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1、 中考数学复习圆专题复习教案课程 公司内部档案编码：OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08 中考数学专题复习六 几何（圆）【教学笔记】一、与圆有关的计算问题（重点）1、扇形面积的计算 扇形：扇形面积公式 213602n RSlR n：圆心角 R：扇形对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积 圆锥侧面展开图：（1）SSS侧表底=2Rrr（2）圆锥的体积：213Vr h 2、弧长的计算：弧长公式 180n Rl；3、角度的计算 二、圆的基本性质（重点）1、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径 2、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半；推论：（1）在同圆或等圆中
2、，同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）相等的圆周角所对的弧也相等。（3）半圆（直径）所对的圆周角是直角。（4）90的圆周角所对的弦是直径。注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。3、垂径定理定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论：（1）平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 （4）在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 三、圆与函数图象的综合 一、与圆有关的计算问题【例 1】（2016 资阳）在 RtABC 中
3、，ACB=90，AC=2，以点 B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交 AB 于点 D，若点 D 为 AB 的中点，则阴影部分的面积是（）A2 B4 C2 D【解答】解：D 为 AB 的中点，BC=BD=AB，A=30，B=60AC=2，BC=ACtan30=2=2，S阴影=SABCS扇形 CBD=22=2 故选 A【例 2】（2014 资阳）如图，扇形 AOB 中，半径 OA=2，AOB=120，C 是的中点，连接 AC、BC，则图中阴影部分面积是（）A2 B 2 C D 解答：连接 OC，AOB=120，C 为弧 AB 中点，AOC=BOC=60，OA=OC=OB=2，AOC、BOC 是等边
4、三角形，AC=BC=OA=2，AOC 的边 AC 上的高是=，BOC 边 BC 上的高为，阴影部分的面积是 2+2=2，故选 A 【例 3】（2013 资阳）钟面上的分针的长为 1，从 9 点到 9 点 30 分，分针在钟面上扫过的面积是（）A B C D 解答：从 9 点到 9 点 30 分分针扫过的扇形的圆心角是 180，则分针在钟面上扫过的面积是：=故选：A【例 4】（2015 成都）如图，正六边形ABCDEF内接于O，半径为 4，则这个正六边形的边心距OM和BC弧线的长分别为（）A2，3 B2 3，C3，23 D2 3，43 【课后练习】1、（2015 南充）如图，PA和PB是O的切线
5、，点A和B的切点，AC是O的直径，已知P=40，则ACB的大小是（B）A 40 B 60 C 70 D80 2、（2015 达州）如图，直径AB为 12 的半圆，绕A点逆时针旋转 60，此时点B旋转到点B，则图中阴影部分的面积是（B）A12 B24 C6 D36 3、（2015 内江）如图，在O的内接四边形ABCD中，AB是直径，BCD=120，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则ADP的度数为（）A40 B35 C30 D45 解析：连接 BD，DAB=180-C=50，AB 是直径，ADB=90，ABD=90-DAB=40，PD 是切线，ADP=B=40故选 A 4、（2015 自贡）如
6、图，AB是O的直径，弦CDAB，CDB30，CD32，则阴影部分的面积为 A2 B C3 D32 解析：BOD60 5、（2015 凉山州）如图，ABC 内接于O，OBC=40，则A 的度数为（）A80 B100 C110 D130 6、（2015 凉山州）将圆心角为 90，面积为 4cm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径（）A1cm B2cm C3cm D4cm 7、（2015 泸州）如图，PA、PB分别与O相切于A、B两点，若C=65，则P的度数为（）A65 B130 C50 D100 8、（2015 眉山）如图，O是ABC的外接圆，ACO=450，则B的度数为（）A30
