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1、精品_精品资料_高中数学典型例题分析第十章导数及其应用 10.1 导数及其运算一、学问导学1. 瞬时变化率： 设函数 yf x 在 x0 邻近有定义, 当自变量在 xx0 邻近转变量为x时,函数值相应的转变yf x0xf x ,假如当x 趋近于 0 时,平均变化率yxf x0xxf x0 趋近于一个常数 c也就是说平均变化率与某个常数c 的差的绝对值越来越小, 可以小于任意小的正数 ,那么常数 c 称为函数f x 在点 x0 的瞬时变化率.2. 导数：当x 趋近于零时,f x0xxf x0 趋近于常数 c.可用符号“”记作：当x0 时,f x0xf x0 c 或记作 limf x0xf x0
2、c ,符号xx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“”读作“趋近于” .函数在x0 的瞬时变化率,通常称作f x 在 xx0 处的导数,并记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作 f x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 导函数：假如f x在开区间a, b 内每一点 x 都是可导的, 就称f x 在区间a,b 可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_导.这样, 对开区间a,b 内每个值 x ,都对应一个确定的导数f x .于是,在区间a,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
3、_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_内, f x 构成一个新的函数, 我们把这个函数称为函数yf x 的导函数. 记为f x 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 或 y x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 导数的四就运算法就： 1函数和或差的求导法就：设f x, g x是可导的,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 f xg xf xg x 即, 两个函数的和 或差的导数,等于这两个函数的导可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数的和或差 .可编辑资料 - - - 欢
4、迎下载精品_精品资料_2函数积的求导法就：设f x, g x是可导的,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xg xf x g xf x g x即,两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_乘上其次个函数,加上第一个函数乘其次个函数的导数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3函数的商的求导法就：设f x ,g x 是可导的,gx0 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
5、品资料_f xg x f xf x gx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g xg 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 复合函数的导数 : 设函数 ux 在点 x 处有导数 uxx , 函数 yf u 在点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 的对应点 u 处有导数 yuf u , 就复合函数 yf x在点 x 处有导数 , 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yxyuu x .6. 几种常见函数的导数：可编辑资料 - - - 欢迎下
6、载精品_精品资料_(1) C0C为常数 2（ xn）nx n 1 nQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a3sin xcosx4cos xsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5ln x1 x6log a x1 loge x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 7 ex ex8a x a x ln a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、疑难学问导析1. 导数的实质是函数值相对于自变量的变化率
7、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 运用复合函数的求导法就y xyuux , 应留意以下几点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1利用复合函数求导法就求导后, 要把中间变量换成自变量的函数, 层层求导 .(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导,不能混淆, 始终运算到最终, 常可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_显现如下错误,如cos 2 xsin2 x 实际上应是2sin 2x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 求复合函数的导数,关键在于分清晰函数的复合关系,选好中间变量,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
8、资料_y113x 4选成 y1 , uuv4 ,v1w, w3x 运算起来就复杂了.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 导数的几何意义与物理意义导数的几何意义,通常指曲线的切线斜率. 导数的物理意义,通常是指物体运动的瞬时速度. 对导数的几何意义与物理意义的懂得,有助于对抽象的导数定义的熟悉,应赐予足够的重视.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. f x0 与fx的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 表示f x在xx0 处的导数, 即 f x0 是函数在某一点的导数.f x 表示函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑
9、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 f x 在某给定区间a,b 内的导函数,此时f x 是在 a, b 上 x 的函数,即f x 是在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a,b内任一点的导数.5. 导数与连续的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设函数 yf x 在 x0 处可导, 就此函数在点x0 处连续, 但逆命题不成立, 即函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x 在点x0 处连续, 未必在x0 点可导, 也就是说, 连续性是函数具有可导性的必可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
10、_精品资料_要条件,而不是充分条件.6. 可以利用导数求曲线的切线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于函数 yf x 在 xx0 处的导数,表示曲线在点Px0 , f x0 处切线的斜可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_率,因此,曲线 yf x 在点P x0 ,f x0 处的切线方程可如下求得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求出函数 yf x 在点 xx0 处的导数,即曲线yf x 在点Px0 ,f x0 处可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
11、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_切线的斜率.2在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为： yy0f x0 xx0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如曲线 yf x 在点P x0 ,f x0 的切线平行于 y 轴此时导数不存在时,由切线定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_义可知,切线方程为xx0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、经典例题导讲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 1 已知 y1cos
12、2 x2 , 就 y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 2 已知函数f x1 x221 x21 x1 x1判定 fx在 x=1 处是否可导？1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 分段函数在 “分界点” 处的导数,须依据定义来判定是否可导.左右极限是否可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_存在且相等.点评： 函数在某一点的导数,是一个极限值,即limx0f x0xf x0 x, x 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_包括 x 0,与
13、x 0,因此,在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时,要验可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证其左、右极限是否存在且相等,假如都存在且相等,才能判定这点存在导数,否就不存在导数 . 例 3 求 y2 x 23 在点 P1,5 和Q 2,9 处的切线方程.分析： 点 P 在函数的曲线上,因此过点P 的切线的斜率就是y 在 x1处的函数值.点 Q 不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线点评 ： 要留意所给的点是否是切点假设是,可以直接采纳求导数的方法求.不是就需设出切点坐标 例 4 求证：函数yx1图象上的各点处切线的斜率小于x1,并求出其斜率为 0
14、 的切线方程 .分析： 由导数的几何意义知, 要证函数yx1 的图象上各点处切线的斜率都小于x1,只要证它的导函数的函数值都小于1,因此,应先对函数求导后,再进行论证与求解. 例 5 02 年高考试题已知a0 ,函数 f xx3a , x0,设 x10 ,记曲线 yf x 在点 M x1, f x1 处的切线为l .1求 l的方程.2设 l与 x 轴交点为1 x2 ,0 ,求证：11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x2a 3 .假设x1a 3 ,就 a 3x2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 此题考查导数的几何意义,利用其求出切线斜率,导出切线方程.
