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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 雨露八年级上数学制造性学习潜能开发班第七讲 平面直角坐标系【核心内容】；向右平移 a 个单位后的坐标为 . 1. 坐标变换：设原坐标为A x,y 平移变换：向左平移a 个单位后的坐标为向上平移 a 个单位后的坐标为；向下平移 a 个单位后的坐标为 . 轴对称变换：关于 x 轴的对称点是；关于 y 轴的对称点是 . . 纵向拉长 n 倍后的坐标 . 中心对称变换：关于原点的中心对称点是仿射变换：横向拉长n 倍后的坐标 .2. 图形的平移：在平面直角坐标系中,将点（x, y）向右（或左）平移a 个单位长度,可以得到对应点或；将点（ x, y）向上（
2、或下）平移b 个单位长度,可以得到对应点或 . 留意：对一个图形进行平移,这个图形上全部点的坐标都要发生相应的变化；反过来,从图形上点的坐标的加减变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移；3. 图形的放大与缩小：纵坐标不变,横坐标都变为原先的 K 倍,就整个图形将被 为原先的；横坐标不变,纵坐标都变为原先的 K 倍,就整个图形将被 为原先的；（K 时为拉长；为缩短）4. 利用平面直角坐标系表示平面内一些点的地理位置的一般过程如下：（1）建立坐标系,挑选一个适当的参照物为原点,并确定（2）依据详细问题确定适当的比例尺,标出单位长度；x 轴和 y 轴的正方向 .（3）在坐标平面内画出这些点,
3、写出各点的坐标和各个地点的名称 .5. 格点与面积：一张方格纸上,上面画着纵横两组平行线,相邻平行线之间的距离都相等,这样两组平行线的交点,就是所谓格点. 网格中求图形面积常运用 . 【思维体验】一、点位置的确定与数形结合【例 1 】假如点 M 1x1,y 在其次象限,那么点N 1x,y1关于原点的对称点P 在第几象限？【点拨】 由 M 在其次象限能得到什么结论？能否判定点N 所在的象限,再依据N 与 P 关于原点对称确定出点 P 的位置 .【解答】【反思与小结】（1）解法一依据的特点判定1x,1y的正、 负情形, 进而得到点N 所在象限；（2 ）解法二依据M、N 的坐标特点得到,得到点N 所
4、在象限 .（3）有序实数对与坐标上的点,这就使得数与形结合起来.解题时可依据条件,运用数形结合的思想敏捷解题. 二、全等变换与坐标系的综合应用名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 2 】假如将点 P 绕定点 M 旋转 180 后与点 Q 重合, 那么称点 P 与点 Q 关于点 M 对称, 定点 M 叫做对称中心 . 此时, M 是线段 PQ 的中点 . 如图,在直角坐标系中,ABO 的顶点 A、B、O 的坐标分别为（1,0）、（0,1）、（0,0）. 点列 1P 、P 、P 、 中的相邻两点都关于ABO 的一个顶
5、点对称；点 P 与点 P 关于点 A 对称,点 P 与点 P 关于点 B对称,点 P 与 P 关于点 O 对称,点 P 与点 P 关于点 A 对称,点 5P 与点 P 关于点 B 对称,点 P 与点 P 7关于点 O 对称, . 对称中心分别是 A、B、O、 A、B、O, ,且这些对称中心依次循环 . 已知点 P 的坐y标是 1,1 ,试求出点 P 、P 和 P 2022 的坐标 . 【点拨】 对点 1P 进行试验操作探究,求出点 P 、3P 、O xP 、5P 、P 、P 、 、P 2022 等部分点的坐标,查找系列点 P 坐标之间的规律,得到解答 . 例 2 图【解答】【反思与小结】在平面
6、直角坐标系中,与点的坐标有关的探究问题中点的变化一般都是有周期性变化【例 3 】（1）点 A 的坐标为（ 1,3）,将线段 OA 围着原点 O 逆时针旋转 90 得到 O A,求点 A 的坐标（2）点 A 的坐标为（ 1,3）,将线段 OA 围着原点 O 顺时针旋转 90 得到 O A,求点 A 的坐标一般地：（3）点 A 的坐标为（ x,y）,将线段 OA 围着原点 O 逆时针旋转 90 得到 O A,求点 A 的坐标（4）点 A 的坐标为（ x,y）,将线段 OA 围着原点 O 顺时针旋转 90 得到 O A,求点 A 的坐标（5）正方形 OABC 的边长为 2,点 A（2,0）,点 B（
7、2,2）,将正方形 OABC 围着原点 O 逆时针旋转 30得到正方形 O A B C,求正方形 O A B C 的顶点 A 、 B 、 C 的坐标【点拨】 能否通过作图找到规律？【反思与小结】 点Px,y围着原点 O 逆时针旋转90 得到 Py ,x；点Px ,y围着原点 O 顺时针旋转y90 得到 Py,x；点Px,y围着原点 O 旋转 180 得到 Px,y；A1,5B5,2名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 4 】点 A（1,5）、B（5,2）,假如 M 为 x 轴上一点,N 为 y 轴上一点,以点 A
