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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其次章 平面对量2.1 从位移、速度、力到向量（1 课时）一、教学目标：1. 学问与技能（1）懂得向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区分；（2）懂得向量的实际背景与基本概念,懂得向量的几何表示,并体会学科之 间的联系 . （3）通过老师指导发觉学问结论,培育同学抽象概括才能和规律思维才能 2. 过程与方法通过力与力的分析等实例,引导同学明白向量的实际背景,帮忙同学懂得平面对量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最终通过讲解例题, 指导同学能 够发觉问题和提出问题,善于独立摸索,学会分析问题和制造地解决问题 . 3. 情感态
2、度价值观 通过本节的学习, 使同学们对向量的实际背景、 几何表示有了一个基本的认识；激发同学学习数学的爱好和积极性,陶冶同学的情操, 培育同学坚忍不拔的 意志,实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神 . 二. 教学重、难点重点 : 向量及向量的有关概念、表示方法 难点 : 向量及向量的有关概念、表示方法. . 三. 学法与教学用具 学法： 1 自主性学习 +探究式学习法： 2 反馈练习法： 以练习来检验学问的应用情形, 找出未把握的内容及其存在 的差距 . 教学用具 : 电脑、投影机 . 四. 教学设想【创设情境】实例：老鼠由 A 向西北逃跑,猫在B 处向东追去,A B 问：猫能否追到老鼠？（
3、画图）结论：猫的速度再快也没用,由于方向错了. 【探究新知】1同学阅读教材摸索如下问题 展现投影 （同学先讲,老师提示或适当补充）1. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区分？既有大小又有方向的量叫向量；例：力、速度、加速度、冲量等留意：数量与向量的区分：数量只有大小, 是一个代数量, 可以进行代数运算、 比较大小； 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小；从 19 世纪末到 20 世纪初,向量就成为一套优良通性的数学体系,用以 争论空间性质；名师归纳总结 2. 向量的表示方法有哪些？a B 第 1 页,共 18 页A 起点 （终点）几何表示法：有向线段- - - - - - -精选学习资料
4、- - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载有向线段：具有方向的线段叫做有向线段；记作：AB留意：起点肯定写在终点的前面；有向线段的长度：线段AB的长度也叫做有向线段AB 的长度有向线段的三要素：起点、方向、长度字母表示法：也可用字母 刷时用黑体字）a、b、c（黑体字）来表示,即 AB 可表示为 a（印3. 向量的模的概念是如何定义的？向量 AB 的大小长度称为向量的模；记作： | AB | 模是可以比较大小的 4. 两个特殊的向量：零向量长度（模）为 留意 0 与 0 的区分 单位向量长度（模）为0 的向量,记作 0 ； 0 的方向是任意的 . 1 个单位长度的向量叫做单位向量；摸
5、索：温度有零上零下之分, “ 温度” 是否向量？答：不是；由于零上零下也只是大小之分； AB 与 BA 是否同一向量？答：不是同一向量；有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？答：有很多个单位向量,单位向量大小相等,单位向量不肯定相等；5. 向量间的关系：1平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量；记作： a b ca b 规定：0与任一向量平行 c 2 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；记作： a =b规定：0=0任两相等的非零向量都可用一有向线段表示,与起点无关；3 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上,所以平行向量也叫共线向量；名师归纳总结
6、 C O B A 第 2 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - OA = a学习必备欢迎下载OB =bOC =c 展现投影 例题讲评 （同学先做,同学讲,老师提示或适当补充）例题：如图,设O是正六边形 ABCDEF的中心,分别写出图中与向量OA 、OB 、 OC 相等的向量；分别写出图中与向量OD 、 OE 、 OE 共线的向量 . B A O C D E F 学习小结 （同学总结,其它同学补充）向量及其表示方法 . 向量的模 . 零向量与单位向量（零向量的方向任意；单位向量不肯定相等）相等向量与平行向量 . 五. 作业： P86 习题 2
7、1 六. 课后反思2.2 从位移的合成到向量的加法（2 课时）一、教学目标：1. 学问与技能（1）把握向量加法的概念；能娴熟运用三角形法就和平行四边形法就做几个 向量的和向量； 能精确表述向量加法的交换律和结合律,并能娴熟运用它们进行向量运算 . （2）明白相反向量的概念；把握向量的减法,会作两个向量的减向量（3）通过实例,把握向量加、减法的运算,并懂得其几何意义 . （4）初步体会数形结合在向量解题中的应用 . 2. 过程与方法教材利用同学们熟识的物理学问引出向量的加法,一方面启示我们利用位移 的合成去探究两个向量的和, 另一方面帮忙我们利用物理背景去懂得向量的加法. 然后用“ 相反向量”
8、定义向量的减法；最终通过讲解例题,指导发觉学问结论,培育同学抽象概括才能和规律思维才能 3. 情感态度价值观. 通过本节内容的学习, 使同学们对向量加法的三角形法就和平行四边形法就名师归纳总结 有了肯定的熟识, 进一步让同学懂得和领会数形结合的思想；同时以较熟识的物第 3 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载实事理背景去懂得向量的加法, 这样有助于激发同学学习数学的爱好和积极性,求是的科学学习态度和勇于创新的精神. 二. 教学重、难点重点 : 向量加法的概念和向量加法的法就及运算律. 难点 : 向量的减法转化为加法的运算.
