《2022年复变函数期末考试题大全.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年复变函数期末考试题大全.docx（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一、填空题（每道题2 分） 上精品资料欢迎下载）第 1 页,共 15 页4、根式31 的值之一是（）1、复数12i2的指数形式是A 13i B 3i C 23i D 213i2、函数 w =1 将 zS 上的曲线x12y21变成S wuiv222222的曲线是5、以下函数在z0的去心邻域内可展成洛朗级数的是（）3、如1ez0, 就 z A 11 B cos1 C ctg e1 D Lnzz4、1ii= sinzz5、积分2iz22dz= 6、以下积分之值不等于0 的是 2A z1zdzB z1zdzCz1z2dz4D zdz6、积分1iz1si
2、nzdz312z1cosz2z227、幂级数1in zn的收敛半径 R= 7、函数fzarctanz在z0处的泰勒展式为（）n0A n01nz2n1（ z 1）B n01nz2n1（ z 1）8、z0是函数e111的奇点2 n2nzz9、Re sz 1z e1Cn01nz2n1（ z 1）D n01nz2n（ z 1）2 z12 n2n10、将点,i,0分别变成 0,i,的分式线性变换 w8、幂级数1n z2n在z1 内的和函数是（）二、单项题（每道题2 分）n01、设为任意实数,就 1 =（）A 112B 112C z11D 112A 无意义 B等于 1 zz2zC是复数其实部等于1 D是复
3、数其模等于 19、设 ai ,C：zi=1,就Czcoszdz（）ai22、以下命题正确选项（）A 0 B 2i C 2ie D icosi A i2 B 零的辐角是零e C 仅存在一个数 z, 使得1z D 1ziz10、将单位圆z1共形映射成单位圆外部w1的分式线性变换是（zi3、以下命题正确选项（）A weizaa1 B weizaa1 A函数fzz在 z 平面上到处连续1a z1a zB 假如fa存在, 那么fz在 a 解析C weiza a1 D wi eza a1 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上到处收敛zaza D 假如 v 是 u 的共轭调和函数 , 就 u 也是 v 的共轭调
4、和函数三、判定题（每道题2 分）名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1、（）对任何复数 z,z2z2成立的值,12精品资料欢迎下载1第 2 页,共 15 页5 i , 6 0 , 7 31 , 8 2可去, 9 e , 10 2z2、（）如 a 是fz和gz的一个奇点 , 就 a 也是fzgz的奇点二 单项题（每道题 2 分,共 20 分）3、（）方程z7z3120的根全在圆环1z2内1 D 2 D 3 A 4 A 5 B 6 B 7 C 8 D 9 A 10 A 4、（）z=是函数fz15 z2的三阶极点三 判定题（每道题 2 分,共 1
5、0 分）3分z 1 2 3 4 5 5、（）解析函数的零点是孤立的四 运算题（每道题 6 分,共 36 分）四、运算题（每道题6 分）1 解：ux2axyby2,vcx2dxyy21、已知fzx2axyby2icx2dxyy2在S 上解析 , 求 a,b,c,duxvy2xaydx2y2、运算积分z25z2dzz z1 2k=0, uyvxax2 by2 cxdy 5 分3、将函数fzz1在z1的邻域内展成泰勒级数 , 并指出收敛范畴解得 :ad2 ,bc16分z14、运算实积分 I=0x2x224 dx2 解：被积函数在圆周的z2内部只有一阶极点 z=0 2 分1 x及二阶极点 z=1 5、
6、求fz 112在指定圆环2zi内的洛朗展式Re sz 0fz 5z2z02zz1 26、求将上半平面Im z0共形映射成单位圆w1 的分式线性变换5 分Re sz 1fz 5 zz2z12z12wLz,使符合条件Li0,Li0z2五、证明题（每道题7 分）6 分z25z2dz=2i-2+2=0 1、设（ 1）函数fz 在区域 D 内解析z z1 2（2）在某一点z0D有fnz 00,（n,12,）3 解：fzz1 4 分z1证明：fz 在 D 内必为常数 = 1z21111211n01nz1n2、证明方程ez5zn10在单位圆z1内有 n 个根z2 6 分一填空题（每道题2 分,视答题情形可酌
7、情给1 分,共 20 分）（z12）1 4e5i,2 u1, 3 2k+1i ,k=0,1 ,2 , 4 i eln2e42k4 解: 被积函数为偶函数在上半z 平面有两个62 1 分一阶极点 i,2i 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - I=1x2x224 dxkD 2 分精品资料欢迎下载4分第 3 页,共 15 页2）z1 上,fz5zn5zez1z e1ez1e1521 x =12iRe z isfz Re sfz 2 iz 3 分2故在z1 上fzz,由儒歇定理在z1 内=iziz 224 ziz2z2z2 iz2i 5 分 7 分
