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1、精品_精品资料_第四节解三角形考纲解读把握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简洁的三角形度量问题.能够运用正弦定理、 余弦定理等学问和方法解决一些与测量和几何运算有关的实际问题 .命题趋势探究1. 本节为高考的必考和重点考查内容,在选择题、填空题和解答题中都有显现, 并越来越成为三角函数部分的核心考点.2. 题型有三：一是解三角形显现边角互化求角、求边.二是三角形形状判定.三是最值问题 .题型和分值较稳固,且有逐步上升趋势,属中等难度.学问点精讲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 ABC 中,角1. 角的关系A, B,C 所对边依次为a, b, c.可编辑资料 - - - 欢迎下
2、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABC180 ,sin Asin BCcos AcosBC , tan Atan BC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABCABCsincos,cossin.22222. 正弦定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abc2 R2 R 为 ABC 的外接圆的直径 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin Bsin C正弦定理的应用：已知两角及一边求解三角形 .已知两边及其中一边的对角,求另一对角：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 ab, 已知角求角 .
3、sin B1, 无解1,B.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,两解（一锐角、一钝角）假设 ab, 已知角求角,一解锐角.3. 余弦定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c2a 2b 22ab cos C 已知两边 a,b 及夹角求第三边 c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2cos Ca2b 22abc已知三边求角 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_余弦定理的应用：已知两边及夹角求解第三边.已知三边求角.已知两边及一边对角不熟第三边 .4. 三角形面积公式1111可编辑资料 - -
4、- 欢迎下载精品_精品资料_S ABCahab sin Cbc sin Aac sin B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型归纳及思路提示题型 67正弦定理的应用思路提示1已知两角及一边求解三角形.2已知两边一对角. .大角求小角一解（锐）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两解sin A（1 一锐角、一钝角）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小角求大角一解无解sin A sin A1（直角）1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3两边一对角,求第三边 .一、利用正弦定懂得三角形例
5、 4.39已知ABC 中, cos A5 ,sin B3 , a1 求cos C 及边长 c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_135分析 已知两角及一边用正弦定理 .解析 由于 A, B, C 为 ABC 的内角,所以有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos Ccos AB cosABcos A cos BsinA sin B. 由于 A0, 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos A5130, 所以 A0,2sin A12 . 由此知 sin A 13sin B0, 据正弦定理得可编辑资料 - -
6、 - 欢迎下载精品_精品资料_ab 所以A B, 因此 B0, 且sin B 23 ,得 cos B4 ,55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故cos C5412316 . 因此sin C1351356563 .65可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由正弦定理得ca, 得ca sin C1636521 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Csin Asin A122013可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注 此题已知两角及一边,用正弦定理：在ABC 中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABabsin Asin
7、B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 1在 ABC 中,角A, B,C 所对边依次为a,b, c, a2, b2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Bcos B2, 就角的大小为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4.40在 ABC 中,角A, B,C 所对边依次为a,b, c,B30 , c6, 记bfa .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
8、_精品资料_假设函数.g af ak k 是常数只有一个零点,就实数k 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. k 0k3 或k6B. k 3k6C. k k6D. k k6 或k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析 三角形问题第一依据题意画出三角形,的最小值为 边的垂线段, 再依据零点的意义及函数求解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析由 g af ak0, 且bfa . ,得kf ab, 如图 4 34 所示,由可编辑资料 - -
9、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B30 , c6, 知边和的最小值为c sin B3, 唯独的 aBC 符合f ak可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即假设 k3, 就f ab3, 此时存在函数g a 有唯独零点, 假设 3k6 时,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f ab3,6,此时以点为圆心, b 边为半径的圆与边及延长线有两个交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
10、料_点 C1, C2, 如 图 4 34所示 , 就 存在 两 个 a 值 a1BC1, a2BC 2 , 使 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_gaf ak 有两个零点 . 假设 k6 时,就f ab6, 就以点为圆心, b 边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为半径的圆与边及延长线除点外可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_只有一个交点C3 ,使得aBC3 ,故函数g a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有唯独零点 . 综上,实数 k 的取值范畴为 k3或k6. 应选 .评注三角形问题一般
11、先依据题意作出图形,抓住已知量, 充分想到三角形的边角关系及正弦定理, 并尽可能转化和构造直角三角形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 1 1在 ABC 中,已知角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 且b32, a2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如三角形有解,就角A的取值范畴是;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2在 ABC 中,已知角A, B,C 所对的边分别为a, b, c, 且b1,a2, 假如三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有解,就角 B 的取值范畴是;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
12、资料_3在ABC 中,已知角A, B, C 所对的边分别为a,b, c, 且 a23, c3, 假如三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角形有解,就角 C的取值范畴是.二、利用正弦定理进行边角转化例 4.41在 ABC 中,假设 A=2B,就 a 的取值范畴为.b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.1,2B.1,3C.2, 2D.2,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析 题中有边与角的关系及角的范畴, 可考虑用正弦定理转化为角的关系, 再由角的范畴来定边的范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 由正弦定理知 asin Asi
