K 和 KI值下系统闭环特征根，特征根可用 MATLAB 中的 roots 命令求取。画出其中一组值对应的波特图并计算相角裕度；(6)用 Matlab 画出（5）中三个增益对应的单位阶跃输入的响应曲线，通过响应曲线分析不同 K 和 KI
3、值时系统的动态性能指标；(7)比较 P 和 PI 控制的特点；1.2 任务分析 D(s)G(s)R(t)+-e(t)c(t)武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 2(1)对于任务要求（1）和（4），我决定采用劳斯判据的方法，在保持反馈系统稳定的要求下，分别得出比例控制时 K 的范围以及比例积分控制时 K 和 Ki 的范围；然后再利用误差系数法，得出稳态常数和稳态误差；(2)对于任务要求（2）、(3)、（5）和（6），都采用 Matlab 编程和 Simulink 仿真的方式，来得出根的分布与单位阶跃响应曲线；(3)在前面 6 个要求完成之后，对前面所得到的数据和图像加以分析，总结出 P和 P
4、I 控制各自的特点，进而完成课程设计报告。武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 3 2 PID 控制简介 PID 是比例（Proportion），积分(Integration)，微分（Differentiation）的缩写。比例调节作用：是按比例反应系统的偏差，系统一旦出现了偏差，比例调节立即产生调节作用以减少偏差，比例作用大，可以加快调节，减少误差，但是过大的比例，使系统的稳定性下降，甚至造成系统的不稳定。积分调节作用：是使系统消除稳态误差，提高无差度。因为有误差，积分调节就进行，直至无差，积分调节停止，积分调节输出一常值。积分作用的强弱取决于积分时间常数 Ti,Ti 越小，积分作用就越强
5、，反之，Ti 越大积分作用越弱。加入积分调节可使系统稳定性下降，动态响应变慢。所以积分作用常与另两种作用结合，组成 PI 控制或 PID 控制。微分调节作用：微分作用反映系统偏差作用的变化率，具有预见性，能预见系统偏差变化的趋势，因此能产生超前的控制作用，在偏差还没有形成之前，已被微分调节作用消除。因此，可以改善系统的动态性能。在微分时间选择合适的情况下，可以减少超调，减少调节时间。微分作用对高频噪声干扰有放大作用，因此过分加强微分调节，对系统抗干扰不利。此外，微分反应的是变化率，而当输入没有变化时，微分作用输出为零。一般微分作用不单独使用，常与另外两种作用结合起来使用，组成 PD 或 PID
6、 控制器。图 2-1 PID 控制器原理框图 本文将在基于 PID 控制器的基础上，讨论 P 控制器和 PI 控制器的工作特性。武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 4 3 P 控制 3.1 P 控制稳定性判定 3.1.1 P 控制的 K 值范围 在比例控制器中，给出K(s)D1，)6s)(1s(1sG1s(s)，则其反馈系统框图见图 3-1。图 3-1 比例控制器框图 基于上面的反馈框图，首先求得系统的开环传递函数为式（3-1）：)6)(1()1()()(G(s)11ssssKsGsD （3-1）同时，当求得系统的开环传递函数之后，同样可以得到系统的闭环传递函数为式（3-2）：KsKsss
7、KsGsGs)6(5)1()(1)()23（3-2）根据式（3-2）的闭环传递函数，得到了闭环系统的特征方程如下式：0)6(5)(D23Ksksss （3-3）当求得系统的特征方程之后，构成劳斯表2如下:K(s)D1)6s)(1s(1sG1s(s)R(t)e(t)+-c(t)武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 5 KssKsK0230530K4561s 劳斯判定判据 1：系统稳定的充分必要条件是劳斯表的第一列数的符号完全相同。因此，由上面的劳斯表可以得到当系统稳定时的K 值范围为式（3-4）：005304KK （3-4）从而，解得 K 的范围是5.7K，则系统保持稳定时的 K 值范围是5.