7、0 B350 C400 D 450 9、（2015 巴中）如图，在O中，弦AC半径OB，BOC=50，则OAB的度数为（）A25 B50 C60 D30 10、（2015 攀枝花）如图，已知O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=3，CE=1，则图中阴影部分的面积为（）A2 39 B4 39 C29 D49 11、（2015 甘孜州）如图，已知扇形AOB的半径为 2，圆心角为 90，连接AB，则图中阴影部分的面积是（）A2 B4 C42 D44 12、（2015达州）已知正六边形ABCDEF的边心距为3cm，则正六边形的半径为 cm 13、（2015 自贡）如图，已知 AB 是O
8、 的一条直径，延长 AB 至 C 点，使AC=3BC，CD 与O 相切于 D 点若CD3，则劣弧AD的长为 14、（2015 遂宁）在半径 为 5cm的O中，45的圆心角所对的弧长为 cm 15、（2015 宜宾）如图，AB为O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切O于点C，点B是CF的中点，弦CF交AB于点E若O的半径为 2，则CF=16、（2015 泸州）用一个圆心角为 120，半径为 6 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 17、（2015 眉山）已知O的内接正六边形周长为 12cm，则这个圆的半经是_cm 18、（2015 广安）如图，ABC三点在O上，且AOB=7
9、0，则C=度 19、24（2015 巴中）圆心角为 60，半径为 4cm的扇形的弧长为 cm 20、（2015 甘孜州）如图，AB是O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则ABC的大小为 度 二、圆的基本性质【例 1】（2016 资阳）如图，在O 中，点 C 是直径 AB 延长线上一点，过点 C 作O 的切线，切点为 D，连结 BD（1）求证：A=BDC；（2）若 CM 平分ACD，且分别交 AD、BD 于点 M、N，当 DM=1 时，求 MN的长【解答】解：（1）如图，连接 OD，AB 为O 的直径，ADB=90，即A+ABD=90，又CD 与O 相切于点 D，CDB+ODB=90，OD=OB，
10、ABD=ODB，A=BDC；（2）CM 平分ACD，DCM=ACM，又A=BDC，A+ACM=BDC+DCM，即DMN=DNM，ADB=90，DM=1，DN=DM=1，MN=【例2】（2015资阳）如图11，在ABC中，BC是以AB为直径的O的切线，且O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE.（1）求证：DE是O的切线；（2）连接AE，若C=45，求 sinCAE的值.解答：解：（1）连接 OD，BD，OD=OB ODB=OBD AB 是直径，ADB=90，CDB=90 E 为 BC 的中点，DE=BE，EDB=EBD，ODB+EDB=OBD+EBD，即EDO=EBO BC是 以AB为 直
11、 径 的 O的 切 线，ABBC，EBO=90，ODE=90，DE 是O 的切线；（2）作 EFCD 于 F，设 EF=x C=45，CEF、ABC 都是等腰直角三角形，CF=EF=x，BE=CE=x，AB=BC=2x，在 RTABE 中，AE=x，sinCAE=【例 3】（2014 资阳）如图，AB 是O 的直径，过点 A 作O 的切线并在其上取一点 C，连接 OC 交O 于点 D，BD 的延长线交 AC 于 E，连接 AD（1）求证：CDECAD；（2）若 AB=2，AC=2，求 AE 的长 解答：（1）证明：AB 是O 的直径，ADB=90，B+BAD=90，AC 为O 的切线，BAAC
12、，BAC=90，即BAD+DAE=90，B=CAD，OB=OD，B=ODB，而ODB=CDE，B=CDE，CAD=CDE，而ECD=DCA，CDECAD；（2）解：AB=2，OA=1，在 RtAOC 中，AC=2，OC=3，CD=OCOD=31=2，CDECAD，=，即=，CE=【例 4】（2013 资阳）在O 中，AB 为直径，点 C 为圆上一点，将劣弧沿弦 AC翻折交 AB 于点 D，连结 CD（1）如图 1，若点 D 与圆心 O 重合，AC=2，求O 的半径 r；（2）如图 2，若点 D 与圆心 O 不重合，BAC=25，请直接写出DCA 的度数 解答：（1）如图，过点 O 作 OEAC
13、 于 E，则 AE=AC=2=1，翻折后点 D 与圆心 O 重合，OE=r，在 RtAOE 中，AO2=AE2+OE2，即 r2=12+（r）2，解得 r=；（2）连接 BC，AB 是直径，ACB=90，BAC=25，B=90BAC=9025=65，根据翻折的性质，所对的圆周角等于所对的圆周角，DCA=BA=6525=40【课后练习】1、（2015 达州）如图，AB为半圆O的在直径，AD、BC分别切O于A、B两点，CD切 O于 点E，连 接OD、OC，下 列 结 论：DOC=90，AD+BC=CD，22AODBOC:SSADAO，OD：OC=DE：EC，2ODDE CD，正确的有（）A2 个
