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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载aba2b课题 : 3.4 基本不等式第 1 课时授课类型：新授课【学习目标】1学问与技能：学会推导并把握基本不等式,懂得这个基本不等式的几何意义,并把握定 理中的不等号“ ” 取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3情态与价值：通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的爱好【才能培育】培育同学严谨、规范的学习才能,辩证地分析问题的才能,学以致用的才能,分析问题、解决问题的才能；【教学重点】应用数形结合的思想懂得不等式,并从不同角度探究不等式aba2b的证明过程；【教学难点】基本
2、不等式aba2b等号成立条件【板书设计】课题 : 3.4 基本不等式 ab a b（第 1 课时）2 1. 课题导入 2. 讲授新课 3. 随堂练习基本不等式 ab a b 的几 1问题探究探究 2 何背景：如图是在北京召开的第 图形中的不等关系；24 界国际数学家大会的会标,4. 课时小结 会标是依据中国古代数学家 2总结结论：赵爽的弦图设计的,颜色的明 3摸索证明：你能给 暗使它看上去象一个风车,代 表中国人民热忱好客；你能在 5、才能提高 这个图案中找出一些相等关 出它的证明吗？系或不等关系吗？ 补充例题 老师引导同学从 面积 的关系去找相等关系或不 等关系；名师归纳总结 - - - -
3、 - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【教学过程】1. 课题导入基本不等式aba2b的几何背景：如图是在北京召开的第24 界国际数学家大会的会标,会标是依据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热忱好客；等关系吗？你能在这个图案中找出一些相等关系或不老师引导同学从 面积 的关系去找相等关系或不等关系；2. 讲授新课1问题探究探究图形中的不等关系；将图中的“ 风车” 抽象成如图,在正方形ABCD中右个全等的直角三角形；设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为2 a2 b；这样, 4
4、 个直角三角形的面积的和是 2ab,正方形的面积为a22 b ；由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式：a2b22ab ；当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b 时,正方形EFGH 缩为一个点,这时有a2b22ab ；2总结结论： 一般的, 假如a,bR,那么a2b22ab 当且仅当ab 时取号3摸索证明：你能给出它的证明吗？名师归纳总结 证明：由于a22b22abab22b 时,ab20,第 2 页,共 5 页当ab 时,ab20,当a所以,ab0,即a2b2ab.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载ab
5、a2b41）从几何图形的面积关系熟悉基本不等式特殊的,假如a0,b0, 我们用分别代替a、b ,可得ab2ab ,（3）（4）通常我们把上式写作：aba2ba0,b0 2 ）从不等式的性质推导基本不等式aba2b用分析法证明：要证a2bab 1 只要证 a+b 2 要证（ 2）,只要证 a+b- 0 要证（ 3）,只要证（ - ）2明显,（4）是成立的；当且仅当a=b 时,（4）中的等号成立；3）懂得基本不等式aba2b的几何意义探究：课本第 110 页的“ 探究”在右图中, AB是圆的直径,点C是 AB上的一点, AC=a,BC=b；过点 C 作垂直于 AB的弦 DE,连接 AD、BD；你能
6、利用这个图形得出基本不等式 ab a b的几何说明吗？2易证 t ADt DB,那么 D 2AB 即Dab . 这个圆的半径为 a b,明显,它大于或等于 CD,即 a b ab,其中当且仅当点 C 与2 2圆心重合,即 ab 时,等号成立 . 因此：基本不等式 ab a b几何意义是“半径不小于半弦”2评述： 1. 假如把 a b 看作是正数 a、b 的等差中项,ab 看作是正数 a、b 的等比中项,2那么该定理可以表达为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 . 2. 在数学中,我们称 a b 为 a、b 的算术平均数,称2节定理仍可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 补
7、充例题 例 1 已知 x、y 都是正数,求证：1yx2；xyab 为 a、b 的几何平均数 . 本 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 （xy）（ x 2 y 2）（x3y学习必备欢迎下载3） x3y 3. 分析： 在运用定理：a2bab时,留意条件 a、b 均为正数, 结合不等式的性质x 把握好每条性质成立的条件 ,进行变形 . 解： x,y 都是正数x 0,yy 0,x x2 0,y 20,x30,y 30 1xy2xy2 即xy2. yxyxyx3y32 xy2xy 0 x 2y 22x2 y 2 0 x
8、3y320 （ x y）（x2y2）（ x 3 y 3） 2xy 2x2y22x 3 y3 x 3y3即（ x y）（x2y2）（ x 3 y 3） x 3y 3. 3. 随堂练习1. 已知 a、b、 c 都是正数,求证（ab）（b c）（c a） abc果. 分析：对于此类题目,挑选定理：a2bab（a0,b0）敏捷变形,可求得结解： a,b, c 都是正数ab2ab 0 ab 2bc 2ac abcbc2bc 0 ca2ac 0 （ a b）（bc）（ca） 2即（ ab）（ bc）（ca） abc. 4. 课时小结本节课,我们学习了重要不等式 a 2b 22ab；两正数 a、 b 的算术平均数（a b）,2几何平均数 （ab ）及它们的关系 （a bab ）. 它们成立的条件不同,前者只要求 a、2b 都是实数, 而后者要求 a、b 都是正数 . 它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具 下一节我们将学习它们的应用题： aba22b2, ab（a2b）2. . 我们仍可以用它们下面的等价变形来解决问名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载基本不等式名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页