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1、试卷第 1页，总 15页 高一数学试题 一、单选题（只有一个选项正确，共计 8 个小题，每题 5 分，共计 40 分)5 1复数 i 2 的共轭复数是()A 2 i B 2 i C 2 i D 2 i 【答案】C 【详解】5 因为 i 2 2 i，所以复数 5 i 2 的共轭复数是 2 i，选 C.2某单位有职工 100 人，不到 35 岁的有 45 人，35 岁到 49 岁的有 25 人，剩下的为 50 岁以上（包括 50 岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取 20 人，各年龄段分别抽取的人 数为（）A7，5，8 B9，5，6 C7，5，9 D8，5，7【答案】B 【详解】由于样本容量与总体中
2、的个体数的比值为 20 1，故各年龄段抽取的人数依次为 100 5 451 9，251 5，20 9 5 6.故选：B 5 5【点睛】本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,3“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常 用区间0,10 内的一个数来表示，该数越接近10 表示满意度越高.现随机抽取10 位北京市民，他们的幸福感指数为 3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的 75%分位 数是（）A7 B 7.5 C8 D 8.5【答案】C【详解】由题意，这 10 个人的幸福指数已经从小到大排列，因为 75%10 7.5，所以这 10 个人的
3、75%分位数是从小到大排列后第 8 个人的幸福指数，即 8.故选：C【点睛】本题主要考查分位数的概念和计算，属于基础题.试卷第 2页，总 15页 4一个袋子中有 4 个红球，2 个白球，若从中任取 2 个球，则这 2 个球中有白球的概试卷第 3页，总 15页 率是()4 3 A B 5 5 2 1 C D 5 3【答案】B【详解】解：一个袋子中有 4 个红球，2 个白球，将 4 红球编号为 1，2，3，4；2 个白球编号为 5，6从中任取 2 个球，基本事件为：1，2，1，3，1，4，1，5，1，6，2，3，2，4，2，5，2，6，3，4，3，5，3，6，4，5，4，6，5，6，共 15 个，
4、而且这些基本事件的出现是等可能的用 A 表示“两个球中有白球”这一事件，则 A 包含的基本事件有：1，5，1，6，2，5，2，6，3，5，3，6，4，5，4，6，5，6共 9 个，这 2 个球中有白球的概率是 p 9 3 故选 B【点睛】15 5 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 5某工厂对一批产品进行了抽样检测.此图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96，106，样本数据分组为96，98），98，100),100，102)，102，104),104，106,已知样本中产品净重小于 100 克的
5、 个数是 36，则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是().A90 B75 C60 D45【答案】A【解析】样本中产品净重小于 100 克的频率为(0.0500.100)20.3，频数为 36，样本总数为 .试卷第 4页，总 15页 样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的频率为(0.1000.1500.125)2 0.75，样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数为 1200.7590.考点：频率分布直方图.6某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有 6 名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外 的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评
6、分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情 况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照 70,80，80,90，90,100分组，绘成频率分布直方图如下：嘉宾 A B C D E F 评分 96 95 96 89 97 98 嘉宾评分的平均数为 x，场内外的观众评分的平均数为 x ，所有嘉宾与场内外的观众 1 2 评分的平均数为 x，则下列选项正确的是（）A x x1 x2 2 B x x1 x2 2 C x x1 x2 2 D x x x x1 x2 1 2 2 【答案】C 【详解】由表格中的数据可知，x1 96 95 96 89 97 98 6 95.17，由频率分布直方图
7、可知，x2 750.2 850.3 950.5 88，则 x1 x2 ，试卷第 5页，总 15页 由于场外有数万名观众，所以，x x x1 x2 x .2 2 1 故选：C.【点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考 查计算能力，属于基础题.7在 1，2，3，4 四个数中随机地抽取一个数记为 a，再在剩余的三个数中随机地抽取 a 一个数记为 b，则“b 不是整数”的概率为（）1 1 A B 3 4 2 3 C D 3 4 【答案】C【详解】由题意知基本事件总数为 12.a 1 1 1 2“不是整数”包含的基本事件有 ，b 2 3 4 3 2 3 3 4
