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1、精品_精品资料_公务员考试行测备考 :“多次相遇”解题技巧“多次相遇”问题有直线型和环型两种类型.相对来讲,直线型更加复杂.环型只是单纯的周期问题.现在我们分开一一进行讲解.第一,来看直线型多次相遇问题.一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种.“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时动身相向而行;“ 单岸型” 是指甲、 乙两人从路的一端同时动身同向而行.现在分开向大家一一介绍：一两岸型两岸型甲、 乙两人相遇分两种情形,可以是迎面碰头相遇,也可以是反面追及相遇.题干假如没有明确说明是哪种相遇,考生对两种情形均应做出摸索.1、迎面相遇：如以下图,甲、乙两人从A、B 两的同时相
2、向而行,第一次迎面相遇在a 处, 为清晰表示两人走的路程,将两人的路线分开画出就共走了 1 个全程,到达对岸b 后两人转向其次次迎面相遇在c 处,共走了 3 个全程 把甲的 bc 挪到下边乙处 ,就从第一次相遇到其次次相 遇走过的路程是第一次相遇的2 倍.之后的每次相遇都多走了2 个全程. 所以第三次相遇共走了 5 个全程,依次类推得出：第n 次相遇两人走的路程和为2n-1ss 为全程,下同 .注： 其次次相遇多走的路程是第一次相遇的2 倍,分开看每个人都是2 倍关系, 常常可以用这个 “2 倍关系” 解题.即对于甲和乙而言从a 到 c 走过的路程是从起点到a 的 2 倍.2、反面相遇与迎面相
3、遇类似,反面相遇同样是甲、乙两人从A、B 两的同时动身,如以下图, 此时可假设全程为4 份,甲 1 分钟走 1 份,乙 1 分钟走 5 份.就第一次反面相遇在a 处.第可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 分钟,甲走3 份,乙走 15 份,两人在c 处其次次反面相遇.我们可以观看,第一次反面相遇时, 两人的路程差是 1 个全程,其次次反面相遇时,两人的路程差为 3 个全程.同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2 倍,单看每个人多走的路程也是第一次的2 倍.依次类推,得：第n 次反面追及相遇两人的路程差为2n-1s .二单岸型单岸型是两人同时从一端动身,与两岸型相像, 单岸型也有
4、迎面碰头相遇和反面追及相遇两种情形.1、迎面相遇：如以下图,甲、乙两人同时从A 端动身,假设全程为3 份,甲每分钟走 2 份,乙每分钟走 4 份,就甲乙第一次迎面相遇在a 处,此时甲走了2 份,乙走了 4 份,共走 2 个全程.再过 1 分钟,甲共走了 4 份,乙共走了 8 份,在 b 处迎面其次次相遇,共走4 个全程, 就从 a 处相遇到 b 处两人共走了两个全程, 与第一次相遇时的路程和相同,依次类推, 每次迎面相遇多走2 个全程,可得出：当第n 次迎面相遇时,两人的路程和为2ns,每次相遇用的时间相同.2、反面相遇与迎面相遇相像, 假设全程为 3 份, 甲每分钟走 1 份,乙每分钟走7
5、份,就第一次反面相遇在 a 处, 2 分钟后甲走了 2 份,乙走了 14 份,两人在b 处反面相遇.由图,第一次相遇两人走的路程差为2S,其次次相遇两人走的路程差为4S,依次类推,每次相遇,两人多走的路程差均为2s,可以得出：当第 n 次反面相遇时,两人的路程差为2ns,每次相遇用的时间相同.“直线型”总结 熟记 两岸型：第 n 次迎面相遇,两人的路程和是2n-1S.第 n 次反面相遇,两人的路程差是2n-1S.单岸型：第 n 次迎面相遇,两人的路程和为2ns,每次相遇用的时间相同.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第 n 次反面相遇,两人的路程差为2ns,每次相遇用的时间相同.