14、B3 个 C4 个 D5 个 解析：如图，连接 OE，AD 与圆 O 相切，DC 与圆 O 相切，BC 与圆 O 相切，DAO=DEO=OBC=90，DA=DE，CE=CB，ADBC。CD=DE+EC=AD+BC。结论正确。在 RtADO 和 RtEDO 中，OD=OD，DA=DE，RtADORtEDO（HL）AOD=EOD。同理 RtCEORtCBO，EOC=BOC。又AOD+DOE+EOC+COB=180，2（DOE+EOC）=180，即DOC=90。结论正确。DOC=DEO=90。又EDO=ODC，EDOODC。，即OD2=DCDE。结论正确。而，结论错误。由 OD 不一定等于OC，结论
15、错误。正确的选项有。故选 A。2、（2015 遂宁）如图，在半径为 5cm的O中，弦AB=6cm，OCAB于点C，则OC=（）A3cm B4cm C5cm D6cm【解析】连接 OA，AB=6cm，OCAB 于点 C，AC=AB=6=3cm，O 的半径为 5cm，OC=4cm，故选 B 3、（2015 广元）如图，已知O的直径ABCD于点E则下列结论一定错误的是（）ACE=DE BAE=OE CBCBD DOCEODE 4、（2015 广元）如图，在O中，AB是直径，点D是O上一点，点C是AD的中点，弦CEAB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接
16、AC给出下列结论：BAD=ABC；GP=GD；点P是ACQ的外心 其中正确结论是_（只需填写序号）5、（2015 成都）如图，在RtABC中，ABC=90，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF=BCO是BEF的外接圆，EBF的平分线交EF于点G，交于点H，连接BD、FH（1）求证：ABCEBF；（2）试判断BD与O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=1，求HGHB的值 6、（2015 遂宁）如图，AB为O的直径，直线CD切O于点D，AMCD于点M，BNCD于N（1）求证：ADC=ABD；（2）求证：AD2=AMAB；（3）若AM=185，sinABD=35
17、，求线段BN的长 解答：（1）证明：连接 OD，直线 CD 切O 于点 D，CDO=90，AB 为O 的直径，ADB=90，1+2=2+3=90，1=3，OB=OD，3=4，ADC=ABD；（2）证 明：AMCD，AMD=ADB=90，1=4，ADMABD，AD2=AMAB；（3）解：sinABD=，sin1=，AM=，AD=6，AB=10，BD=8，BNCD，BND=90，DBN+BDN=1+BDN=90，DBN=1，sinNBD=，DN=，BN=7、（2015 宜宾）如图，CE是O的直径，BD切O于点D，DEBO，CE的延长线交BD于点A（1）求证：直线BC是O的切线；（2）若AE=2，t
18、anDEO=2，求AO的长 8、（2015 泸州）如图，ABC内接于O，AB=AC，BD为O的弦，且ABCD，过点A作O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若AE=6，CD=5，求OF的长 解答：（1）证明：AE 与O 相切于点 A，EAC=ABC，AB=AC，ABC=ACB，EAC=ACB，AEBC，ABCD，四边形 ABCE 是平行四边形；（2）解：如图，连接 AO，交 BC 于点 H，双向延长OF分别交 AB，CD 与点 N，M，AE 是O 的切线，由切割线定理得，AE2=ECDE，AE=6，CD=5，62=CE（CE+5），
19、解得：CE=4，（已舍去负数），由圆的对称性，知四边形 ABDC 是等腰梯形，且 AB=AC=BD=CE=4，又根据对称性和垂径定理，得 AO 垂直平分 BC，MN 垂直平分 AB，DC，设 OF=x，OH=Y，FH=z，AB=4，BC=6，CD=5，BF=BCFH=3z，DF=CF=BC+FH=3+z，易得OFHDMFBFN，即，?，+得：，得：，解得，x2=y2+z2，x=，OF=9、（2015 绵阳）如图，O是ABC的内心，BO的延长线和ABC的外接圆相交于点D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC为平行四边形（1）求证：BOCCDA；（2）若AB=2，求阴影部分的面积【解析】（1
20、）证明：O 是ABC 的内心，2=3，5=6，1=2，1=3，由 ADCO,AD=CO，4=5，4=6，BOCCDA（AAS）由（1）得，BC=AC,3=4=6，ABC=ACB，AB=AC ABC 是等边三角形，O 是ABC 的内心也是外心，OA=OB=OC 设 E 为 BD 与 AC 的交点，BE 垂直平分 AC.在 RtOCE 中，CE=AC=AB=1，OCE=30o，OA=OB=OC=.AOC=120o，.10、（2015 广元）如图，AB是O的弦，D为半径OA的中点过D作CDOA交弦AB于点E，交O于点F且CE=CB（1）求证：BC是O的切线；（2）连接AF、BF，求ABF的度数；（3
21、）如果CD=15，BE=10，sinA=513求O的半径 解：（1）证明：连接 OBOB=OA，CE=CB，A=OBA，CEB=ABC 又CDOAA+AED=A+CEB=90 OBA+ABC=90 OBBCBC 是O 的切线（2）连接 OF，AF，BF，DA=DO，CDOA，OAF 是 等 边 三 角 形，AOF=60 ABF=AOF=30 （3）过点 C 作 CGBE 于点 G，由 CE=CB，EG=BE=5 又 RtADERtCGE，sinECG=sinA=，CE=13 CG=12，又 CD=15，CE=13，DE=2，由Rt ADE Rt CGE得=，AD=CG=，O 的半径为 2AD=