8、，4 2 4 3 ，共 8 个.“a 不是整数”的概率 P 8 2.故选:C.b 12 3【点睛】本题考查古典概型,关键要准确列出基本事件,属于基础题.8古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土 克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质 不相克的概率为 3 2 A B 10 5【答案】C【详解】1 3 C D 2 5 从五种物质中随机抽取两种，所有抽法共有 10 种，而相克的有 5 种情况，5 1 1 1 则抽取的两种物质相克的概率是 ，故抽取两种物质不相克的概率是1 ，故选 C.【点睛】10 2 2 2 本题主要考查了古
9、典概型及其概率的计算公式的应用，以及相互对立事件的应用，其中 解答正确理解题意，合理利用对立事件的概率求解是解答的关键，着重考查了运算与求 解能力，属于基础题.试卷第 6页，总 15页 二、多选题（共 4 个小题，每题 5 分，全部答对得 5 分，不全但对得 3 分）9（多选题）已知集合 M m m in,n N，其中 i 为虚数单位，则下列元素属于 集合 M 的是（）A 1i1i【答案】BC 1i B 1i 1 i C 1 i D 1 i 2 【详解】根据题意，M m m in,n N 中，n 4k k N 时，in 1；n 4k 1k N 时，in i；n 4k 2k N 时，in 1；n
10、 4k 3k N 时，in i，M 1,1,i,i.选项 A 中，1i1i2 M；选项 B 中，选项 C 中，1i 1i 1i 1i 1 i 2 i M；1i 1i 1 i2 i M；1i1i选项 D 中，1 i 2 2i M.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.10抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 4,5,6”为事件 A,“向上的点数是 1,2”为事件 B,“向上的点数是 1,2,3”为事件 C,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件 D,则下列关于事件 A，B，C，D 判断正确的有（）AA 与 B 是互斥事件但不是对立事件 BA
11、 与 C 是互斥事件也是对立事件 CA 与 D 是互斥事件 DC 与 D 不是对立事件也不是互斥事件 试卷第 7页，总 15页 【答案】ABD【详解】抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 4,5,6”为事件 A,“向上的点数是 1,2”为事件 B,“向上的点数是 1,2,3”为事件 C,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件 D,在 A 中,A 与 B 不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故 A 正确；在 B 中,A 与 C 是对立事件,故 B 正 确；在 C 中,A 与 D 能同时发生,不是互斥事件,故 C 错误；在 D 中,C 与 D 能同时发生,不是对立事件也不是互
12、斥事件,故 D 正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了互斥与对立事件的判定,属于基础题.11如图所示的曲线图是 2020 年 1 月 25 日至 2020 年 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺 炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是（）1 A1 月 31 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了 3 B1 月 25 日至 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势 C2 月 2 日后到 2 月 10 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了 97 例 D2 月 8 日到 2 月 10 日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于 2 月 6 日到 2 月 8 日的增
13、长率 【答案】ABC【详解】1 月 31 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有 87 例，其中西安 32 例，所以西安所占比 32 1 例为 ，故 A 正确；87 3 由曲线图可知，1 月 25 日至 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增 试卷第 7 页，总 15页 趋势，故 B 正确；2 月 2 日后到 2 月 10 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了 213 116 97 例，故 C 正确；2 月 8 日到 2 月 10 日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了 88 74 7 98 88 5 ，2 月 6 日到 2 88 44 7 5 月 8 日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了
14、故选：ABC【点睛】，显然 74 37 ，故 D 错误.37 44 此题考查曲线图，根据图象特征判断选项说法是否正确，关键在于识图，弄清图中的数 据变化.12（多选）以下对各事件发生的概率判断正确的是（）.1 A甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是 3 B每个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数的和，例如 8 3 5，在不超过 14 的素 1 数中随机选取两个不同的数，其和等于 14 的概率为 15 C将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字 l，2，3，4，5，6）先后抛 5 掷 2 次，观察向上的点数，则点数之和是 6 的概率是 36 1 D从三件正品、一件次品