8、Nfzz,z1 Nfz,z1 nz1 6 分一、填空题（每道题2 分） =61、cos 5isin52的指数形式是5 解：fzzi1zi 1 分3）cos 3isin32、ii = =z1211i 3 分3、如 0r1,就积分zrln1zdzi2 iz4、如 v 是 u 的共轭调和函数,那么v 的共轭调和函数是 6 分 =z12n01n2 inn2zi5、设z0为函数fz =z3sin z3的 m阶零点,就 m = izi6、设za为函数fz的 n 阶极点,那么zRe a sfz = 2 分6 解: w =Li=kzifzzi7、幂级数n0n z 的收敛半径 R= n . 3 分wkz2 ii
9、2 4 分8、z0是函数z5sin1的奇点wLi0kizwizi 6 分9、方程z7z3120的根全在圆环内zi10、将点,i,0分别变成 0,i,的分式线性变换 w五 证明题（每道题 7 分,共 14 分）二、单项题（每道题2 分）1 证明: 设k:zz 0R kDf z 在0z 解析1、如函数fz在区域 D内解析,就函数fz在区域 D内（由泰勒定理fz n0fnz 0zz 0nz 2 分A在有限个点可导 B存在任意阶导数n .由题设fnz 00fz f0z,zkD 4 分C 在无穷多个点可导 D存在有限个点不行导2、使z2z2成立的复数是（）由唯独性定理fzf0zzD 7 分A 不存在 B
10、 唯独的 C 纯虚数 D实数2 证明：令fz5zn,z ez12分3、z2coszdz（）1z2 1）fz及z 在z1解析名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A i sin1 B i sin1 C 2 i sin1 D 2i sin1）精品资料欢迎下载fz14 4、根式3 i 的值之一是（）1、（）幂级数z 在 z 1 内一样收敛 nA 3i B 23i C 2i Din02、（）z=是函数1cosz 的可去奇点22z25、 z是sinz的（）3、（）在柯西积分公式中,假如aD,即 a 在 D 之外,其它条件zA 可去奇点 B 一阶极点 C
11、 一阶零点 D 本质奇点不变,就积分1iCfzdz0,zD6、函数fzzz1z4,在以z0为中心的圆环内的洛朗展式2za4、（）函数fzctg e1在z0的去心邻域内可展成洛朗级数1z有 m 个,就 m= 5、（）解析函数的零点是孤立的A 1 B 2 C 3 D 4 四、运算题（每道题6 分）7、以下函数是解析函数的为（）1、运算积分Cxyix2dz,C： i1+i 的直线段A x2y22xyiB x2xyiC 2x1 yiy2x22xD x3iy32、求函数fzzz12在全部孤立奇点（包括）处的留数1 z8、在以下函数中,Re sz 0fz0的是（）3、将函数fzz1iz1i在zi的去心邻域
12、内展成洛朗级数, 并指出收敛域 A fzez21 B fzsinz14、运算积分Cz2dz1 , C:x2ay22y1,满分zzzz2得分C fzsinzzcosz D fzez1115、运算实积分 I=2ad1 z0cos9、设 ai ,C：zi=1,就Czcoszdz（）6、求将单位圆z1 共形映射成单位圆w1 的分式线性变换wLzai2A 0 B 2i C 2ie D icosi 使符合条件L10,L112e五、证明题（每道题7 分）10、将单位圆z1共形映射成单位圆外部w1的分式线性变换是（A weizaa1 B weizaa1 1、设函数fz在区域 D 内解析,证明：函数fiz也在
13、D 内解析1az1a z2、证明：在z0解析,且满意的f2111,f11（n,12）的函数C weiza a1 D wi eza a1 n2 n2n2 nzaza不存在满分10 三、判定题（每道题2 分）一填空题（每道题2 分,视答题情形可酌情给1 分,共 20 分）得分名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 ie 19,2 e22kk=0, , 3 0 , 4 u , 5 9 3分精品资料欢迎下载1 3 分第 5 页,共 15 页Re z 0sfz2 z11z006 n,7 , 8 本质, 9 1z2, 10 1z
14、二 单项题（每道题 2 分,共 20 分）Re z isfz2 z1izi1 5 分1 B 2 D 3 C 4 D 5 A 6 C 7 C 8 D 9 A 10 A z2 i所以原式 2i01 6 分三 判定题（每道题 2 分,共 10 分） 1 2 3 4 5 2i四 运算题（每道题 6 分,共 36 分）5解：令zie 1 分1 解：C 的参数方程为： z=i+t, 0t1 dz=dt Iz 1a1z1dzCxyix2dz1t1it2dt=1i6分ziz023 3 分21分2 解: z1为fz一阶极点 =2z1zaa2dza2 az1为fz二阶极点2分i1 zRe z1 sfzzz1z11
15、3 分被积函数在z1 内的有一个 5 分4一阶极点zaa215 分Re sz 1fzzz2z11zRe as a 21fz 21114Re zsfz0 6 分a2 I=2i221121 6 分3 解：fzz1iz1i=z1i111i 2 分ia2a26 解：wL1kz1kz12 iz 5 分2 12 22分2 iz2z = z1in01nzin122 in14分L1k111k1所以k2 6 分（0zi0,就 z0 是f z的_零点 . z 06. 函数 e z 的周期为 _. 6. 幂级数nx 的收敛半径为 _. nn07. 方程2z53 z3z80在单位圆内的零点个数为_. 7. 设fz z
