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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -“三角变换与解三角形”的技巧性应用湖南津市一中周毅三角变换与解三角形是高中数学考试的必考内容,而且是这几年考试的热点跟增长点,无论是期中、期末仍是会考、高考,都是高中数学的必考内容之一.因此,我们特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了详细的解题技巧和方法,期望能起到抛砖引玉的作用. 一、三角变换及求值考情聚焦： 1利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容.2 该类问题出题背景挑选面广,解答题中易显现与新学问的交汇题.3 该类题目在挑选、填空、解答题中都有可能显现,属中、低档题.解题技巧
2、：1 在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时,常用到如下变形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） 1sinsin2cos2 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）角的变换 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）asinb cosabsin .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222 利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题,常见有以下三种类型：（ 1）“给角求值” ,即在不查表的前提下,通过三角恒等变换求三角函数式的值.（ 2）“给值求值” ,即给出一些三角函数值,求与之有关的其他三角函数式的值.（ 3）“给值求
3、角” ,即给出三角函数值,求符合条件的角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1： 已知向量 msinA,cos A, n1,2 , 且 mn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 求 tan A 的值. 求函数f xcos 2xtan A sinx xR 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：（）由题意得m n=sinA-2cosA=0,由于 cosA 0, 所以 tanA=2.（）由（）知tanA=2 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xcos2x2sin x12sin 2
4、 x2sin x2sin x1 23 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22sin x13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 xR, 所以 sin x1,1 . 当2 时, fx有最大值2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 sinx=-1时, fx有最小值 -3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - -
5、- -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以所求函数fx的值域是3, 3.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、正、余弦定理的应用解题技巧： 1 在三角形中考查三角函数式变换,是近几年高考的热点,它是在新的载体上进行的三角变换, 因此要时刻留意它重要性： 一是作为三角形问题, 它必定要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,准时进行边角转化, 有利于发觉解决问题的思路.其二, 它究竟是三角形变换,只是角的范畴受到了限制, 因此常见的三角变换方法和原就都是适用的,留意“三统一” ,即“统一角、统一函数、统一结构” ,是使问题获得解决的突破口.2 在解
6、三角形时,三角形内角的正弦值肯定为正,但该角不肯定是锐角,也可能为钝角（或直角） ,这往往造成有两解,应留意分类争论,但三角形内角的余弦为正,该角肯定为锐角,且有惟一解,因此,在解三角形中,如有求角问题,应尽量防止求正弦值.例 2：（ 2022辽宁高考理科17） 在 ABC中, a, b,c 分别为内角A, B, C 的对边,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2asin A2acsin B2 cbsin C .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求A 的大小.（）求 sin Bsin C 的最大值 .【命题立意】考查了正弦定理,余弦定理,考查了三角函数的恒等变换
7、,三角函数的最值.【思路点拨】 （ I ）依据正统定理将已知条件中角的正弦化成边,得到边的关系,再由余弦定理求角（ II ）由（ I ）知角 C60 -B 代入 sinB+sinC中,看作关于角B 的函数,进而求出最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【规范解答】 （）由已知,依据正弦定理得2a22bcb2 cbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即a2b2c2b c由 余 弦 定 理 得a 2b2c22b c o sA 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
8、cos A1, A=1202sin Bsin Csin Bsin60B 3 cosB1 sin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）由（）得：22sin60B故当 B 30时, sinB+sinC取得最大值1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【方法技巧】(1) 利用正弦定理,实现角的正弦化为边时只能是用a 替换 sinA
9、,用 b 替换 sinB, 用 c替换 sinC .sinA,sinB,sinC的次数要相等,各项要同时替换,反之,用角的正弦替换边时也要这样,不能只替换一部分.(2) 以三角形为背景的题目,要留意三角形的内角和定理的使用.象本例中B+C 60三、三角函数的实际应用三角函数的实际问题往往可以通过建立三角函数的数学模型,通过对三角函数问题的争论,达到对实际问题解决的目的.我们可以在实际问题中通过对三角形的边角关系的争论得到数学模型.例 3：（ 2022江苏高考7） 某爱好小组测量电视塔AE 的高度 H单位： m）,如示意图,垂直放置的标杆BC的高度 h=4m,仰角 ABE=, ADE=.(1)
10、该小组已测得一组、的值,算出了tan=1.24 ,tan=1.20 ,请据此算出 H 的值.(2) 该小组分析如干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位： m）,使与之差较大,可以提高测量精确度.如电视塔的实际高度为125m,试问 d 为多少时,-最大？【命题立意】此题主要考查解三角形的学问、两角差的正切及不等式的应用.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【思路点拨】 （ 1）分别利用H ,表示 AB、AD、 BD,然后利用AD AB=DB求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）利用基本不等式求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
11、【规范解答】 （ 1） HADtanADHtan,同理：ABHtan, BDh.tan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AD AB=DB,故得HHh,解得： Htantantanh tan41.24124 .tantan1.241.20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,算出的电视塔的高度H是 124m.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）由题设知dAB ,得 tanH , tan,HhHhADDBdd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
12、tantantanHHhddhdh可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tantan1HHh2dH Hh dH Hh可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ddd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dH Hh 2dH Hh ,（当且仅当dH Hh125121555 时,取等号）