13、n 2B2cosB,且 AB0, 即 03B得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bsin BsinB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0B,因此3cos B1 a,1, 所以2 b1,2.应选 A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注 在 ABC 中,利用正弦定理abc2 R ,进行边与角的转化,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin Bsin C在条件中有边也有角时, 一般考虑统一成边或角的形式, 再由两角和与差的公式来求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 1 1假设在锐角 ABC 中,假设 A=2B
14、,就 a 的取值范畴为;b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设在直角 ABC 中,假设 A=2B,就 ab3假设在钝角 ABC 中,假设 A=2B,就 ab的取值集合为;的取值集合为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 2在 ABC 中, B60 , AC3 ,就 AB+2BC的最大值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 32022 课标全国理 17已知a, b, c, 分别为ABC 三个内角A, B, C 的对边,可编辑资料 - - - 欢迎
15、下载精品_精品资料_a cosC3a sin cbc0 ,1求 A.2假设 a2 , ABC 的面积为 3 ,求 b, c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 4 2022 江西理 17在 ABC 中,角A, B,C 的对边分别为a, b, c, 已知 A,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b sin4Cc sin 4Ba,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求证： BC; 2假设 a22 ,求 ABC 的面积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
16、精品资料_题型 68余弦定理的应用思路提示(1) 已知两边一夹角或两边及一对角,求第三边.(2) 已知三边求角或已知三边判定三角形的形状,先求最大角的余弦值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设余弦值0, 就0, 就0, 就ABC ABC ABC为锐角三角形 为直角三角形 . 为钝角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、利用余弦定懂得三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4.42在ABC 中, b1,c3,C23 ,就 a=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B .分析 已知两边一对角,求第三边用余弦定理,求另一对角用正弦定
17、理.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析由余弦定理得, c2a 2b22ab cosC ,得 3a212a1 ,即2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2a2 0 ,且 a0 ,故 a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bc131可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由正弦定理得,sin Bsin C ,即sin B3 ,得2sin B2 ,又可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bcBC,就B30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 1 在ABC 中, a的值.
18、3,b26,B2A, , 1求cos A 的值.2求 c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 2 2022 北京理11在ABC 中,假设 a2, bc7,cos B14, ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b .变式 32022 福建理 13已知ABC 的三边长成公比为2 的等比数列,就其最大角的余弦值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4.432022 陕西理 9在 ABC 中,角A, B, C 所对边的长分别为a, b, c, 假设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a 2b2c2 ,就 cos C 的最小值为.可编辑资料
19、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32A. B.22a 2b2c211C.D.22c2c2c21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解析 由于 cos C2ab2aba 2b2c2当且仅当 ab 时取“ =”,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 cos C 的最小值为 1 . 应选 C.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 1 在 ABC 中,角取值范畴 .A, B,C 所对边分别为a,b,c, 假设 ac1.B30 ,求b 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 2 在 ABC 中,角最大值.A, B, C 所对边分别为
20、a, b,c, 假设 b4.B60 , ,求 SABC 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、利用余弦定理进行边角转化例 4.44 在 ABC 中,角 A, B,C 所对边分别为就角 B 的值为.a,b,c, 假设 a 2c2b2 tan B3ac,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. B.63C. 5 6 6D. 2 3 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 边化角已知等式可变化为a 2c2 2acb23tan B2, 就cos Bsin B cos B3 , 得2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin B3 , B0, 所以
21、 B或 2. 应选 D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变 式1在ABC中 , 角A, B,C所 对 边 分 别 为a,b,c,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a sin A2bcsin B2cbsin C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求 A 的值.2求 sin B+sin C 的最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 2 在锐角三角形中,角A, B, C 所对边分别为a,b, c, 假设b + a =6cosC ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
22、资料_tanC + tan Cab=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan Atan B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 3 在 ABC 中,角A, B, C 所对边分别为a, b, c, 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2 -c2=2 b,sinA cos C =3cosA sin C ,求 b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 69判定三角形的形状思路提示1求最大角的余弦,判定ABC 是锐角、直角仍是钝角三角形 .2用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角
23、,判定是等腰、等边仍是直角三角形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4.45在 ABC 中,假设 sin C =2cosAsinB ,就此三角形必为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形分析 角化边或 sin C =sin A+B .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 解法一：角化边 .cb2 +c2a 2b=2c2b 2c2a 2ba ,就三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2R角形为等腰三角形,应选 A.解法二：由于 sin C =sin A+ B ,2bc2 R