9、 三. 学法与教学用具 学法： 1 自主性学习 +探究式学习法： 2 反馈练习法： 以练习来检验学问的应用情形, 找出未把握的内容及其存在 的差距 . 教学用具 : 电脑、投影机 . 四. 教学设想【创设情境】一、 提出课题：向量是否能进行运算？1某人从 A 到 B,再从 B按原方向到 C,A B C 就两次的位移和：AB + BC = AC2如上题改为从 A 到 B,再从 B按反方向到 C,就两次的位移和：AB + BC = ACA C A C B C 3某车从 A 到 B,再从 B转变方向到 C,B 就两次的位移和：AB + BC = AC4船速为 AB ,水速为BC,就两速度和： AB
10、+ BC = AC提出课题：向量的加法A B 【探究新知】 1 定义：求两个向量的和的运算,叫做向量的加法；留意：两个向量的和仍然是向量（简称和向量） 2 三角形法就：a a a C b b b a+b a a+ b a+b A A B C C A B 强调：B “ 向量平移” （自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 可以推广到 n 个向量连加a00aa不共线向量都可以采纳这种法就三角形法就 展现投影 例题讲评 （同学讲,同学评,老师提示或适当补充）名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例
11、 1、已知向量 a 、 b ,求作向量 a +b作法：在平面内取一点,ba b O b a a A b B 作OAaAB就OBab【探究新知】3加法的交换律和平行四边形法就摸索：上题中 b +a 的结果与 a +b 是否相同 验证结果相同从而得到： 1 向量加法的平行四边形法就 2向量加法的交换律：a +b =b +a4向量加法的结合律： a +b + c =a + b +c （可请同学先上来做,不足之处同学更正）ca+b+c D c C 证：如图：使ABa, BCb, CDb+c 就 a +b + c =ACCDADa + b +c =ABBDADA a+b b a a +b + c =a
12、+ b +c B 从而,多个向量的加法运算可以依据任意的次序、任意的组合来进行； 展现投影 例题讲评 （同学讲,同学评,老师提示或适当补充）例 2如图,一艘船从 A 点动身以 2 3 km/ h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时水的流速为 2 km/ h,求船实际航行的速度的大小与方向；【探究新知】摸索：已知a,b,怎样求作ab？这个问题涉及到两个向量相减,究竟如何运算呢？第一引入“ 相反向量” 这个概念 . 名师归纳总结 5. 用“ 相反向量” 定义向量的减法第 5 页,共 18 页“ 相反向量” 的定义：与a 长度相同、方向相反的向量；记作a规定：零向量的相反向量仍是零向量；a = a任
13、一向量与它的相反向量的和是零向量；a + a = 0假如 a、b 互为相反向量,就a = b, b = a, a + b = 0向量减法的定义：向量a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差；即：ab = a + b 求两个向量差的运算叫做向量的减法；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载6. 用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：如 b + x = a,就 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a b 7. 请同学们自己解决摸索题：ab的作法： 展现投影 摸索与争论 ：摸索： 从向量a的终点指向向量b的终点的向量
14、是什么？（ba）争论：如右图,ab时,怎样作出ab呢？ 展现投影 例题讲评 （同学讲,同学评,老师提示或适当补充）例 3. 已知向量 a、b、c、d,求作向量 a b、c d；例 4. 平行四边形中,AB = a , AD = b ,用a、b表示向量 AC , DB . D B C A 例 5. 试用向量方法证明：对角线相互平分的四边形是平行四边形； 学习小结 （同学总结,其它同学补充）向量加法的三角形法就与平行四边形法就. 2 课时）向量加法运算律 . 相反向量及向量减法的运算法就. 2.3 从速度的倍数到数乘向量（一、教学目标：1. 学问与技能（1）要求同学把握实数与向量积的定义及几何意义
