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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案第一章 微积分的理论基础内容及基本要求：1、懂得函数的概念 2、懂得复合函数的概念,明白反函数的概念 3、把握基本初等函数的性质及其图形 4、会建立简洁实际问题中的函数关系式 5、懂得极限的概念 （对极限的 N、 定义可在学习过程中逐步加深懂得）6、把握极限的四就运算法就 7、会用两个重要极限求极限 8、 解无穷小、无穷大,以及无穷小的阶的概念；会用等阶无穷小求极限 9、 懂得函数在一点连续的概念 10、明白间断点的概念,并会判定点的类型 11、明白初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）学习重点
2、： 函数概念；复合函数概念；极限概念；极限四就运算法就；两个重要极限；函数连续概念；学习难点 ：极限概念；第一节 函数一. 函数的概念及其表示法1.函数的定义 设 x 与 y 是变量 , D 是给定的一个数集 . x D , y 依据肯定的法就总有确定的数值与之对应 ,就称 y 是 x 的函数 ,记作 y f x .其中 D 为函数的定义域 , x 是自变量, y 是因变量 . 0x 处的函数值记为f0x,即y0fx 0. ,对应的函数值总是只有一Wy|yfx,xD称为函数yfx的值域 . 单值函数与多值函数: 假如自变量在定义域内任取一个值时个,这种函数称为单值函数,否就称为多值函数.本书一
3、般指单值函数. 2.定义域的求法D1实际问题由实际意义确定:如自由落体运动xx01 gt 22,就其定义域为t0. 2数学式子由算式有意义的自变量的一切实数值所确定:如y1x2,其定义域为1 1,. 3.函数的图形名师归纳总结 建立直角坐标系后|,点x,y的集合 C : 第 1 页,共 33 页Cx,yyfx,xD- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 称为函数yfx的图形 . 名师精编精品教案4.特殊函数1肯定值函数 : yxx ,xx,0xsgnx. x ,0 .2符号函数 : ,1 x 0 ,y sgn x 0 , x 0 ,1 x 0 .3取整函数
4、: y x 表示不超过 x 的最大整数 .如 1 ,1 2 2 , 5 2 . 4分段函数 :在自变量的不同范畴中 ,用不同式子表示的同一个函数称为分段函数 .如绝对值函数 ,取整函数 ,符号函数都是分段函数 .两个不同式子的分界点称为分段函数的分段点 . 二. 线性函数的基本属性1.转变量 对于函数 y f x ,当自变量在其定义域内从一点 x 变为异于 x 的点 x 时,相应地,函数值从 y 变为 y ,我们称 x x 0 为自变量 x 在 0x 处的转变量,简称为自变量的转变量, 记作 x x 0x,称 y y 0 为函数 y f x 在 0y 处相应的转变量,简称为函数的转变量,记作2
5、.匀称变化与非匀称变化yyy 0fx fx0. 对线性函数,无论自变量x从哪里开头变化,只要它的转变量一样大,就函数的转变量也一样大；换句话说,线性函数随自变量的变化是匀称的,即y x. 三. 复合函数与反函数名师归纳总结 1. 复 合 函 数设 函 数yfu的 定 义 域 为D , 函 数u x在D2上 有 定 义 , 而第 2 页,共 33 页W 2u|ux ,xD2,且W 2D1,那末 ,对xD2通过函数ufx有确定的 u 与之对应 ,对于这个 u 通过yfu有确定的y 与之对应 ,从而得由yu,ux复合而成的复合函数,记作yfx,而 u 为中间变量 . yarcsinu, 留意1不是任
6、二个或二个以上的函数都复合成一个复合函数.如- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ux22名师精编精品教案就不能复合成一个复合函数. 2 任一复合函数都可以分解成一些简洁函数的复合 .此点在求复合函数的导数时很重要 .如函数 y ln tan x可分解成 : y ln u , u tan v , v x .2 22.反函数 设函数 y f x 定义域为D,值域为W.对 y W ,总 x D , s . t . x 与y对应,这样就确定了一个以 y 为自变量的函数 x ,称为 y f x 的反函数 ,记作 x y ,也记作 y f 1 x .相对于反函数 y
7、 f 1 x ,原先函数 y f x 称为直接函数 . 留意 1单值函数的反函数不肯定是单值函数 ;但当直接函数 y f x 不仅单值且单调时,其反函数 y f 1 x 必为单值函数 . 2 y f x 和 y f 1 x 的图形关于直线 y x 对称 . 四. 初等函数与双曲函数1.基本初等函数1.幂函数 :yx,是常数 . x. secx,ycscx .2.指数函数 :yax,a,0a1,特殊地 :yex. 3.对数函数 :ylogax , a0 ,a1,特殊地 :yln留意 :指数函数与对数函数互为反函数. ,y4.三角函数 :ysinx,ycosx,ytanx,ycotx5.反三角函数