8、、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形试求 M、N 点的坐标（其中 M、N 为网格中的点）【点拨】 要求 M,N 的坐标,依据平行四边形的性质知可以看成将点 B 平移到 x 轴上的 M 点后作平行而得到的点 N,摸索如何将点 M 平移 x 轴上？（或者将点 A 平移到 y 轴上的点 N 后作平行而得到的点 M）【解答】【反思与小结】此题构造平行四边形实质上是线段在坐标系中的平移问题,在坐标系中的平移一般是看成沿着坐标轴平移,关注线段在平移过程中的分类争论【例 5 】（ 1）在平面直角坐标系中,矩形OABC,A8 ,0 ,C0 ,6 ,将矩形 OABC 围着原点逆时针旋转 y30 ,得到矩形O
9、 ABC,求 A 、 B 、 C 的坐标CCBAB【点拨】 要求旋转后的点的坐标,由于旋转的30 ,能否将其转化成直角三角板的问题解决？如何转化？【解答】O 例 5 题图 1 Ax【反思与小结】对于坐标系中旋转特别角（30 、45 、60 等）的求点的坐标的问题,一般将其转化成特殊三角形的问题解决；本例就是通过作坐标轴的平行线将求点的坐标转化成特别直角三角形的问题来解名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 决的【例 5 】（2 ）在平面直角坐标系中,A8 ,0 ,B0 ,6 ,将 AOB 沿着直线 AB 对折得到AO B
10、,连结OC交 AB 于 C,过点 O 作 O EOA 于 E,求 O 点的坐标【点拨】“ 分析法” 要求对折后的点O 的坐标,只要求出OE、 O E 的长度即可 O E 是点 O 到 OA 的距y O BC离,能否将其转化成三角形的高的问题来解决？或者应用勾股定懂得决？【解答】OEAx例 5 题图 2 【反思与小结】对于对折求点的坐标问题,一般将其转化成直角三角形的问题解决；而解决直角三角形的问题,现在一般采纳“ 面积法” 和“ 勾股定理法” 以及将来学习的“ 相像法”、“ 三角函数法”；本例主要应用“ 面积法” 和“ 勾股定理法” 来解答；【例 5 】【举一反三】 矩形 ABCD 在坐标系中
11、, A00, ,C,86 ,B、D 分别在 x 轴、 y 轴上, 将矩形 ABCD沿着 AC 对折,点 B 落在 B 处,（1）求点 B 处的坐标；（2）如点 M、N 分别是 AC、AB 上的动点,求 BM+MN 的最小值；y yB BD C D CM名师归纳总结 OABxOANBx第 4 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【点拨】 对于（ 1）,仿照样 5（2）可求；对于（ 2）,“ 综合分析法” 要求BM+MN 的最小值,观看B、 B的位置关系,实际上可以将 BM 转化成 B M,只要让 B M+MN 最小即可, 如何使得 B M+
12、MN 最小？最小是多少？【解答】【反思与小结】对于双动点的最值求法的策略是：将双动点转化成单动点；本例要求最值,只要将 B 转化成 B , 再进一步应用点到直线垂线段最短即可；【例 6 】在坐标系中,AOB 中,A1,1 ,B20, ,O00, ,y点 D、E 的坐标分别是2 ,3 、4,3,以 D、E、F 为顶点的三角形E名师归纳总结 与 AOB 全等,摸索求点F 的坐标 AODBx【点拨】 观看 AOB 各边长以及特别角的度数,由 DEF 与 AOB 全等, DE 与 AOB 的哪条边对应？再依据对应角相等进行分类解答例 6 图第 5 页,共 11 页【解答】- - - - - - -精选
13、学习资料 - - - - - - - - - 【反思与小结】在坐标系依据全等变换探究点的位置,是中考和竞赛中的一种重要题型,解决此类问题的关键是找准对应的边或者对应的特别角进行分类解答三、实际问题中坐标化问题的探究【例 7 】在直角坐标系 中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点且规定,正方形的内部不包含边界上的点观看如下列图的中心在原点、一边平 行于 x 轴的正方形,边长为 1 的正方形内部有 1 个整点,边长为 2 的正方形内部有 1 个整点,边长为 3 的正方形内部有 9 个整点,求边 y 长为 n 的正方形内部的整点的个数（其中 n 为正整数）3【点拨】 能否找到规律？21【解答】O
14、1 2 3 x_马名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【反思与小结】此题在查找规律时,要对 n 为奇数和偶数分类争论；【例 8 】在中国象棋盘中,棋子“ 马” 的位置如下列图,如将“ 马” 跳 20 步（马跳“ 日” 字） ,就最终一步“ 马”落在棋盘上的不同位置可能有A 40 个 B45 个 C50 个 D90 个【点拨】 第一将棋盘坐标化 依据“ 马” 跳的规章进行试验探究,观看“ 马” 从一个位置跳到另一个位置横纵坐标的变化,从中找到规律 查找全部的可能,进行解答【解答】【反思与小结】中国象棋博大精深,数学学问