15、 . （2）明白数乘运算的运算律,懂得向量共线的充要条件；（3）要求同学把握平面对量的基本定理, 能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量；（4）通过练习使同学对实数与积,两个向量共线的充要条件, 平面对量的基本定理有更深刻的懂得,并能用来解决一些简洁的几何问题；2. 过程与方法 ：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载教材利用同学们熟识的物理学问引出实数与向量的积（强调：1“ 模” 与“ 方向” 两点 2 三个运算定律（结合律,第一安排律,其次安排律）,在此基础上得到数乘运算的几何意
16、义； 通过正交分解得到平面对量基本定理（定理的本身及其实质）；为了帮忙同学消化和巩固相应的学问,教材设置了几个例题；通过讲解例题,指导发觉学问结论,培育同学抽象概括才能和规律思维才能 . 3. 情感态度价值观通过本节内容的学习, 使同学们对实数与向量积以及平面对量基本定理有了较深的熟识, 让同学懂得和领会学问将各学科有机的联系起来了,这样有助于激发同学学习数学的爱好和积极性,有助于培育同学的发散思维和勇于创新的精 神. 二. 教学重、难点重点: 1. 实数与向量积的定义及几何意义. 2. 平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示难点 : 1. 实数与向量积的几何意义的懂得. 2. 平面对量
17、基本定理的懂得 . 三. 学法与教学用具 学法： 1 自主性学习 +探究式学习法： 2 反馈练习法： 以练习来检验学问的应用情形, 找出未把握的内容及其存在 的差距 . 教学用具 : 电脑、投影机 . 四. 教学设想【探究新知】1摸索: （引入新课）已知非零向量 a作出 a +a +a 和a +a +a aaO aA aB aC N aM a Q aP OC =OAABBC=a +a +a=3aPN =PQQMMN=a +a +a = 3 a争论： 3 a 与 a 方向相同且 |3 a|=3| a | 3 a 与 a 方向相反且 |3 a |=3| a | 2从而提出课题：实数与向量的积；实数
18、 与向量 a 的积,记作： a定义：实数 与向量 a 的积是一个向量,记作： a| a |=| | a | 0时 a 与 a 方向相同； 0时 a 与 a 方向相反； =0时 a =0（请同学自己说明其几何意义） 展现投影 例题讲评 （同学先做,同学评,老师提示或适当补充）例 1. （见 P96例 1）略名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 展现投影 摸索：依据几何意义, 你能否验证以下实数与向量的积的是否满意以下运算定律 实际水平打算）结合律： a = a第一安排律： + a = a + a其次安
19、排律： a +b = a + b结合律证明：假如 =0, =0, a =0 至少有一个成立,就式成立假如 0, 0, a 0 有： | a |=| | a |=| | | a | | a |=| | a |=| | | a | | a |=| a | 假如 、 同号,就式两端向量的方向都与 a 同向；假如 、 异号,就式两端向量的方向都与 a 反向；从而 a = a【探究新知】（师生共同分析向量共线的充要条件）如有向量 a a0 、 b ,实数 ,使b= a就由实数与向量积的定义知： a 与 b 为共线向量如 a 与 b 共线 a b 反向时b= a0 且| b | ：| a |= ,就当 a
20、 与b同向时b= a ；当 a 与从而得：向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数 ,使 b = a. 展现投影 例题讲评 （师生共同分析,同学动手做）例 2. （见 P97例 2）略例 3. （P97例 3 改编）如图： OA , OB 不共线, P 点在 AB上,求证：存在实数. 且1O P B A 使OPOAOB（证明过程与 P97例 3 完全类似；略）摸索：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线）名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【巩固深化,加强基础】1. 见 P
21、98练习 1、2、3、4 题. 2. 如例 3 图, OA , OB 不共线, AP =t AB t【探究新知、展现投影】1摸索：R用 OA , OB 表示 OP . 是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯独？对于平面上两个不共线向量1e ,e 是不是平面上的全部向量都可以用它们来表示？2老师引导同学分析设 1e ,e 是不共线向量, a是平面内任一向量M C1e ae 2O N B OA = 1e OM = 1 e 1 OC =a =OM+ON= 1 e + 2 e 2OB = e 2 ON = 2 e 2得平面对量基本定理：假如 e ,1 e 是同一平面内的两个不共线向量,