22、11、（2015 广安）如图，PB为O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交O于点A，连接PA、AO，并延长AO交O于点E，与PB的延长线交于点D（1）求证：PA是O的切线；（2）若23OCAC，且OC=4，求PA的长和tanD的值 解：（1）证明：连接 OB，则 OA=OB，OPAB，AC=BC，OP 是 AB 的垂直平分线，PA=PB，在PAO 和PBO 中，PAPBPOPOOAOB，PAOPBO（SSS）PBO=PAO，PB=PA，2+OC2=213，AE=2OA=413，OB=OA=213，在 RtAPO 中，ACOP，AC2=OCPC，解得：PC=9，OP=PC+OC=
23、13，在 RtAPO 中，由勾股定理得：AP=OP2-OA2=313，PB=PA=PB 为O 的切线，B 为切点，PBO=90，PAO=90，即PAOA，PA 是O 的切线；（2）连接 BE，OCAC=23，且 OC=4，AC=6，AB=12，在 RtACO 中，由勾股定理得：AO=AC13，AC=BC，OA=OE，OC=12BE，OCBE，BE=2OC=8，BEOP，DBEDPO，BDPDBEOP，12、（2015 巴中）如图，AB是O的直径，OD弦BC于点F，交O于点E，连结CE、AE、CD，若AEC=ODC（1）求证：直线CD为O的切线；（2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长 解：（
24、1）证明：连接 OC，CEA=CBA，AEC=ODC，CBA=ODC，又 CFD=BFO，DCB=BOF，CO=BO，OCF=B，B+BOF=90，OCF+DCB=90，直线 CD 为O 的切线；（2）解：连接 AC，AB 是O 的直径，ACB=90，DCO=ACB，又D=B，OCDACB，ACB=90，AB=5，BC=4，AC=3，=，即=，解得；DC=三、圆与函数图象的综合【例 1】（2015?资阳）如图4，AD、BC是O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿OCDO的路线匀速运动，设APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（）解答：（1）当点 P 沿 OC
25、 运动时，当点 P 在点 O 的位置时，y=90，当点 P在点 C 的位置时，OA=OC，y=45，y 由 90逐渐减小到 45；（2）当点 P 沿 CD 运动时，根据圆周角定理，可得 y902=45；（3）当点 P 沿 DO 运动时，当点 P 在点 D 的位置时，y=45，当点 P 在点 0的位置时，y=90，y 由 45逐渐增加到 90故选：B【例 2】(2013 年四川巴中)如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(4,0)，B点坐标为(1,0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作P交y轴的正半轴于点C.(1)求经过A，B，C三点的抛物线所对应的函数解析式；(2)设M为(1)中
26、抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；(3)试说明直线MC与P的位置关系，并证明你的结论 解：（1）A（4，0），B（1，0），AB=5，半径是 PC=PB=PA=。OP=。在CPO 中，由勾股定理得：。C（0，2）。设经过 A、B、C 三点抛物线解析式是，把 C（0，2）代入得：，。经过 A、B、C 三点抛物线解析式是，（2），M。设直线 MC 对应函数表达式是 y=kx+b，把 C（0，2），M代入得：，解得。直线 MC 对应函数表达式是。（3）MC 与P 的位置关系是相切。证明如下：设直线 MC 交 x 轴于 D，当 y=0 时，OD=。D（，0）。在COD 中，由勾股定理得：，又，
27、CD2+PC2=PD2?。PCD=900，即PCDC。PC 为半径，MC 与P 的位置关系是相切。【课后作业】一、选择题(每小题 3 分，共 24 分)1.如图，已知 A，B，C 在O 上，下列选项中与AOB 相等的是（）A 2C B 4B C 4A D BC 2.如图，已知 AB 是ABC 外接圆的直径，A35，则B 的度数是（）A35 B 45 C55 D65 3.如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 M，下列结论不成立的是（）ACMDM BCBDB CACDADC DOMMD 4如图，已知O 的半径为 13，弦 AB 长为 24，则点 O 到 AB 的距离是（）A 6 B5 C
