《2022年导数概念教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年导数概念教案.docx（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、教案导数的概念（教案讲稿 PPT ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【教学目标】(1) 、学问与技能目标1. 明白导数的历史背景 , 体会导数定义的探究过程2. 把握导数的内容,初步会用它进行有关的运算求解3. 使同学深刻懂得导数的概念,懂得导数在几何、物理上的意义,能够依据导数的定义求函数在区间上的导数(2) 、过程与方法目标1. 在导数定义的过程中 , 用形象直观的两个实际例子作为引例,培育同学的观看才能、抽象思维才能 . 体会数形结
2、合的思想 .2通过探究导数定义的过程,体验数学思维的严谨性.(3) 、情感、态度与价值观目标1. 明白导数发觉的历史, 感受数学学问所包蕴的数学文化, 培育同学学习数学, 探究数学的爱好与本事.2. 在探究活动中,体验用极限方法解决平均变化率靠近某点处的变化率的思想,培育同学的探究精神.【教学重点】 导数的概念 .【教学难点】 如何引出导数的概念,并依据导数的定义运算导数.【教学方法】 形象直观式教学法、问题探究式教学法.【背景学问】 自由落体物体的瞬时速度问题,曲线切线的斜率问题等.【特色和创新之处】用通俗易懂的语言,通过文、理结合的方式,最终以口诀的形式结尾,讲解抽象的内容,表达数学的草根
3、本色.【教学进程概要 】用两个实际问题阐述函数在一点上导数的定义,由例题 1 和例题 2,来叙述在一点上求导的方法.接着由例题 2,引出函数左、右导数的概念.用例题 3 引出在开区间上的导数,即导函数的定义,在此基础上给出求导函数的例子,例题 4.最终以口诀的形式结尾.【板书内容 】导数的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 -
4、 - - 欢迎下载精品_精品资料_vtlimslimst0t st0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0t0klimyttlim0f x0txf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MTx0xx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对一般函数：yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y |limylimf x0xf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x x 0x0xx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
5、_ylimylimf xxf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -二、讲稿（一）、引言在前面,我们学习了函数的极限,利用极限争论了函数的一种性质,叫连续,即： limy0 ,今日我们来争论函数的另外一种性质.下面我们通过两个实际的x0问题引出这种性质的概念描述.（二）、问题的实际背
6、景第一是一个物理问题,自由落体运动（让粉笔落下）.1、自由落体运动的瞬时速度英国物理学家牛顿在争论质点运动时,发觉导数问题.设想有一钢球做自由落体运动,自由落体运动的高度和时间简洁12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_测量,他发觉距离和时间的关系是：s gt .这不是一个2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_匀速运动,速度每时每刻都在变化着.那么钢球在时刻t0 的瞬可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时速度如何来求？牛顿的方法如下： 用短时间段t 内的平均速度近
7、似瞬时速度. 他考虑t0 时刻之可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_后经过一个极短的瞬时t 到达 t 时刻,即t t0t ,在这一瞬时钢球所走的路可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程为：sst0ts t0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这样,在这一时间段内的平均速度应当是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_s st0tst0 gt01 gt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t tt 越小, 平均速度就越接近于瞬时速度,当t20
8、 时,平均速度的极限就是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_瞬时速度.vtlimslims t0ts t0 gt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0t0tt0t0这里争论的是一个物理问题,它表达的是平均变化率接近瞬时变化率的思想.下面来看一个几何上的问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - -
9、- - - - - -2、几何曲线的切线斜率问题德国数学家莱布尼茨在争论曲线切线的斜率的时候也遇到了类似的问题.给定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一曲线f x ,求过M x0 , y0 点的切线的斜率 k .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_什么是切线了？和闭曲线只有一个交点的直线称为切线（见下图 2 和图 3）,这种定义对于圆和椭圆等曲线是可行的,但对于一般的曲线就不行了.因此要有更为普遍可行的切线定义.什么是切线,如何来定义切线了？莱布尼茨是这么来考虑的：考虑曲线上的一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个动点N x, y ,其中 yf x ,
10、xx0x . MN 为曲线的一割线,当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_N 沿着曲线向 M 无限接近的时候,割线的极限位置为MT ,称 MT为切线.依据定斜式知道确定一点处的切线就是确定斜率.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_沿 曲 线当 NM时,就有：割线切线,从而有kMNkMT,其中 kMN为割线的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资
11、料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_斜率,kMT为切线的斜率.割线斜率kMN 为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kMNtanyf x0x f x 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以切线斜率kMT ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_klim klimylimf x0x f x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精