22、那么对于 2这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 1, 2使 a = 1 1e + 2 2e . 留意几个问题 ： 1e 、e 必需不共线,且它是这一平面内全部向量的一组基底 . 这个定理也叫共面向量定理 . 1, 2 是被 a ,e ,e 唯独确定的数量 . 同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合 . 展现投影 例题讲评 （老师可从中挑选几个例题让同学先做,同学评讲,老师提示或适当补充；）例 41kg 的重物在两根细绳的支持下,处于平稳状态（如图）,已知两细绳与水平线分别成 30 , 60 角,问两细绳各受到多大的力？即两根细绳上承担的拉力分别为 0.5 kg 和 0
23、.87 kg 例 5. 如图 ABCD 的两条对角线交于点M,且 AB =a , AD =b ,用 a , b 表示 MA , MB , MC 和 MD名师归纳总结 b D a M BC第 9 页,共 18 页A - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 6. 如图,在 ABC中, AB =a , 心,求向量 AG【巩固深化,进展思维】BC =b ,AD为边 BC的中线, G为 ABC的重1在 ABCD 中,设对角线 AC =a , BD =b 试用 a , b表示AB,BC2. 已知 ABCD的两条对角线 AC与 BD交于 E,O是任意
24、一点,A 求证： OA + OB +OC +OD =4OE . a 3. 见 P100练习 1、2 题. 学习小结 （同学总结,其它同学补充）B b D C数乘向量的几何意义懂得 . 向量 b 与非零向量 a 共线的条件是：有且只有一个非零实数 ,使 b = a . 平面对量基本定理的懂得及留意的问题 . 五、评判设计1作业：习题 2.3 A 组第 4、5、6、7 题2. （备选题）如图,已知梯形ABCD中,AB CD且 AB=2CD,M, N 分别是 DC, AB中点,设 AD =a , AB =b ,试以 a , b为基底表示 DC , BC , MNCB解： DC =1 AB = 21
25、b 2连 ND 就 DC ND D NM BC = ND = ADAN = a1 b 2A MO 又 DM =1 DC = 21 b 4 MN = DNDM = CBDM =BCDM= a +1 b 21 b = 41 b 4a3. 体会向量在平面几何中的应用2.4 平面对量的坐标（ 2 课时）一、教学目标：1. 学问与技能名师归纳总结 （1）把握平面对量正交分解及其坐标表示. 第 10 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载. （2）会用坐标表示平面对量的加、减及数乘运算（3）懂得用坐标表示的平面对量共线的条件. 2. 过
26、程与方法教材利用正交分解引出向量的坐标,在此基础上得到平面对量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；用才能 . 3. 情感态度价值观最终通过讲解例题, 巩固学问结论, 培育同学应通过本节内容的学习, 使同学们对熟识到在全体有序实数对与坐标平面内的全部向量之间可以建立一一对应关系 （即点或向量都可以看作有序实数对的直观形象）；让同学领会到数形结合的思想；培育同学勇于创新的精神 二. 教学重、难点 重点 : 平面对量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示 难点 : 平面对量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. . . 三. 学法与教学用具 学法： 1 自主性学习 +探究式学习法： 2 反馈练
27、习法： 以练习来检验学问的应用情形, 找出未把握的内容及其存在 的差距 . 教学用具 : 电脑、投影机 . 四. 教学设想【创设情境】（回忆）平面对量的基本定理（基底）a = 1 1e + 2 e 2其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合 . 【探究新知】（一）、平面对量的坐标表示1在坐标系下,平面上任何一点都可用一对实数 坐标 来表示摸索：在坐标系下,向量是否可以用坐标来表示呢？取 x 轴、 y 轴上两个单位向量 i , j 作基底,就平面内作一向量aixyj记作： a =x, y 称作向量 a 的坐标y c O A ab x 如： a =OA =2 i2j=2, 2