16、211,就 f z 的孤立奇点有 _. 8. 设fz 11z2,就fz 的孤立奇点有 _. 8.设z e1,就z_.9. 函数fz|z|的不解析点之集为 _. 10. Res z4 1 1,z三. 运算题 . 40 分 _. 9. 如0z 是fz 的极点,就lim z z 0fz _. z10. Res en , 0 z三. 运算题 . 40 分 _. 1. 求函数sin23z的幂级数绽开式 . 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值11. 将函数f z 2 z e 在圆环域 0z内展为 Laurent 级数. 的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及
17、右沿的点zi处的值 . 2. 试求幂级数nn. nnzn的收敛半径 . 3. 运算积分：Iii|z|d z,积分路径为（ 1）单位圆（| z|1）的右半圆 . 4. 求z2sinzdz.3. 算以下积分：Cz2ezdz9 ,其中 C 是| z|1 . z222 z四. 证明题 . 20 分 4. 求z92z6z28z20在| z|1 内根的个数 . 1. 设函数 fz在区域 D 内解析,试证： fz在 D 内为常数的充要条件是fz在 D 内解四. 证明题 . 20分 析. 1. 函数fz 在区域 D 内解析 . 证明：假如|fz |在 D 内为常数,那么它在 D 内2. 试用儒歇定理证明代数基
18、本定理. 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 为常数 . ,n,以及两个正数精品资料欢迎下载. R及 M,使得3. | z |2 9zzzidz . 2. 设fz 是一整函数,并且假定存在着一个正整数2当|z|R时114. 函数f z ez1z有哪些奇点？各属何类型（如是极点,指明它的阶数）|fz |M|zn |四. 证明题 . 20 分 证明fz 是一个至多 n 次的多项式或一常数；1. 证明：如函数fz 在上半平面解析,就函数fz在下半平面解析 . 2. 证明z46z30方程在1|z|2内仅有 3 个根. 复变函
19、数考试试题（四）二. 填空题 . 20 分 1. 设 z 1,就 Re z _,1 i2. 如 lim z n,就 lim z 1 z 2 .n n n3. 函数 e z 的周期为 _. Imz_. D 内 的复变函数考试试题（五）D 内的zn_. 二. 填空题 .（20 分）1. 设z13 i,就|z|_,argz_,z_. 4. 函数fz112的幂级数绽开式为 _ 2. 当z_时,z e为实数 . z5. 如函数 fz在复平面上到处解析,就称它是_. 6. 如函数fz在区域D 内除去有限个极点之外到处解析,就称它是3. 设ez1,就z_. _. 7. 设C:| z|1,就Cz1dz_. 4
20、. z e的周期为 _. 8. sinz的孤立奇点为 _. 5. 设C:| z|1,就Cz1 dz_. 6. Res ze 1 , 0 zfz在区域_. z9. 如0z 是fz 的极点,就lim z z 0fz _. 7. 如函数D 内除去有限个极点之外到处解析,就称它是10. Res ez,0 _. _；.（ n 为自然数）8. 函数fz112 z的幂级数绽开式为 _. nz三. 运算题 . 40 分 9. sinz的孤立奇点为 _. 1. 解方程z310.z2. 设fz zez1,求Resfz,.10. 设 C 是以为 a 心,r 为半径的圆周,就Cz1ndz_2a名师归纳总结 第 8 页
21、,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载f z 在 D 恒等三. 运算题 . 40 分 6.如0z 是f z 的 m 阶零点且m1,就0z 是f z 的_零点. z 1. 求复数 z2. 运算积分：1 的实部与虚部 . 17.如函数f z 在整个复平面到处解析,就称它是_. 8.函数f z z 的不解析点之集为 _. ILRez dz,9.方程25 z3 z3z80在单位圆内的零点个数为_. 10. 公式ix ecosxisinx 称为 _. 在这里 L 表示连接原点到 1i 的直线段 . 3.求积分： I212 ada2,其中
22、 0a1 . 二、运算题（ 30 分）01、lim n26in. cos4.应用儒歇定理求方程zz ,在|z|1 内根的个数, 在这里z在| z|1 上2、设f z C327z1d,其中Cz z3,试求f1i . 解析,并且|z |1 . 3、设f z zez1,求 Re s f z i . 四. 证明题 . 20 分 1. 证明函数fz |z2|除去在z0外,到处不行微 . 22. 设fz 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个数 R 及 M,使得当4、求函数3 sin z在 0z内的罗朗展式 . 6 z|z |R时5、求复数wz1的实部与虚部 . |fz |M|zn |,z16、求e3i的值 . 证明:fz 是一个至多 n 次的多项式或一常数 .