15、中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是 2 【答案】BCD【详解】对于 A，画树形图如下：从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有 9 种，这些结果出现的可能性相等，P（甲 1 1 2 获胜），P（乙获胜），故玩一局甲不输的概率是 ，故 A 错误；3 3 3 对于 B，不超过 14 的素数有 2，3，5，7，11，13 共 6 个，从这 6 个素数中任取 2 个，有 2 与 3，2 与 5，2 与 7，2 与 11，2 与 13，3 与 5，3 与 7，3 与 11，3 与 13，5 与 7，5 与 11，5 与 13，7 与 11，7 与 13，11 与 13 共 15 种结果，其中和
16、等于 14 的只有一组 1 3 与 11，所以在不超过 14 的素数中随机选取两个不同的数，其和等于 14 的概率为，15 故 B 正确；试卷第 8页，总 15 页 对于 C，基本事件总共有 6 6 36 种情况，其中点数之和是 6 的有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共 5 种情况，则所求概率是 5 36 ，故 C 正确；对于 D，记三件正品为 A1，A2，A3，一件次品为 B，任取两件产品的所有可能为 A1 A2 ，A1 A3，A1B，A2 A3 ，A2 B，A3 B，共 6 种，其中两件都是正品的有 A1 A2 ，A1 A3，A2 A3 ，3 1 共 3 种，
17、则所求概率为 P ，故 D 正确.故选 BCD.6 2 三、填空题（4 个小题，每题 5 分）13 有一批产品,其中一等品 10 件,二等品 25 件,次品 5 件,现用分层随机抽样的方法从这 批产品中抽出 8 件进行质量分析,则抽取的一等品有 件.【答案】2 【详解】抽取的一等品的件数为 8 10 25 5 10 2.14甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队 主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 41 获胜的概率是 【答案】0.18【详
18、解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以 4:1获胜的概率是 0.63 0.5 0.5 2 0.108,前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以 4:1获胜的概率是 0.4 0.62 0.52 2 0.072,综上所述，甲队以 4:1获胜的概率是 q 0.108 0.072 0.18.【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二 是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以 4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够 准确计算 15现有 7 名数理化成绩优秀者，分别用 A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2 表示，其 中 A1，A2，A3 的数学成绩优秀，
19、B1，B2 的物理成绩优秀，C1，C2 的化学成绩优秀.试卷第 9页，总 15 页 从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则 A1 和 B1 不全被选中的概率为 .5【答案】6【详解】从这 7 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名，所有可能的结果组成的 12 个样本点为 A1,B1,C1，A1,B1,C2，A1,B2,C1，A1,B2,C2，A2,B1,C1，A2,B1,C2，A2,B2,C1，A2,B2,C2，A3,B1,C1，A3,B1,C2，A3,B2,C1，A3,B2,C2.“A1 和 B1 全被选中”有 2 个样本点 A1,B1,C1，A
20、1,B1,C2，10 5“A1 和 B1 不全被选中”为事件 N 共有 10 个样本点，概率为 5 .12 6 故答案为:.6【点睛】本题考查古典概型的概率，列举样本点是解题的关键.16一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为 a，b，c，当且仅当有两个 数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如 213，134 等），若 a,b,c 1，2，3，4，且 a，b，c 互不相同，则这个三位数为”有缘数”的概率是 1【答案】2【解析】试题分析：由 1，2，3 组成的三位自然数为 123，132，213，231，312，321，共 6 个；同理由 1，2，4 组成的三位自然数共 6 个；由 1，
21、3，4 组成的三位自然数也是 6 个；由 2，3，4 组成的三位自然数也是 6 个 所以共有 666624 个 由 1，2，3 组成的三位自然数，共 6 个”有缘数”由 1，3，4 组成的三位自然数，共 6 个”有缘数”12 1 所以三位数为”有缘数”的概率 P 24 2 四、解答题（共计 70 分）试卷第 10页，总 15页 26 17（本小题 10 分）已知复数 z 1 mi（i 是虚数单位，m R），且 z (3 i)为纯虚 数（z 是 z 的共轭复数）m 2i（1）设复数 z1 1i，求 z1 ；a i2017（2）设复数 z2 ，且复数 z2 所对应的点在第一象限，求实数 a 的取值