28、 b =OB =i2j=2, 1 B c=OC =i5 =1, 5 i =1, 0 j =0, 1 0=0, 0 C 由以上例子让同学争论：向量的坐标与什么点的坐标有关？每一平面对量的坐标表示是否唯独的？两个向量相等的条件是？（两个向量坐标相等）名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 展现投影 摸索与沟通：直接由同学争论回答：摸索 1（1）已知 a x 1, y 1 b x 2, y 2 求 a +b , a b 的坐标2 已知 a x, y 和实数 , 求 a 的坐标结论： . 两个向量和与差的坐
29、标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 . . 实数与向量的积的坐标,等于用这个实数乘原先的向量相应的坐标；摸索 2. 已知Ax 1,y1,Bx 2,y2你觉得 AB 的坐标与 A、B点的坐标有什么关系？x AB =OBOA = x2, y2 x1,y 1 Ax 1, y1 y = x2 x 1, y2 y 1 Bx 2, y 2 结论： . 一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段终点的坐标减去始点的坐标；O 展现投影 例题讲评 （同学先做,同学讲,老师提示或适当补充）例 1. （教材 P104例 2）例 2. （教材 P104例 3）例 3. 已知三个力 F 3, 4, F 2, 5, F
30、x, y 的合力 F + F + F =0求 F 的坐标 . 例 4. 已知平面上三点的坐标分别为 A 2, 1, B 1, 3, C3, 4,求点 D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点；【巩固深化,进展思维】1如 M3, -2 N-5, -1 且MP1 2MN , 求 P 点的坐标；2如 A0, 1, B1, 2, C3, 4 3已知：四点 A5, 1, B3, 4, C1, 就 AB2 BC =-3,-3 3, D5, -3 求证：四边形 ABCD是梯形；【探究新知】 展现投影 摸索与沟通：摸索： 共线向量的条件是有且只有一个实数 b =a ,那么这个条件如何用坐标来表示呢？名师归纳总结
31、 设ax1,y1,bx2,y2其中b,y0x 1x 2第 12 页,共 18 页由ab得x 1,y1x22y 1y2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 消去 ：x1y2x2y10b学习必备欢迎下载0 0x 2, y2中至少有一个不为结论：ab b0 用坐标表示为x 1y2x2y 10留意：消去 时不能两式相除y1, y2有可能为 0. x 2b0这个条件不能写成y 1y2x 1,x2有可能为 0. x1x2向量共线的两种判定方法：a b b0x 1ya2y 1 展现投影 例题讲评 （同学先做,同学讲,老师提示或适当补充）例 5. 假如向量ABi2j,BC
32、imj,其中i,j分别是x 轴,y轴正方向上的单位向量,试确定实数m的值使 A、B、C三点共线例 6. 如向量a =-1,x与b=-x, 2共线且方向相同,求x 学习小结 （同学总结,其它同学补充）【巩固深化,进展思维】1. 教材 P105练习 1-5 2. 已知 a 2 , 1）,b x 2, , c 3 , y , 且 a / b / c , 求 x , y 的值3已知点 A0,1 B1,0 C1,2 D2,1 求证： AB CD 4证明以下各组点共线： A 1,2,B-3,4 , C2,3.5 P -1,2, Q0.5,0, R5,-6 5已知向量 a =-1,3 b =x,-1 且 a
33、 b 求 x . 学习小结 （同学总结,其它同学补充）向量加法运算的坐标表示 . 向量减法运算的坐标表示 . 实数与向量的积的坐标表示 . 向量共线的条件 . 五、评判设计 1作业：习题 2-4 A组第 1,2,3,7,8 题2（备选题）：已知 A-1, -1 B1,3 C1,5 D2,7 向量 AB 与 CD 平行吗？直线 AB与平行于直线 CD吗？解： AB =1-1, 3-1=2, 4 CD =2-1,7-5=1,2 名师归纳总结 又 2 2-4-1=0 AB CD第 13 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载AB