13、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故当 d555时, tan 最大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 0,就 0, 由 y22最大.故所求的 d 是 555 m.antx 的单调性可知： 当 d555 时,-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4（ 2022福建高考文科2） 运算12sin 222.50 的结果等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1233A.B.C.D.2232【命题
14、立意】此题考查利用余弦的倍角公式的逆用,即降幂公式,并进行三角的化简求值.【思路点拨】直接套用倍角公式的逆用公式,即降幂公式即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【规范解答】选B, 12sin 222.50cos 4502 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【方法技巧】 对于三角公式的学习,要留意敏捷把握其变形公式,才能进行敏捷的恒等变换.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如倍角公式：sin 2x2sin xcosx , cos 2x12sin 2x2cos 2 x1cos2xsin 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资
15、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的逆用公式为“降幂公式” ,即为sin xcosx1 sin 2x,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin2 x1cos2x ,cos2 x1cos2x,在三角函数的恒等变形中,降幂公式的起着重要可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22的作用.例5 （ 2022海 南 宁 夏 高 考理 科T16 ） 在ABC 中 , D 为 边BC 上 一 点 ,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BD=2DC,ADB =120, AD=2,如ADC 的面积为 33 ,就BAC =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
16、料_【命题立意】此题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用.【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论.列出边与角满意的关系式求解.【规范解答】设BDx ,就 CD2x ,由ADC 的面积为 33 可知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 CDAD2sin 6033 ,可得 x31,由余弦定理可知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB2AD 2BD 22 AD BD cosADB6 ,所以 AB6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AC2AD 2DC 22 ADDCcosADC24123 ,所以 AC631可
17、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 cosBACAB2AC 22 AB ACBC2,及 AB6, AC631, BC331可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可求得BAC60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 60
18、【方法技巧】 娴熟三角形中隐含的角的关系,利用余弦定理或正弦定理找边与角的关系,列出等式求解 .例 6（ 2022 天津高考理科7）在 ABC 中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b23bc , sin C23 sinB ,就 A=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ A） 300（ B） 600（C） 1200（ D） 150 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【命题立意】 考查三角形的有关性质、正弦定理、 余弦定理以及分析问题、解决问题的才能.【思路点
19、拨】依据正、余弦定理将边角互化.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【规范解答】选A,依据正弦定理及sin C23 sinB 得： c23b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos Ab2c2a 22bcc2a 22bcc2 c23bc3,2bc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_000A180 ,0A30 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【 方法技巧】依据所给边角关系,挑选使用正弦定理或余弦定理,将三角形的边转化为角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7（ 2022天津
20、高考理科 7）已知函数f x23 sinxcos x2cos 2 x1xR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求函数f x的最小正周期及在区间0,上的最大值和最小值.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如6f x0 , x0,求cos 2x0 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_542【 命 题 立 意 】 本 小 题 主 要 考 查 二 倍 角 的 正 弦 与 余 弦 、 两 角 和 的 正 弦 公 式 、 函 数yA sinx 的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础学问,考查基本运算才能.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
21、精品资料_【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式.变角2x02x0,66可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【规范解答】 （ 1）由f x23 sinx cos x2cos 2 x1 ,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x32sinx cosx2cos 2 x1) 3 sin
22、2xcos2x2sin2 x 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以函数f x的最小正周期为T22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 f x2sin2 x在区间0,上为增函数,在区间66,上为减函数,又62可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 01, f62, f21 ,所以函数f x在区间0,上的最大值为2,最小值2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为-1（） 由（ 1）可知f x2sin2 x又由于f x 63,所以 sin2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00006565可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由x0,得2 x02, 7从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos 2x42001sin22 x6364可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_665所以cx3ox600可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载