12、品_精品资料_MTx0MNx0xx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这里表达的也是函数平均变化率靠近某点处的变化率问题.从上述两个例题中,我们发觉：虽然它们是两个不同范畴的实际问题,但它们的数学形式是一样的：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_vtlimslimst0t st0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0t0klimyttlim0f x0txf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MTx0xx0x都是对某点处函数增量与自变量增量之比取极限.类似的问题仍许多,如电流强度,经济学中的边际等等,所以对两个增量之比取极限,这个东西
13、并不是突然从天上掉下来的,硬要说是天上掉下来的,也是天上掉下个“林妹妹”.这个“林妹妹”就是“定义1”（板书）.（三）、导数的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、定义定义 1：设函数yf x 在点x0 的某邻域内有定义, 当自变量 x 在x0 处取得增量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 时,相应的函数y取得增量yf x0x f x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如极限limylimf x0xf x0 （ 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载
14、精品_精品资料_x0xx 0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_存在,就称函数yf x在点x0 处可导（这就是我们今日要讲的函数的另一性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可导性）,并称该极限为函数在点x0 处的导数（言下之意,导数就是按增量之比取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x dydf可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_极限这一规章导出的数） .记为：xx,或者0 ,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0dx xxd
15、x xx00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如上述极限不存在, 就称函数yf x 在点x0 处不行导, 或者说函数在点x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_处导数不存在.（板书）这些记号都是导数的符号,任凭用哪一个都行.它们就像“林妹妹”的衣服,“传统服”、“休闲服”、“便装
16、”、“ 泳装”.不过,无论穿了什么衣服, 都仍是这个“林妹妹”.导数的表示仍不止这一些.有人觉得x 不好看,我们就用一个符号h 来表示.即 令 hx ,定义式（ 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_也可简洁的写成如下的形式：f x0hf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 lim（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又有人认为x0 +h不够美丽,不妨用一个x 来表示,即xx0h,由于x0 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
17、资料_固定的,那么 h0 等价于xx0 ,上述定义式（ 2）就可等价的写成下面的形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式：f x0 limf xf x0 （ 3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这么多表示方法,这么多记号,说明一个问题：导数的概念很重要.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图71643 年 1727 年牛顿在数学上最杰出的成就是独立的创建了微积分.图81646 年 1716 年莱布尼兹创设的微积分符号对微积分的进展有极大的影响.可编
18、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_导数的符号是采纳莱布尼茨的.莱布尼茨是一位数学界的符号大师,许多符号 都是采纳他的,他发表微积分论文的时间要早于牛顿,但牛顿最先发觉微积分,就 把手稿放在家里,莱布尼茨的论文发表之后,有人认为莱布尼茨剽窃了牛顿的科研 成果,莱布尼茨觉得自己很冤, “他是先有导数后有积分,我是先有积分后有导数,他在英国, 我在德国. 我可没偷他的九阴真经, 我可不是梅超风”.后来人们公认的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料
19、- - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -是,他们两个从不同的角度独立创造了微积分.他们都是微积分的奠基人.闲谈少说,下面我们考虑如何求函数在一点处的导数.2、点导数例题例 1、求函数 yC 在点 xx0 处的导数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 第一步求增量：yf x0xf x0 CC0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y其次步求比值：0x第三步取极限： C|lim00x x0x0所以,函数 yC 在点 xx0 处的导数恒为0.说明,对于常数函数而言,他在 x0 点处的变化率为0.是不是一
20、个函数在其定义区间内,每一点处都可导了？下面我们就来考虑例2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2、争论函数 y|x|在 x0处是否可导？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：依据导数定义及求导数的步骤,易判定函数在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0处的可导性.第一步求增量：y|x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次步算比值：y|x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第三步取极限：xxlimylim |x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x