8、 :yarcsinx ,yarccosx ,yarctanx,yarccotx. 2.初等函数由常数与基本初等函数经过有限次四就运算和有限次复合所构成的并且用一个式子表示的函数 ,称为初等函数 .如ylntanx,ylnx1x2.2都是初等函数 . 3.双曲函数与反双曲函数1.双曲函数名师归纳总结 双曲正弦:shxex2ex,D,奇函数,图形过原点且关于原点对称. 在第 3 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ,内,当 x时,名师精编1ex,精品教案时, shxy1ex. shxy当 x22双曲余弦 :chxex2ex,Dx,偶函数 ,图
9、形关于 y 轴对称 .在,0 内,在0,内. x时,chxy1ex,当 x时, chxy1ex. .在22双曲正切 :thxshxexe, D,.奇函数 ,图形过原点且关于原点对称chxexex,内,且thx1 ,当 x时 ,thx1; 当 x时, thx1.即y1为thx 的两条水平渐进线. 性质 : sh xy shxchychxshy,ch xychxchyshxshy,2 chx2 shx,1sh 2 x2 shxchx ,ch 2xch2x2 shx. 2.反双曲函数反双曲正弦 :yarshxlnx1x2,单值 . ,1 y0 . 反双曲余弦 :,主值xyarchxlnxx21 反双
10、曲正切 :1ln1x x. yarthx21函数举例 : 例 1 设fx 1xx2,求f nxfffx. x名师归纳总结 解f2x ffx2fx x 11x2221xx2; 第 4 页,共 33 页1f2x2x1例 2 f3x ff2x x,fnx1x2. 13 x2nx1x2设fxx. 1,求fxx2解fx1 xx1ftt22,即fx x22. ,2x例 3 设fx ex 2,fx 1x,且x0,求x 及其定义域 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解fx ex2,所以f名师精编.又精品教案xe2x x 0,所以由1 得e2x 1xx ,1 x0,
11、即x 的定义域为ax0. b对称ab,就fxe2x 1x,12 x ln 1x;由2得y,的图形关于直线x与x例 4 设f,x为周期函数 . 即f证明fxf2 axfx关于xa对称 f2 b2axfx关于xb对称 fx2ba, x为周期函数 . 五.函数的参数表示与极坐标表示1.函数的参数表示把y与 x 的函数关系通过变量t 间接地表示为t 称为参变量,也称为xx t,tDyyt,上式称为 y 与 x函数关系的参数表示式,也称为此曲线的参数方程,参数；2.函数的极坐标表示 在平面上选取一条具有起始点 O （称为极点）和长度单位的半直线 Ox ,称为极轴,这样在此平面上就建立了极坐标系；对平面上
12、任一点 P ,将线段 OP 的长度记为,成为极径, 极轴 Ox 到射线 OP 的转角记作,称为极角； 假如限制 0 2, ,0,那么平面上除极点 O 外任一点 P 便有唯独的有序数组 , 与其对应； 反之, 任给一数组 , ,以 为极角,为极角,必有唯独的点与之对应；因此,我们把 , 称为点 P 的极坐标；名师归纳总结 点 P 的直角坐标x ,y与极坐标,之间有如下关系y2第 5 页,共 33 页x,tanx2cosyysinx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案其次节 数列的极限一. 数列1.数列无限多个数有次序地排成一列x 1,x
13、2,xn,第 n 项x 称为数列的一般项 n.数列称为数列 ,记为nx.数列中的每一个数称为数列的项x n也可看作自然数n 的函数 : xnf n ,nN. 在几何上 ,数列xn也可看作数轴x 上的一系列点 . 2.子数列设数列xn. 在x n中 第一次抽取nx1, 其次次抽取xn2,n 2n 1,第 k 次抽取x nk,得新数列,x1n,xn 2,xn kx nk. 称为数列nx的子 数列二. 数列的极限 :lim nxnA .1.引例 :刘徽的割圆术 . 2.数列极限的定义设数列x n1.观看当 n 无限增大时 ,数列的项的变化趋势.详细写出来是 : A0,此n,11,1,1,1,1,23
14、45n当 n 无限增大 即要多大就有多大时 ,一般项1 无限接近 要多近就有多近 n于常数时称数列1 n的极限为零 ,或数列1收敛于零 .由此有n定义 描述性定义 名师归纳总结 x n当 n 无限增大时, 数列x n与常数 A 无限接近 ,称数 A 为数列x n的极限 ,或称数列第 6 页,共 33 页lim nx nA .,或xnA , n. 收敛于 A .记作下面我们对数列1来详细分析 : n要使1 与 nA0的距离小于1,即10- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1名师精编0精品教案. A1 n11nn10就n110,取N10,当n10时,101,