8、7K 3.1.2 P 控制在单位阶跃输入下的误差常数与稳态误差 在单位阶跃信号输入下，系统的稳态位置误差系数 Kp 为式（3-5）：)6)(1()1(00lim)(limssssKsspsGK （3-5）而对于该系统的稳态误差为下式：011)(pssKe （3-6）经过上面的计算得到误差常数pK,稳态误差0)(sse。3.2 P 控制中不同 K 值的根的分布 在满足 2.1.1 中 K 的范围的条件下，选取三个 K 值，分别取 K=7.5,10，12，得到系统闭环特征根。(1)在 K=7.5 时，系统的闭环传递函数为式（3-7）：KsssssGsGs5.15)1(5.7)(1)()23（3-7
9、）武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 6 系统闭环特征根为（程序见附录1）：P1=-5.0000 P2=0.0000+1.2247i P3=0.0000-1.2247i 将上面的特征根在坐标系中表示如图3-2。图3-2 K=7.5的闭环零、极点分布图(2)在K=10时，系统闭环传递函数为下式（3-8）：1045)1(10)(1)()23sssssGsGs（3-8）系统闭环特征根为:P1=-4.6030 P2=-0.1985+1.4605i P3=-0.1985-1.4605i 同样将K=10时系统闭环特征根表示在坐标系中如图3-3。图3-3 K=10的闭环零、极点分布图(3)在K=12时，
10、系统闭环传递函数为式（3-9）：1265)1(12)(1)()23sssssGsGs（(3-9)武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 7 系统闭环特征根为:P1=-4.2526 P2=-0.3737+1.6377i P3=-0.3737-1.6377i 在K=12时系统闭环特征根的分布图为图3-4。图3-4 K=12时闭环零、极点分布图 3.3 P控制在单位阶跃输入下的响应曲线（1）利用matlab 编程得到当K分别为K=7.5；K=10；K=12时的单位阶跃输入的响应曲线3（程序见附录 2）如图3-5。图3-5 单位阶跃输入的响应曲线(2)利用matlab中工具箱simulink仿真得到K
11、分别为7.5，10，12时的单位阶跃输 入的响应曲线。武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 8 图3-6 P控制单位阶跃输入仿真图形 得到P控制的单位阶跃输入的响应曲线如图3-7。图3-7 单位阶跃输入的响应曲线(3)分别讨论当参数K取不同值时系统动态性能指标：当K=7.5时，P控制系统为无阻尼振荡；当K=10时，由系统的闭环传递函数(3-8)，借助工具箱LTIview计算P控制系统单位阶跃响应的动态性能指标。（程序见附录3）图3-8 K=10时单位阶跃输入的响应曲线 观察上图3-8，可以得到系统的动态性能指标：武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 9 上升时间：rt=0.644s 峰值时
12、间：pt=1.55s 超调量：%p=118%调节时间：st=22s 当K=12时，由系统的闭环传递函数(3-9)，同理借助LTIview得到其动态性能指标。图3-9 K=12时单位阶跃输入的响应曲线 同样观察上图3-9，可以得到K=12时系统的动态性能指标：上升时间：rt=0.587s 峰值时间：pt=1.43s 超调量：%p=104%调节时间：st=11.8s 分析：观察上面的由不同K值所得到的单位阶跃响应曲线，当K=7.5时，系统处于临界稳定状态，持续振荡；并且随着K值的增大，可以提高系统对阶跃信号的响应速度，同时系统的超调量减小，稳定性提高；系统的调节时间也减小，系统响应速度得到提高。武