34、=2, 4 又AC=1-1, 5-1=2,6 2 4-2 6 0 AC 与 AB 不平行AB CD A,B,C不共线AB与 CD不重合六、课后反思：2.5 从力做的功到向量的数量积（2 课时）一、教学目标：1. 学问与技能（1）通过物理中“ 功” 等实例,懂得平面对量数量积的含义及其物理意义、几何意义 . （2）体会平面对量的数量积与向量投影的关系 . （3）把握平面对量数量积的运算律和它的一些简洁应用 . （4）能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判定两个平面对量的垂 直关系 . 2. 过程与方法教材利用同学们熟识的物理学问（ “ 做功” ）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义
35、 . 为了帮忙同学懂得和巩固相应的学问,通过讲解例题,培育同学规律思维才能 .3. 情感态度价值观教材设置了 4 个例题；通过本节内容的学习,使同学们熟识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系； 让同学进一步领会数形结合的思想；同时以较熟识的物理背景去懂得向量的数量积,有助于激发同学学习数学的爱好、 积极性和勇于创新的精神 . 二. 教学重、难点重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律 难点: 运算律的懂得. 三. 学法与教学用具 学法： 1 自主性学习 +探究式学习法： 2 反馈练习法： 以练习来检验学问的应用情形, 找出未把握的内容及其存在 的差距 . 教学用具 :
36、电脑、投影机 . 四. 教学设想【探究新知】（同学阅读教材 P107108,师生共同争论）名师归纳总结 摸索：请同学们回忆物理学中做功的含义,问对F ,B 第 14 页,共 18 页一般的向量 a 和 b,如何定义这种运算？1. 力做的功： W = | F| .| s|coss 是 F 与 s 的夹角2. 定义：平面对量数量积（内积）的定义,a.b = | a| b|cos并规定 0 与任何向量的数量积为0；3. 向量夹角的概念：范畴0 180C A A A O = 0A O A B O B B O B O = 180- - - - - - -B O A 精选学习资料 - - - - - -
37、- - - 展现投影 学习必备欢迎下载C 由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区分；因此强调留意的几个问题：两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos 的符号所打算；两个向量的数量积称为内积, 写成 a.b；今后要学到两个向量的外积 a b,而 ab 是两个数量的积,书写时要严格区分；在实数中,如 a 0,且 a.b=0,就 b=0；但是在数量积中,如 a 0,且 a.b=0,不能推出 b=0；由于其中 cos 有可能为 0. 这就得性质 2. 已知实数 a、b、c b 0 ,就 ab=bc a=c . 但是 a.b = b.c a = c如右图：a.b = | a| b|cos
38、 = | b|OA| a b.c = | b| c|cos = | b|OA| c a.b=b.c 但 a c在实数中,有 a.b c = a b.c ,但是 a.b c a b.c O b A 明显,这是由于左端是与 c 共线的向量, 而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共线 . 展现投影 摸索与沟通：摸索与沟通 1. 射影的概念是如何定义的,举例（或画图）说明；并指出应留意哪些问题 . BBBa A O O O b b b O a B1定义： | b|cos O A B1Oa A O B 1O O 叫做向量 b 在 a 方向上的射影；留意：射影也是一个数量,不是向量；当 为锐角时射影为正值；当 为钝角时射影为负值；当 为直角时射影为 0；当 = 0 时射影为 | b| ；当 = 180 时射影为 | b|. 摸索与沟通 2. 如何定义 向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义名师归纳总结 你能得到两个向量的数量积哪些的性质（同学争论完成,老师作必要的补充）. 第 15 页,共 18 页几何意义： 数量积 a.b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 | b|cos的乘积；性质： 设 a、b 为两个非零向量, e 是与 b 同向的单位向量；e.a = a.e =|