6、下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的类型：类型一 ：依据“ 2 倍关系”求 AB 两的的距离.【例 1】甲、乙两人在 A、B 两的间来回漫步,甲从A,乙从 B 同时动身,第一次相遇点距 B60 米,当乙从 A 处返回时走了 10 米其次次与甲相遇. A、B 相距多少米 . A、150 B、170 C、180 D、200【答案及解析】 B.如以下图,第一次相遇在a 处,其次次相遇在b 处, aB 的距离为 60,Ab 的距离为 10.以乙为争论对象,依据2 倍关系,乙从a 到 A,再到 b 共走了第一次相遇的 2 倍,即为 602=120 米, Ab 为 10,就 Aa 的距离为
7、 120-10=110 米,就 AB 距离为 110+60=170 米.类型二 ：告知两人的速度和给定时间,求相遇次数.【例 2】甲、乙两人在长30 米的泳池内游泳,甲每分钟游米,乙每分钟游米.两人同时分别从泳池的两端动身,触壁后原路返回, 如是来回. 假如不计转向的时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_间,就从动身开头运算的1 分 50 秒内两人共相遇多少次. A、2 B、3 C、4 D、 5【答案及解析】 B.题目没说是迎面仍是反面,所以两种相遇的次数都应当运算.法一：依据相遇全程数.假如是迎面相遇,就走的全程的个数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个,依据迎面
8、相遇 n 次,走的全程为 2n-1=5,求得 n=3; 假如是反面相遇, 就走的全程数为,故在 1 分 50 秒内,不能反面相遇.所以共相遇3 次.法二：依据相遇时间.第一次迎面相遇时间为秒走一个全程.共110 秒,共 110个,走的全程数为2n-1=5 个,求得 n=3;假如是反可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面相遇,就第一次相遇的时间为秒110 秒,故不能反面相遇.类型三 ：告知两人的速度和任意两次迎面相遇的距离,求AB 两的的距离.【例 3】甲、乙两车分别从A、B 两的同时动身,在 A、B 间不断来回行驶.甲车每可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小时行千米,
9、45 千米, 乙车每小时行36 千米, 已知两车第 2 次与第 3 次迎面相遇的的点相距40就 A、B 相距多少千米 .A、90 B、180 C、 270 D、 110【答案及解析】 A.法一：相同时间,甲、乙路程比为45：36=5：4,就将全程分成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9 份.就一个全程时甲走5 份,乙走 4 份.以甲为争论对象,第2 次相遇,走的全程数为22-1=3 个,就甲走的份数为3 5=15 份,一个全程为 9 份,就第 2 次相遇甲走的份数转化为全程的个数为 15 9=1 6 份, 1 个全程后在乙端,就从乙端数6 份.第 3 次相遇走的份数为 2 3-1
10、 5=25 份,转化为全程的个数为259=2 7,2 个全程后在甲端,就从甲端数7 份.如以下图：由图第 2 次和第 3 次相遇之间共有 4 份为 40 千米,就 AB 相距=90 千米.法二：除了上述基础公式的利用,我们也可以引入“沙漏模型”.利用沙漏模型解 题的前提是题干中已知两人的速度.将速度转化为相同路程的条件下两人的时间比,就以时间为刻度,画出两人到达对岸的路线图,两人走的路线图相交的点即为两人相遇的的点.s-t 图中的路线因像古代记时间的沙漏故称为“沙漏模型” .此题中, 甲、乙走到端点用的时间比为 36： 45=4：5.如以下图：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依
11、据路线图看出甲乙第2 次相遇和第 3 次相遇的交点E 和 O,依据三角形相像, 可得CE:EG=3:6=1:2,就求得第2 次相遇距 A 的的比例为S/3,同理 DO:ON=7：2,就第 3 次相遇距 A 的的比例为 7S/9,就两次相遇比例为为 40 千米,就 S=90 千米.w 点评：考生假如能把握“沙漏”模型,就在解决多次相遇问题时会更显直观.用交点判定是迎面相遇仍是反面相遇的技巧：看相交的两条线是由同一岸引出仍是两岸,同一岸就说明是反面相遇,不同岸就说明是迎面相遇.用时留意： 一般题干预及到的相遇次数较少时可画,相遇次数太多, 就会花费大量时间,不利于提高速度;画时的单位刻度要看时间比
12、,假如时间比中的数据较大可把刻度画大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_步行,每近距离类型四 ：告知两人的速度, 相遇次数较少时, 利用 s-t 图形成“沙漏” 模型速解.【例 5】A、B 两的相距 950 米.甲、乙两人同时由A 的动身来回锤炼半小时.甲分钟走 40 米;乙跑步,每分钟行 150 米.就甲、乙二人迎面相遇距B 的最近时,最是多少 .A、150 B、200 C、250 D、300【答案及解析】 B.利用“沙漏模型” .甲乙走到端点用的时间比为150： 40=15：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4,半小时两人共走的全程数为个.对于单岸型,相遇6 个
13、全程,就是迎面第三次相遇由前边公式推出 画出 s-t 图：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_观看上图可知,在3 次迎面相遇的过程中,甲乙有一次反面相遇交点由同一点引出.而在三次迎面相遇中第2 次相遇离 B 的最近, 依据三角形相像 AO:OF=AC:EF=16:3,就距 B 点的距离为米.【例 6】河道赛道长120 米,水流速度为 2 米/ 秒,甲船静水速度为6 米/ 秒,乙船可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_静水速度后甲、为 4 米/ 秒.竞赛进行两次来回,甲、乙同时从起点动身,先顺水航行,问多少秒乙船其次次迎面相遇 .A、48 B、50 C、52 D、54【答案