15、即从第 11 项开头 ,全部项与A0的n10距离小于1 10. , 要 使1A1011, 就n100. 取N100, 就 当取1100nnn100nN1 0 0 时, 1 n01,即从第 101 项开头 ,全部项与A0的距离小于1. 100100 名师归纳总结 0 ,要使1An1.取N1,就当nN1时 , 10.即从第 7 页,共 33 页nnN1项开头 , 全部项与A0的距离小于. 用精确的数学语言,有定义给定数列xn和常数 A :0 ,NN0,当nN时,有xnA成立 ,就称常数 A 为数列xn的极限 ,或称数列x n收敛于常数A ,记为lim nxnA .,或xnA , n. 假如数列没有
16、极限,就称数列是发散的. 留意1反映了数列x n中项x 与常数 A 的接近程度.由于可以任意小,此时xnA反映了x 与常数 A 无限接近 要多近就有多近 n,不是越来越近 . 2NN反映了数列xn中与常数A 接近的项的范畴,即从N1项x N1开头 ,所有项与 A 的距离小于.因此 N 是的函数 .一般地 , 越小 ,就 N 越大 . 3 lim nxnA .主要是对于给定的,能够找到一个N ,使得xN1,x N2,x n,与 A的距离小于,而前 N 项x 1,x2,x N是否与 A 的距离小于没有任何影响 . 4 N 是否存在才是关键,不必找最小的N . 5 lim nxnA .的几何意义 :
17、 由定义 : 0 ,NN0,当nN时,有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xnAxn名师精编精品教案A,AUA , 即x N1,xN2,xn,全部落在 A 的邻域内 . A适当例 1 证明lim nn1 n11. n分析 :由注 3的思路 :0 从不等式xnA解出 n ,从而确定 N . 证明0 ,要使x nAn1n111nn就n1.取N1,就当nN时,有xnA所以lim nnn1 n11. 有时 ,由xnA解出 n 是特别麻烦 .由注 4可知 ,此时可将不等式xn放大 不能太大 ,即名师归纳总结 xnAfn gn 放大后gn仍可小于. 第 8 页,共
18、 33 页由gn解出 n ,从而确定 N .就当nN时,有xnAfn g n 故lim nxnA .注:这里的适当放大意思是xnAf n g n 例 2 证明lim nn2na21 . 证明0 ,要使xnAn2na21n2a2nn此时直接解出 n 很难 .将xnA适当放大 , xnAnn2a22n a2an- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以na2,取Na2即可 . 名师精编精品教案就n或如下放大 : | a|xnAnanann| a|.取N即可 . 三. 收敛数列的性质定理 1极限唯独性定理 假如数列x n,就其极限必唯独. 0.就证明设lim n
19、xnA .nlimxnB.AB.取B2A. 由lim nxnA .就N10,当nN1时,有xnAB2A. 由nlimxnB,就N20,当nN2时,有xnBB2A. 取NmaxN1N2,就当nN时 ,有xnAB2A,xnBB2A.解得xnB2A,冲突 . xnB2A.定理 2（有界性）收敛数列必有界.但有界数列不肯定收敛. 证明设lim nxnA .就给定0,N0,当nN时,有xnAx nx nA AxnAAA0, 1不存在 为什么 .见取Mmaxx 1,x2,xN,A0.就对任意的 n ,有xnM即数列x n必有界 . 反之 ,数列1n1是有界的 由于1n1M1,但lim n1 n下面的说明
20、. 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定理 3（保号性）设lim nan名师精编0 A精品教案,使得nN,恒有A ,A0 ,就Nanq0 a nq0 其中 q 为某一正常数；例 3求lim x 2x2x315.x2lim x 23xlim x 250,.3x解lim x 2x23x5 lim x 2lim x 2x23lim x 2xlim x 25223253lim x 2x2x315lim x 2x3lim x 2123173xlim x 2x23x5 33三. 数列极限的有理运算法就定理 4：设lim nan
21、A ,lim nb nB , 就nncliman.nn.1 lim na nb nAB ; 2 lim na nb nAB ; 3 lim na nA,其中B0 .b nB推论 1 假如lima n存在,而c为常数,就limca常数因子可以提到极限记号外面. a nlima推论 2 假如lima n存在,而n 是正整数, 就lim四. 数列极限的判定法就1.夹逼准就名师归纳总结 准就假如数列x , ny n及z 满意以下条件 : 第 10 页,共 33 页1ynx nz nn,123,2lim nyna,lim nz na ,那末数列nx 的极限存在 , 且nlimxna. 证：yna ,z