13、汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 10 4 比例积分（PI）控制 4.1 PI控制稳定性判定 4.1.1 PI控制K和Ki范围 在比例积分控制器中，有sKK(s)DI2，)2s)(1s(1G2(s)，得到其反馈系统框图如下图。图4-1 比例积分控制器框图 同理，通过上面的反馈系统框图，得到比例积分控制器的开环传递函数如下式（4-1）：)2)(1()s)sG(s)12sssKKsGDI（(4-1)由上述的开环传递函数，可以得到比例积分控制器的闭环传递函数为式(4-2)：IIKsKssKKssGsGs)2(3)(1)()(23 (4-2)所以上面的闭环传递函数的特征方程如下式：0)2(3)(2
14、3IKsKsssD (4-3)当求得比例积分控制器的特征方程之后，要求系统保持稳定时的参数K和Ki的范围同比例控制器一样，用劳斯判据的方法，来得到K和Ki的范围。劳斯表构sKK(s)DI2)2s)(1s(1G2(s)R(t)+-e(t)c(t)武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 11 成如下:IIIKsKKsKsKs0230336321 由劳斯稳定判据，得到下面的不等式：00336IIKKK (4-4)将不等式（4-4）表示在坐标系中的范围为如下面的图4-2阴影部分。图4-2 K和Ki的范围示意图 4.1.2 PI控制在单位阶跃输入下的误差常数和稳态误差 在单位阶跃信号的输入下，该闭环控制
15、系统的稳态位置误差常数 Kp 为式（4-5）：)2)(1(lim)(lim00sssKKssGKIssp(4-5)由稳态位置误差常数Kp，可以求得稳态误差为下式（4-6）:011)(pssKe。（4-6）武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 12 4.2 PI 控制中不同 K 和 Ki 值的根的分布 在 4.1.1 中，已经求取使得比例积分控制系统保持稳定时的 K 和 Ki 值的范围，这样在满足 4.1.1 中的 K 和 Ki 范围之后，选取三组不同的 K 和 Ki 的值，分别为 K=2，Ki=3；K=2，Ki=5；K=1,Ki=9。（1）在 K=2,Ki=3 时,PI 闭环控制系统的传递函
16、数为：34332)(1)()(23sssssGsGs （4-7）闭环系统的特征根为:P1=-1.6823 P2=-0.6588+1.1615i P3=-0.6588-1.1615i 将 K=2,Ki=3 时的闭环特征根表示在坐标系中如图 4-3。图 4-3 K=2,Ki=3 时 PI 闭环系统零、极点分布图（2）当 K=2,Ki=5 时 PI 闭环控制系统的传递函数为式（4-8）：54352)(1)()(23sssssGsGs （4-8）闭环系统的特征根为：P1=-0.2370+1.7946i P2=-0.2370-1.7946i P3=-1.5260 同样将上面的三个特征根表示在实虚轴上为图
17、4-4。武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 13 图4-4 K=2,Ki=5时PI闭环系统零、极点分布图（3）当K=1,Ki=9时PI闭环控制系统的传递函数为式(4-9):9339)(1)()(23sssssGsGs （4-9）闭环系统的特征根为:P1=-3.0000 P2=-0.0000+1.7321i P3=-0.0000-1.7321i 将上述特征根表示在坐标系中为图4-5。图4-5 K=1，Ki=9时PI闭环控制系统零、极点分布图 4.3 PI控制器在K=2,Ki=3时的波特图 在频域中分析高阶系统下的特性，有很大的方便性，可以直观地分析系统的稳定性和相对稳定性。而波特图是分析系统
18、在频域下的一种很有效的方法，因此，下面将讨论PI控制器在参数K=2,Ki=2时的频域特性，利用matlab得到其波特图，武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 14 并同时可以获得其幅值裕度和相位裕度。PI控制器中，系统的开环频率特性为式（4-10）：)2)(1()(jjjKKjjGI （4-10）下面用matlab中的工具箱，得到上述开环传递函数的波特图如图 4-6，并且同时得到相位裕度（程序见附录 4）。图4-6 K=2,Ki=3时的波特图 其相位裕度为07768.49,截止频率srad/0974.1c，幅值裕度infGm，穿越频率infg。4.4 PI控制在单位阶跃输入下的响应曲线（1）