24、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 sinA cos Bcos A sin B2cosAsinB sinA cos Bcos Asin B0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin AB0, ABk角形,应选 A.kZ , A, B0,k0AB ,就三角形为等腰三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变 式 1设ABC的 内 角 为A, B,C所 对 边 分 别 为a,b,c,假 设可编辑资料 - - -
25、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b cos Cc cos Ba sin A,就 ABC 的形状为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形 D.不确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 22022 上海理 16在ABC 中,假设sin2 Asin 2 Bsin 2 C ,就 ABC 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形状为.A. 锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 3 已知 ABC 中, cos2Abc2
26、2c,就ABC 的形状为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形C.正三角形 D.等腰直角三角形22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 41已知函数f xcos x23 sin x cos xsinx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 f x的最小正周期和值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2在ABC 中,角断 ABC 的形状.A, B,C 所对边分别为a, b, c, 假设f A2 且 a
27、2 2bc ,试判可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 70正、余弦定理与的综合思路提示先利用平面对量的有关学问如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式, 再利用三角函数转化求解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4.46 在 ABC 中,角A, B, C 所对边分别为a, b, c, 且ABACBABC1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求证：AB;2求边长 c 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3假设ABAC6 ,求 AB
28、C 的面积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析3中 ABAC 为ABCD 对角线 AD长,由平行四边形对角线性质可求出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AC=BC,设 AB中点为 M, SABC1 AB CM2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 1利用数量积定义,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bc cos AaccosB1bcos Bsin Btan Atan BA B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_acos Asin A 2 如图 4-35所示, 取等 腰三 角形 AB 边上的中线即 高线 CM, 就可编辑
29、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AMb cos Ac . ABACcbcos Acc1 ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故c2. 或 AMc2 是 AC 在 AB 方向上的投影,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由向量数量积的几何意义可知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABACABAM1 c221. 故c2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 如图 4-35 所示, ABCD 中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABACAD6,在 ABD 中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑
30、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BDab, AD 2c2a 22 a cosA, 在 ABC 中,BC2b 2c22bc cos A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6c2a2b2a22ac cos Ac22bc cos A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 +得 a 262c22a 2a262c22, a2, 即 abc2 ,在等边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABC 中, S1 ab si
31、n C12233 或S3 a 23 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABC2222ABC42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注 +得平行四边形公式：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方和,即在ABCD 中,AD 2BC 22 AB 22 AC2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 12022 湖南理 7在 ABC 中,AB2, AC3, ABBC1,就 BC=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 3B. 7C.22D.23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
32、变式 2 在 ABC 中,角A, B, C 所对边分别为a, b, c, A,13 c62b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 求 C. 2假设CB CA13 ,求a, b, c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 3 在 ABC 中,角A, B, C 所对边分别为a, b, c, 且cos A25 , ABAC3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求 ABC 的面积.2 bc256 ,求 a 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 4 在 ABC 中,角A, B, C 所对边分别为a, b, c, 且bcosC3a
33、cosBccosB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求 cos B的值.2假设题型 71 解三角形的实际应用思路提示BA BC2, 且b22 ,求 a 和c 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据题意画出图形, 将题设已知、 未知显示在图形中, 建立已知、未知关系, 利用三角学问求解 .例 4.47如图 4-36 所示, 游客从某旅行景区的景点 A 处下山至 C处有两种路径 .一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A沿索道乘缆车到 B,然后从 B沿直线步行到 C,现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC匀速步行,速度为 50m/min, 在甲动
34、身 2min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B处停留 1min 后,再从 B处匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为了130m/min,山路 AC长为 1260m,经测量,cos A12 ,cos C3 .1351求索道 AB的长.2问乙动身多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短？3为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过 3分钟,乙步行的速度应把握在什么范畴内？分析 1cos A,cos C 的值可求得 sin B 的值,然后在ABC 中利用正弦定理可得AB 的长度.2利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为动身时间的函数,然后求得函数的最小值,即得最短距离. 3利用正弦定理求出 BC的长,再依据题意列不等式求解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载