15、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 6 求抛物线yx 2 上的点到直线xy20 的最短距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 可设Px, x2 为抛物线上任意一点,就可把点P 到直线的距离表示为自变量x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的函数,然后求函数最小值即可,另外,也可把直线向靠近抛物线方向平移,当直线与抛物可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线相切时的切点到直线xy20 的距离即为此题所求 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、典型习题导练可编辑资料 -
16、- - 欢迎下载精品_精品资料_1. 函数 yf x 在xx0 处不行导,就过点P x0 ,f x0 处,曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x 的切线 DA必不存在B必定存在 C 必与 x 轴垂直D不同于上面结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. yx3x23在点 x=3 处的导数是 -1/6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 已知f xax33x22 ,假设 f 14 ,就 a 的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ .4. 已知 P 1,1,Q2,4是曲线 yx2 上的两点, 就与直线 PQ可编辑资料 - - -
17、 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平行的曲线 yx 2 的切线方程是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 假如曲线 yx3x10 的某一切线与直线 y4 x3 平行,求切点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_坐标与切线方程 .6. 假设过两抛物线 yx22 x2 和 yx 2axb 的一个交点为 P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的两条切线相互垂直 . 求证：抛物线
18、yx2axb 过定点 Q ,并求出定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点Q 的坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 10.2 导数的应用一、 学问导学1. 可导函数的极值1极值的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设函数f x 在点x0 邻近有定义,且假设对x0 邻近的全部的点都有f xf x0 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x0 ,就称f x0 为函数的一个极大小值,称x0 为极大小值点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载
19、精品_精品资料_2求可导函数f x极值的步骤 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求导数f x .求方程f x0 的根 .求方程f / x0 的根.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_检验f x 在方程f x0 的根的左右的符号,假如在根的左侧邻近为正,右可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_侧邻近为负,那么函数yf x 在这个根处取得极大值.假如在根的右侧邻近为正,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_左侧邻近为负,那么函数yf x 在这个根处取得微小
20、值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 函数的最大值和最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1设 yf x 是定义在区间a,b上的函数, yf x 在 a, b 内有导数,求函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x 在a, b上的最大值与最小值,可分两步进行.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 yf x 在 a, b 内的极值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 yf x 在各极值点的极值与f a 、f b 比较, 其中最大的一个为最大值,可编辑资料 - -
21、- 欢迎下载精品_精品资料_最小的一个为最小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设函数f x 在a, b上单调增加,就f a为函数的最小值,f b 为函数的最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_大值.假设函数f x 在a,b上单调递减,就f a 为函数的最大值,f b 为函数的最小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、疑难学问导析1. 在求可导函数的极值时, 应留意：以下将导函数f x 取值为 0 的点称为函数f x可编辑资料 - - - 欢迎下载
22、精品_精品资料_的驻点可导函数的极值点肯定是它的驻点,留意肯定要是可导函数.例如函数y| x |在点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0处有微小值f 0 =0,可是这里的f 0 根本不存在,所以点x0 不是f x的驻点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点,也可能不是极值点.例如函数f xx 的导可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 f x3x 2 ,在点 x0 处有f 00 ,即点 x0 是 f xx3 的驻点,但从
23、f x 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,上为增函数可知,点x0 不是f x的极值点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 求一个可导函数的极值时, 经常把驻点邻近的函数值的争论情形列成表格,这样可使函数在各单调区间的增减情形一目了然.(3) 在求实际问题中的最大值和最小值时,一般是先找出自变量、 因变量, 建立函数关系式,并确定其定义域. 假如定义域是一个开区间,函数在定义域内可导其实只要是初等函数,它在自己的定义域内必定可导,并且按常理分析,此函数在这一开区间内应当有最大小值假如定义域是闭区间, 那么只要函数在此闭区间上连续,它就肯定有最大 小. 记住