21、x0x要将肯定值符号去掉,必需争论x 的符号问题：|x |xlimlim1,x0xx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim |x |limx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xx0xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其左极限为1 ,而右极限为 1 ,左、右极限不相等.就lim不存在,可见函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xf x 在点 x0 处的导数不存在,也就说明：一个函数在它的定义区间内并不是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共
22、10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_每一点处都可导的.在例 2 中,从直观上看：该函数的图形在x0处切线不存在,即曲线在该点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_处不光滑. 一般来说函数在某点可导 （即切线存在）,其图形必需在该点光滑. 许多同学都到过美发店,美发店做出来的头发曲线美丽,特别光滑,用今日的话来说,就是根根头发闪闪发亮,条条曲线到处可导.从上面的例 2 中我们仍发觉,虽然他的极限不存在,但是
23、它在0 点处的左极限和右极限仍是存在,只是惋惜不相等.这就是所谓左导数和右导数.3、单侧导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义 2：假如limf x0xf x0 存在,就称该极限为左导数,记为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 .假如limx 0-f x0xxf x0 存在,就称该极限为右导数, 记为 f x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x左导数、右导数统称为单侧导数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 1：函数在点x0 处可导左导数 f x0 和右导数 f x0 都存在且相等.可编辑资料 - - - 欢迎下
24、载精品_精品资料_前面例 2 中,我们有结论,函数图形在光滑的的方存在切线,下面我们来求一求正可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_弦函数在 , 内的某一点x0 处的导数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 设函数y sin x , 求函数在某点x0 点处的导数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由公式： sinsin2cos2sin可知：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin x |l
25、imsin x0x sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0x0xxx2 cosx0 sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim cosxx0x2xsinxcosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0即： sin x |x xx002x02cosx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 中,如将x0 换成 x ,正弦函数在任意一点x 处的导数为cosx ,它是 x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函
26、数,把这样的函数叫做导函数.下面给出导函数的详细定义.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、导函数定义 3：假如函数 yf x 在开区间 I 内的每点处都可导, 就称函数f x 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_开区间 I 内可导
27、.对于任一 xI,都对应着f x 的一个确定的导数值, 这个函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数叫做原函数f x 的导函数,简称导数.记作y , f x,dy , df.即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ylimylimf xx f x limf xhf x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xx0xh0h这里,将函数在某点处可导的性质推广到了在一个区间上的可导性,将点导数的概念推广到了导函数的概念上.下面来看幂函数求导数的例题.可编辑资料
28、- - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4、设函数yf xx, x0, 求 y .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xhf x xhx解： ylimlimh0hh0h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x1 limh 1 x（等价无穷小： 1h 1h ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0hxxxhx1 limx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即： xh0 h =xx1x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（四）、小结 ：今日我们主要是讲了求函数的导数,求函数导数的时候,先给自变量一个增量x ,并求函数的增量y（或
29、者说函数的转变量y ）,接着将两个转变量相除,最终求比值的极限,运算是比较简洁的,概括起来就是：要求导数很简洁, 先求两个转变量, 两者相除求比值, 再对比值求极限.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（五）、摸索题与作业摸索题 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 f x 在xx0 处可导,即f x0 存在,就可编辑资料 -
30、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limf x0hf x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0h提示：与导数定义要联系起来,只相差一个负号,通过变量代换,立刻可以求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_出它的值：f x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知物体的运动规律为St （米）,就该物体在 t2 秒时的速度为：.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2提示：利用物理背景,以及导数的概念求解该题.答案是：4 米/ 秒.作业：P51, 1. 2.今日讲到这里,下课；可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载