15、奥妙无穷此题通过中国象棋中“ 马” 走的路线的规章编拟了一道具有开放性的数学试题这道试题启发我们要关注身边的数学,要在玩中摸索数学问题是否存在名师归纳总结 - - - - - - -【举一反三】 如图,矩形BCDE 的各边分别平行于x 轴或 y 轴,物体甲和物体乙分别由点A（2,0）同时动身,沿矩形BCDE 的边作围绕运动,物体甲按逆时针方向以1 个单位 / 秒匀速运动,物体乙按顺时针方向以 2 个单位 / 秒匀速运动,就两个物体运动后的第2022 次相遇地点的坐标是yA（ 2,0）B（ -1 ,1）C（ -2 ,1）D（ -1 ,-1 ）C1B-2OA2,0xD-1E第 7 页,共 11 页
16、精选学习资料 - - - - - - - - - 四、特别四边形的坐标化问题的探究1【例 9 】正方形 ABCD 中,边长 AB=6,E、F、G、H 分别在 AB、BC、CD、DA 上,且 AE=BF=CG =DH = BC,n连结 AF 、BG、CH、DE,得到四边形 IJKL ,M 是 AC、BD 的交点,以 A 为坐标原点,以 AB 为 x 轴正方向,以 AD 为 y 轴正方向建立坐标系如图,（1）当 n 2 时,运算 MJ 的长度；（ 2）当 n 3 时,运算 MJ 的长度；（3）当 n 4 时,运算 MJ 的长度；（ 4）当 n 5 时,运算 MJ 的长度；y y yGD CD GC
17、 D GCL K L K L KH MF H M H MI JI J FI J FA E B x A E B x A E B x【点拨】 摸索一：“ 综合法”在正方形 ABCD 中,简单通过全等判定四边形 IJKL 的外形,同时能设法求出AF、BG 的表达式,同时求出点 J 的坐标,依据正方形点 M 的坐标,进而求出 MJ 的长度；摸索二：“ 分析法”要求 MJ 的长度,只要求出 KJ 的长度,要求 KJ 的长度,只要求出 BJ、GK、BG 的长度即可求 BJ、GK 可以转化成直角三角形中利用勾股定理和面积法解决【解答】名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资
18、料 - - - - - - - - - 【反思和与小结】本例是以2022年重庆中考数学题为背景,由几位老师在集体备课时形成的；对于特别几何图形的问题（特别是正方形、矩形、正三角形、等腰直角三角形等,在非坐标系的情形中,摸索建立坐标系,将几何求值问题转化成代数中方程（组）、距离求值的问题；本例利用坐标化,将初三解决困难的问题转化成坐标私中的问题,正表达了数学中转化思想的应用；【积存与小结】平面直角坐标系中的问题多数与其他几何中特别三角形、四边形、全等、相像以及平移、旋转变换、代数中方程、方程组综合应用,而平面直角坐标系给我们最大的启示就是用“ 代数方法” 解决“ 几何问题”,同时应用“ 几何图形
19、的构造” 解决“ 代数问题”,这是坐标系的灵魂所在；在解决坐标系问题时,留意分类争论的应用【自我挑选】1已知点 Px,x+y与点 Q2y,6关于原点对称,求点P 关于 x 轴对称的点M 的坐标及点Q 关于 y 轴对称的点 N 的坐标2. 在平面直角坐标系中,一蚂蚁从原点O动身,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移名师归纳总结 动 1 个单位其行走路线如下图所示2yA6A9A10A13A14A17x第 9 页,共 11 页（1）填写以下各点的坐标：A2A5A 1_,_；A2_,_；A1A 3_,_；A 4_,_；0A3A4A7A8A11A12A15A16A 5_,_；A 6_,_；
20、A 7_,_；A 8_,_；（2）你能写出A 的坐标,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【挑战自我】3如图,在平面直角坐标系中,A（1,1）、 B（-1 , 1）、C（-1 ,-2 ）、 D（1, -2 ）,把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽视不计）的一端固定在点A 处,并按 A-B- C- D- A- 的规律紧绕在四边形ABCD 的边上,就细线另一端所在位置的点的坐标是BOyAxA（ 1,-1 ）B（ -1 ,1）C（ -1 ,-2 ）D（ 1, -2 ）CD3 题图4.用坐标法证明：在2ABC中, D 为 BC 边上的中点,求
21、证：2AD2BDAB22 AC 提示 ：此题没有建立坐标系,应第一依据题目的特点建立适当的平面直角坐标系y5. 如图,在以单位为1cm 的方格纸上,依图所示的规律,设A9定点 A1、A2、A3、A4 、 An,连接点 A1、A2、A3 组成三角形,记为1 ,以 A2、A3、A4 为顶点组成三角形记为2 ,以 An、A6A2A5A4A8xAn+1、An+2 为顶点组成三角形记为n（n 为正整数）,A1请你推断n 的面积 S 与 n 之间的关系式：A3S= _ ；当 S=100cm 2 时, n = _.A76. 正 ABC 在平面直角坐标系中,A,10、B0,1、C0,3,求点 P 使得 PAB、yPBC、 PAC 是等腰三角形；yCCAOBxAOBx名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - y yC CAOBxAOBx名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页