19、利用matlab编程得到参数K和Ki分别为K=2,Ki=3；K=2,Ki=5；K=1,Ki=9时的单位阶跃响应曲线（程序见附录5）:武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 15 图4-7 单位阶跃响应曲线（2）利用matlab工具箱simulink仿真4得到当K和Ki分别为K=2,Ki=3；K=2,Ki=5；K=1,Ki=9时的单位阶跃输入响应曲线。图4-8 PI控制器单位阶跃输入仿真图形 得到PI控制器的单位阶跃输入的响应曲线为图4-9。图4-9 单位阶跃输入的响应曲线（3）参数K和Ki取不同值时系统的动态性能参数 当K=1,Ki=9时，系统处于无阻尼振荡；当K=2,Ki=5时，由系统的闭环
20、传递函数式(4-8)，利用LTIview得到PI系统的动态性能指标。武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 16 图4-10 K=2,Ki=5时单位阶跃输入的响应曲线 观察上面的单位阶跃响应图4-10，得到动态性能指标为：上升时间：rt=1.33s 峰值时间：pt=2.27s 超调量：%p=41%调节时间：st=11.9s 当K=2,Ki=3时，由系统闭环传递函数式(4-7)，同样由LTIview得到PI控制系统的动态性能指标。武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 17 图4-11 K=2,Ki=3时系统单位阶跃输入的响应曲线 同理得到以下一些动态性能指标：上升时间：rt=1.68s 峰值时
21、间：pt=2.64s 超调量：%p=19%调节时间：st=7.25s 分析：由上面的仿真曲线可以看出，当K=1,Ki=9时，系统处于持续振荡状态；而随着Ki的增加，积分作用增强，系统的超调量增加，稳定性下降；且系统的调节时间增加；但同时随着Ki的增加系统的上升时间减小，系统的响应速度提高。5 P和PI控制的比较 经过上面的理论推导和实验仿真之后，通过对P和PI控制器在保持稳定状态的条件下，参数分别取不同的值，进行单位阶跃输入下的仿真，得到响应曲线，可以总结出P和PI控制器各自的特点。P控制器：比例控制是一种最简单的控制方式。其控制器的输出与输入误差武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 18
22、信号成比例关系。且当仅有比例控制时系统输出存在稳态误差。比例控制只改变系统的增益而不影响相位，它对系统的影响主要反映在系统的稳态误差和稳定性上，增大比例系数可以提高系统的开环增益，减小系统的稳态误差，从而提高系统的稳定精度，但针对最小相位系统而言，如果K值太大，会降低系统的相对稳定性，甚至可能造成闭环系统的不稳定；而对于本报告中的非最小相位系统而言，K值越大，系统越稳定。PI控制器：PI控制器可以使系统在进入稳态后无稳态误差。PI控制器与被控对象串联连接时相当于在系统中增加了一个位于原点的开环极点，同时也增加了一个位于S左半平面的开环零点。位于原点的极点可以提高系统的型别，以消除或减小系统的稳
23、态误差，改善系统的稳态性能；而增加的负实部零点则可减小系统的阻尼比，缓和PI控制器极点对系统稳定性即动态过程产生的不利影响,但同时也可能增大超调量。心得与体会 通过这次课程设计：首先，我加深了对自动控制原理的一些理论方面的知识，尤其是一些在课堂上似懂非懂的问题，或者理解比较抽象的问题，在经过课程设计之后，查阅书籍和大量相关资料，以及matlab仿真之后，对理论知识有一个更加全面的理解。例如我们在衡量一个系统性能优劣时候，要从两个方面来考察，武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 19 一个是动态性能：超调量，调节时间，上升时间等等，一个是静态性能：稳态误差。而且要对系统进行校正时，也要从这两个