28、 4 D3 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 5.已知O的半径为 6，圆心到直线l的距离为 8，则直线l与O的位置关系是()A相交 B相切 C相离 D无法确定 6.圆锥底面圆的半径为 3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（）A3cm B6cm C9cm D12cm 7如图，RtABC 中，ACB90，AC4，BC6，以斜边 AB 上的一点 O 为圆心所作的半圆分别与 AC、BC 相切于点 D、E，则 AD 的长为（）A B C D 1 8.如图，直线333yx与 x 轴、y 分别相交与 A、B 两点，圆心 P 的坐标为（1，0），圆 P 与 y 轴相切与点 O.若将
29、圆 P 沿 x 轴向左移动，当圆 P 与该直线相交时，横坐标为整数的点 P的个数是（）A2 B3 C4 第 7 题图 第 8 题图 二、填空题：(每小题 3 分，共 24 分)9.如图，AB为O的直径，CD为O的弦，25ACD，则BAD的度数为 .10.如图，在ABC 中A25，以点 C 为圆心，BC 为半径的圆交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，则的度数为 11.如图，ABC的一边AB是O的直径，请你添加一个条件，使BC是O的切线,你所添加的条件为 .第 9 题图 第 10 题图 第 11 题图 12.如果圆锥的底面周长是 20，侧面展开后所得的扇形的圆心角为 120，则圆锥的母线长是
30、13.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为 2 的“等边扇形”的面积为 .14.如图，AB 为O 的直径，CDAB，若 AB10,CD8，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 .15.如图，A、B、C 两两外切，它们的半径都是 a，顺次连接三个圆心得到ABC,则图中阴影部分的面积之和是 .16.如图，直线 l 与半径为 4 的O 相切于点 A，P 是O 上的一个动点（不与点 A 重合），过点 P 作 PBl，垂足为 B，连接 PA设 PAx，PBy，则（xy）的最大值是 第 14 题图 第 15 题图 第 16 题图 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 52 分
31、）：17.（本题 4 分）如图，圆弧形桥拱的跨度12AB 米，拱高4CD 米，试求拱桥的半径.18（本题 4 分）如图，已知 AB 是O 的直径，CD 是弦，且 CDAB，BC6，AC8，求 sinABD 的值.19.（满分 6 分）如图，已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点 C，D .求证：ACBD；.若大圆的半径 R10，小圆的半径 r8，且圆 O 到直线 AB 的距离为 6，求AC 的长 20.（本题 6 分）如图，以ABC 的一边 AB 为直径作O，O 与 BC 边的交点恰好为 BC 的中点 D，过点 D 作O 的切线交 AC 于点 E.求证：DEAC；.若
32、AB3DE，求 tanACB 的值 21.（本题 6 分）如图，AB 是O 的直径，点 E 是上的一点，DBCBED.求证：BC 是O 的切线；.已知 AD3，CD2，求 BC 的长 22.（本题 8 分）已知：如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，过点 C 的切线与直径 AB 的延长线相交于点 P，连结 PD.求证：PD 是O 的切线.求证：2PDPBPA.若 PD4，1tan2CDB，求直径 AB 的长 23.（本题 8 分）已知：AB 是O 的直径，直线 CP 切O 于点 C，过点 B 作 BDCP 于 D .求证：ACBCDB；.若O 的半径为 1，BCP30，求图中阴影部分的面积
33、24.（本题 10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（8,0），B（0，6），圆 M 经过原点 O 及点 A、B.求圆 M 的半径及圆心 M 的坐标；.过点 B 作圆 M 的切线l，求直线l的解析式；.BOA 的平分线交 AB 于点 N，交圆 M 于点 E，求点 N 的坐标和线段 OE 的长.A B E M N O x y 【参考答案】18:ACDB CBBB；9.065；10.050；11.ABBC；12.30；13.2；15.212a；17.米；18.4sinsin5ABDABC。19.(1).证明过程略；(2).82 7AC；20.(1).证明过程略；(2).35tan2ACB；21.（1）AB 是O 的直径，得ADB90，从而得出BADDBC，即ABC90，即可证明 BC 是O 的切线；（2）可证明ABCBDC，则，即可得出 BC；22.（1）连接 OD、OC，证PDOPCO，求出PDO90即可；（2）求出AADOPDB，根据相似三角形的判定推出PDBPAD，得出比例式，即可得出答案；（3）根据相似得出比例式，代入即可求出答案 AB=6;23.（1）证明过程略；（2）233S阴影；24.5(43)AMM，,.可证463yx；(3).24 24(,),7 277NOE。