14、及解析】 C.由题知,得出如下关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 中为走完全程的时间.假设 A 到 B 是顺流,由上表可知甲、乙两人第2 次迎面相遇共有4 个全程.由于甲的速度快,就第2 次相遇前甲已走了2 个全程.共15+30=45 秒.当第 45 秒时乙走了一个顺流全程 20 秒和 25 秒的逆流,走的路程为252=50 米,就在剩余的 70 米内,甲乙分别以顺流和逆流相遇时间为t,就有 70=8+2 t,求得 t=7 秒,就共用时间 45+7=52 秒.此题同样可用“沙漏模型”解决.依据上表中的速度关系,可得出一个全程时的时间关系如下：依据时间的关系,得出s-t
15、图像,如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_观看上图, 可看出其次次迎面相遇在P 点,以甲为争论对象运算时间,此时甲走了一个 顺流 , 一 个 逆 流 , 另 外 EP 段 为 顺 流 , 根 据 三 角 形 相 似 可 求 出 走 EP 用 的 时 间EP:PN=EF:MN=7:8,由上表,求出走EP用的时间为,就甲共走的时间为15+30+7=52.二、环型环型主要分两种情形, 一种是甲、 乙两人同的同时反向迎面相遇不行能反面相遇 , 一种是甲、乙两人同的同时同向反面追及相遇不行能迎面相遇 .分开争论如下：一甲、乙两人从A 的同时反向动身：如以下图,一个周长分成4 份,假设甲
16、是顺时针每分钟走1 份到 B,乙是逆时针每分钟走 3 份到 B,就第一次相遇两人走了1 个周长, 第一次相遇后相当于又同时同的反向动身,所以其次次相遇时共走了2 个周长, 依次类推, 可得出： 第 n 次迎面相遇共走了n 圈.二甲、乙两人从 A 的同时同向动身：如以下图, 全程分成 4 份.假设甲、乙两人都是顺时针同时动身, 甲每分钟走 1 份, 乙每分钟走 5 份,就 1 分钟后两人在 B 处第一次反面追及相遇,两人走的路程差为 1 个周长.再过 1 分钟后,甲到 C 处,乙也到 C 处,两人其次次反面追及相遇,多走的路程差同样为一个周长,依次类推,可以得出：第 n 次反面追及相遇,路程差为
17、 n 圈.环型多次相遇问题相比照较简洁,当甲、 乙不在同一的点动身时相对具有难度.比方在直径两端动身.考生可通过下面的例题把握.【例 1】老张和老王两个人在周长为400 米的圆形池塘边漫步. 老张每分钟走9 米,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_老王每相遇 .分钟走 16 米.现在两个人从同一点反方向行走,那么动身后多少分钟他们第三次A、33 B、45 C、48 D、56【答案及解析】 C.第一次迎面相遇时间为400 9+16=16,就第三次迎面相遇时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_间为 16 3=48.【例 2】小明、小亮从 400 米环形跑道的同一点动身,背向
18、而行.当他们第一次相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_遇时,小人交共跑了明转身往回跑 ;再次相遇时,小亮转身往回跑;以后的每次相遇分别是小明和小亮两 替调转方向,小明速度3 米/ 秒,小亮速度 5 米/ 秒,就在两人第 30 次相遇时小明多少米 .A、11250 B、11350 C、 11420 D、 11480【答案及解析】 A.由题意知,第 1 次是迎面相遇,第2 次是反面追及相遇,之后可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_都是迎面与反面相遇交替.就在30 次相遇中,迎面相遇15 次,反面相遇15 次.迎面相遇一次用时为 400 3+5=50,反面相遇一次用时为40
19、05-3=200 ,就 30 次相遇共用时为15 50+200=3750s,就小时在这段时间里跑的路程为3750 3=11250 米.【例 3】甲、乙两人分别从一圆形场的的直径两端点同时开头以匀速按相反方向绕可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此圆形路次相遇,线运动,当乙走了100 米以后,他们第一次相遇,在甲走完一周前60 米处又其次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就这个圆形场的的周长为多少米. A、320 B、360 C、420 D、480【答案及解析】 D.如以下图,假设甲、乙分别在直径A、B 两端以顺时针和逆时针运动.第 1 次相遇在 C 点距 B 点 10
20、0 米,第 2 次相遇在 D 点,距 A 点 60 米.当在直径端点两岸行走时, 可将环型转化为直线型, 就第 2 次相遇每个人走的路都是第 1 次相遇的 2 倍.以乙为争论对象,就从C 到 D 走的路是 B 到 C 的 2 倍,即 200 米,因AD 为 60 米,就 CA 为 200-60=140 米,所以半个周长为 100+140=240 米,周长为 240 2=480米.总结近几年随着题目难度的上升, “多次相遇问题”会逐步成为考试的主角.考生在备考中要有意识的培育上述几种类型的解题技巧并熟记各种类型的公式,特别是直线型的多次相遇问题,对于给定两者速度的题目,且相遇次数较少时也可结合更加直观的“沙漏模型”解题.对于环型,不像直线型那么复杂,留意处理好相遇次数,是迎面仍是追及相遇,运用公式可快速解题. 最终期望上述几种类型的解题技巧对各位考生能起到抛砖引玉的作用,同时祝各位充分备考的考生能取得一个抱负的成果.可编辑资料 - - - 欢迎下载