24、方面来进行校正。其次，这次课程设计有许多地方要用到matlab软件，我掌握了matlab在自动控制原理方面上的许多应用，而且还加强了编程能力。同时在课程设计报告的写作过程中，对 word软件，visio软件的应用，都大大加强了我运用这些软件的能力，可以说让我的各方面的技能有了很大的提升。其次,就是我查阅资料的能力得到大大提升.虽然这次课程设计的题目网上漫天飞,但我是通过实际所学的知识亲自做出来的.在自己做的过程中,难免会需要大量资料,而这就考察了我的查阅资料与筛选资料的能力.以前,学校的数据库很少被我利用,而且操作也不是很熟悉,但这次我为了写出比较好的课程设计报告，查阅了大量的资料。而同时,在
25、设计过程中,阅读资料也大大增加了我的知识面和阅读论文的能力,可谓是一举多得。最后,在课程设计中提高了我的动手能力.以前,我一直注重理论知识的学习,而忽视自己的动手实践能力,以致于虽然我在理论课上的考试成绩很高,但每次到实际问题时都是难以运用理论知识来解决所遇到的问题。然而,这次课程设计,遇到许多实际问题，都需要一一去解决，然而这样我的解决实际问题能力得到了加强，而这方面的能力也是我们在将来必备的。虽然这次课程设计完成得还算顺利,但在课程设计的过程当中,也暴露出了我自身的许多问题.首先是以前所学的知识忘记得很快,由于没有及时的巩固以前的知识所造成的后果,实际上自动控制原理的知识在我们学习以及生活
26、中都会有很多体现和运用，例如反馈的概念等等。这就给我敲响了警钟,及时复习所学的知识才能够运用得游刃有余,而且有人曾对我说过“对一件事情感兴趣是即使在没有任何外界压力下也依然孜孜不倦的去学习它,运用它”,这句话给了我很大的启发,我一直认为我对自动控制原理这一块有很大的兴趣并且认为自己要朝这方面发展,看样子我在这方面做得还是不够。这次课程设计完成了,我也完成了一篇课程设计报告,虽然说这篇报告质量不是很高,但这是我进入大学以来写的最长,写得最认真,写得最满意的一篇报告。通过完成这样一篇报告,为我今后发表论文打下了一个很好的基础.总而言之,这次课程设计让我懂得了许多许多,知识的重要性,理论与实践结合的
27、重要性以及独立解决问题的能力等等.这次课程设计时间没有浪费,是我进入大学以来最最充实的一个星期.参考文献：1胡寿松.自动控制原理（第四版）.北京：科学出版社，2000.6 2王万良.自动控制原理.高等教育出版社.2008 3王正林等著.matlab/Simulink 与控制系统仿真.电子工业出版社.2005 4樊京等著.matlab控制系统应用与实例.清华大学出版社.2008 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 20 附录 附录1 求P控制器闭环系统的特征根 num=7.5,7.5;den=1 5 1.5 7.5;p=roots（den);G=tf（num,den);武汉理工大学自动控制原
28、理课程设计说明书 21 pzmap(G)附录2 P控制器单位阶跃响应程序 num=1 1;den=conv(conv(1 0,1-1),1 6);G=tf(num,den);k=7.5,10,12;for i=1:3 S=feedback(k(i)*G,1);step(S)hold on end legend(k=7.5,k=10,k=12)附录3 P控制器单位阶跃响应的动态性能指标 num=10,10;den=1 5 4 10;step(num,den);sys=tf(num,den);LTIview 附录4 PI控制器中K=2,Ki=3时波特图 num=2 3;den=1 3 2 0;G=tf(num,den);bode(G)kg,r,wg,wc=magrin(G)附录5 PI控制器单位阶跃响应程序 k=2,2,1;ki=3 5 9;den=1 3 2;G=tf(1,den);for i=1:3 G1=tf(k(i),ki(i),1,0)S=feedback(G1*G,1);step(S)hold on end legend(k=2,ki=3,k=2,ki=5,k=1,ki=9)