22、na ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ,0N 1,0N20 ,名师精编精品教案使得当nN 1 时恒有y na,当nN2时恒有z n,a,取NmaxN 1N2,上两式同时成立, 即ay na,az na,当nN 时,恒有aynx nz na,即xna成立,lim nxna.n1n.求lim nn111例 4：2n222解：n11nn2nn21n2nn21又lim nnnnlim n11,121lim nnnnlim n111,121n2由夹逼定理得lim n11n12n1n1 .n2222.单调有界准就假如数列x n满意条件x 1x 2x nx n1
23、,就称此数列单调增加；或者x 1x 2x nx n1,称此数列单调削减准就单调有界数列必有极限. 几何说明 : 名师归纳总结 x 1x2x3xnxn1AMx 的极限存在.第 11 页,共 33 页例 5：证明数列xn333n 重根式证：明显x n1x n,x n是单调递增的;33,又1x3,3假定xk,3x k13x k3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x n是有界的;lim nx n名师精编精品教案存在.x n13x n,2 x n113x n,Alim nx2lim n3x n,n1A 23A ,解得A213,113舍去 2五.子数列及其与数列的
24、关系定理 5数列与子数列关于收敛的关系 假如lim nxnA .就其任一子数列x nk必收敛 ,且名师归纳总结 lim kxnkA .第 12 页,共 33 页注1逆否命题 :假如数列nx的某一子数列发散或某两个或两个以上 子数列收敛 ,但极限不同 ,就数列x n必发散 . 例 6 证明数列1n1是发散的 . 证明取两个子列 : 奇子列 :12k1,明显lim k12k11.又偶子列 : 12k,明显lim k1 2k1. 由于lim k12k11lim k12k1,所以lim n1n1不存在 . 2假如数列xn的奇子列与偶子列均收敛于同一极限,就数列x n必收敛 . - - - - - -
25、-精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案第三节 函数的极限主要争论 :在自变量的某一变化过程中,函数是否与一常数无限接近,即1lim x x0fxA; 2lim xfx A. 一.自变量趋于变大时函数极限的概念名师归纳总结 lim xfxA.即自变量 x 无限接近时,f x 无限接近于A . x. . 第 13 页,共 33 页x包括 x和 x. 定义1设fx当xM时有定义 .,0X0,当xX时,有fx A成立 ,就 A 称为fx当 x的极限 ,记为lim xfxA或fxA ,x2设fx当xM时有定义 . ,0X0,当xX时,有fx A成立 , 就 A 称为fx
26、当 x时的极限 ,记为x limfxA或fxA ,3 设fx当xM时有定义 . 0,X0,当xX时,有x. fx A成立 , 就 A 称为fx 当 x时的极限 ,记为lim xfxA或fxA ,注:1 lim xfx A的几何意义 : 2 lim xfxAx limfxx limfxA. 3 lim xfxA,就yA为曲线yfx的水平渐进线 . 例 1 证明lim xsinx0. x证明0 ,要使fx Asinx0sinx1xxx就x1.取X1,就当xX时,有sinx0x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即lim xsinx0. 名师精编精品教案x例
27、2 求lim xarctanx. ,x limarctanx2,所以lim xarctanx不存在 . 解x limar c t an2同理x limarccotx0 ,x limarccotx,所以lim xarccotx不存在 . 记住 :lim xsinx,lim xcosx均不存在 .x 时,fx无限接近于A . 二. 自变量趋于有限值0x 时函数的极限x lim x 0fxA,即自变量 x 无限接近定义名师归纳总结 定义设fx 在0x0内有定义 .0,0,当 x0x0,时,有第 14 页,共 33 页UUfxA成立 ,就 A 称为fx当xx 0时的极限 ,记作lim x x0fxA或fxA ,xx 0. 注1由极限的定义知,fx当xx0时是否有极限与fx在0x 处是否有定义无关. 2反映了fx与A的接近程度 .由于0 可以任意小 ,故fx与A可无限接近 . 30反映了自变量x 与x 的接近程度 . 4给定0,问题是是否存在0.假如存在 ,就当xx 0时fx以 A 为极限 ;否就 , fx的极限不存在.因此 ,只要确定一个,而不必找出最大的.一般地 ,假如越小 ,就也越小 . 5 的求法是由不等式fx A接出xx0g不是解 x ,取g即可.同数列极限 ,假如fx A解xx0较困难 ,可将fx A适当放大 ,即fx Ah