24、这个定理很有好处 ,然后通过对函数求导,发觉定义域内只有一个驻点,那么立刻可以肯定在这个驻点处的函数值就是最大小值.三、经典例题导讲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 1 已知曲线S : y2 x 33x 24x及点P0,0 ,求过点 P 的曲线 S的切线方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 2 已知函数f xax 33x 2x1 在 R上是减函数,求 a 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 3 当 x0,证明不等式x1xln
25、1xx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评： 由题意构造出两个函数f xln x1x, g x1xln x1x . 利用导可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数求函数的单调区间,从而导出f xf 0 及g xg0 是解决此题的关键.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 4 设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为 B. 铁路线上距离 B 为 100km处有一原料供应站 C,现要在铁路 BC之间某处 D 修建一个原料中转车站 , 再由车站 D 向工厂修一条大路. 假如已知每千米的铁路运费与大路运费之比
26、为3:5, 那么,D 应选在何处 , 才能使原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 52022 年四川函数f x3x 33ax1, g xf xax5 ,其中f x 是f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的导函数 . 1对满意 1 a 1 的一切 a 的值,都有g x 0,求实数 x 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设 a m2 ,当实数 m 在什么范畴内变化时, 函数 y f x 的图象与
27、直线 y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 只有一个公共点 . 例 6 假设电灯 B 可在桌面上一点 O的垂线上移动, 桌面上有与点 O距离为 a 的另一点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A,问电灯与点 0 的距离怎样, 可使点 A 处有最大的照度？ BAO, BAr , 照度与 sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2成正比,与r成反比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3分析： 如图,由光学学问,照度y 与 sin成正比,与r 2 成
28、反比,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 yCsinr2 C 是与灯光强度有关的常数要想点A 处有最大的照度,只需求y 的极值就可以了 .四、典型习题导练1已知函数 f x3ax2a1 x22 ,假设 x1 是 yf x 的一个极值点,就a 值为A2B.-2C.27D.42. 已知函数 f xx3ax2bxa 2 在 x1处有极值为 10,就f 2 =.3给出以下三对函数： f x1 , g x xx 1 f xax 2 a0 ,g xxa f x 13 x , g xlogx .其中有且只有一对函数 “既互为反函数,又同是各自定义域上的递增函数” ,就这样的两个函数的导函数分
29、别是f x, g x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知函数范畴.f xx33ax 23a2 x1有极大值和微小值,求 a 的取值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 已知抛物线 yx22 ,过其上一点 P 引抛物线的切线 l ,使l 与两坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴在第一象限围成的三角形的面积最小,求l 的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 设 g y1x 24 xy 3y4 在 y1,0上的最大值为f x , xR ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
30、_精品资料_1求f x 的表达式.2求f x的最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10.3 定积分与微积分基本定理一、学问导学可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 可微： 假设函数 yf x 在 x0 的增量x 可以表示为x 的线性函数A x A 是常可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数与较x 高阶的无穷小量之和 :yA xox 1, 就称函数 f 在点x0 可微, 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中的 Ax 称为函数f 在点x0
31、 的微分,记作dy x xA x 或 df x x xA x . 函数f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00在点 x0 可微的充要条件是函数f x在 x0 可导,这时 1式中的 A 等于 f x0 . 假设函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x 在区间 I 上每点都可微, 就称f x为 I 上的可微函数 . 函数 yf x 在 I 上的微可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分记作 dyf xx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2
32、. 微积分基本定理：假如F xf x ,且f x在 a,b 上可积 . 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf x dxaF bF a . 其中F x 叫做f x的一个原函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 F xcf x , F xc 也是f x的原函数,其中 c 为常数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、疑难学问导析1 . 定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤,这里包含着很重要的数学思想方法,只有对定积分的定义过程明白了,才能把握定积分的应用.1一般情形下,对于区间的分割是任意的,只要求分割的小区间的长度的最大者趋近于 0,这样全部的小区间的长度才能都趋近于0,但有的时候为明白题的便利,我们挑选可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将区间等份成 n 份,这样只要 2 其中的使 1n0 就可以了 .可编辑资料 - - - 欢迎下