22、范围 z 【答案】（1）z 26；（2）a 1 1 2 3 【详解】z 1mi，z 1mi.z(3 i)(1mi)(3 i)(3 m)(13m)i.又 z(3 i)为纯虚数，3 m 0 ，解得 m 3 z 1 3i.1 3m 0 （1）z1 3 2i 1i 5 1 i，z ；2 2 1 2 a i（2）z 1 3i，z2 13i(a 3)(3a 1)i，10 又复数 z2 所对应的点在第一象限，a 3 0 3a 1 0 1，解得：a 3 【点睛】如果 Z 是复平面内表示复数 z a bi(a,b R)的点，则当 a 0，b 0 时，点 Z 位于第一象限；当 a 0，b 0 时，点 Z 位于第二
23、象限；当 a 0，b 0 时，点 Z 位于 第三象限；当 a 0，b 0 时，点 Z 位于第四象限;当 b 0 时，点 Z 位于实轴上方的 半平面内；当 b 0 时，点 Z 位于实轴下方的半平面内 18（本小题 12 分）在某次数学考试中，小江的成绩在 90 分以上的概率是 0.25，在 80,90的概率是 0.48，在 70,80的概率是 0.11，在 60,70的概率是 0.09，在 60 分 以下的概率是 0.07.计算：（1）小江在此次数学考试中取得 80 分及以上的概率；（2）小江考试及格（成绩不低于 60 分）的概率.【答案】（1）0.73；（2）0.93.【详解】试卷第 11页，
24、总 15页 （1）分别记小江的成绩在 90 分以上，在80,90，70,80，60,70为事件 B，C，D，E，这四个事件彼此互斥.小江的成绩在 80 分及以上的概率 P B C P B P C 0.25 0.48 0.73.（2）方法一：小江考试及格（成绩不低于 60 分）的概率 P BCDE P BP C P DP E 0.25 0.48 0.110.09 0.93.方法二：小江考试不及格（成绩在 60 分以下）的概率是 0.07，根据对立事件的概率公 式，得小江考试及格（成绩不低于 60 分）的概率是10.07 0.93.19（本小题 12 分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计
25、，随机抽取 M 名 学生作为样本，得到这 M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率 的统计表和频率分布直方图.(1)求出表中 M，p 及图中 a 的值；(2)若该校高三学生有 240 人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间10,15)内的人数；(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数 【答案】见解析 10【解析】(1)由分组10,15)内的频数是 10，频率是 0.25，知 M 0.25，所以 m 4 M40.因为频数之和为 40，所以 1024m240，解得 m4，p M 0.10.40 分组 频数 频率 10,15)10 0.25 15,20)24
26、 n 20,25)m p 25,30 2 0.05 合计 M 1 试卷第 12页，总 15页 因为 a 是对应分组15,20)的频率与组距的商，所以 a 24 405 0.12.(2)因为该校高三学生有 240 人，在10,15)内的频率是 0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 60.15 20 24(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数是 2 0.5 0.25 17.5.因为 n 40 0.6，所以样本中位数是 15 17.1，估计这次学生参加社区服务人 a 数的中位数是 17.1.样本平均人数是 12.50.2517.50.622.50.1 27.50.05
27、17.25，估计这次学生参加社区服务人数的平均数是 17.25.考点：中位数、众数、平均数.20（本小题 12 分）2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某 单位老、中、青员工分别有 72,108,120 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员 工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受情况.（）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为 A,B,C,D,E,F.享受情况如下表，其中“”表示享受，“”表示不享受.现从这 6 人中
28、 随机抽取 2 人接受采访.员工 项目 A B C D E F 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设 M 为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 M 发生 的概率.试卷第 13页，总 15页 【答案】（I）6 人，9 人，10 人；11（II）（i）见解析；（ii）.15【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为 6:9:10，由于采取分层抽样的方法从中抽取 25 位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取 6 人，9 人，10 人.（II）（i）从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所
29、有可能结果为 A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,B,C,B,D,B,E,B,F,C,D,C,E,C,F,D,E,D,F,E,F,共 15 种；（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为 A,B,A,D,A,E,A,F,B,D,B,E,B,F,C,E,C,F,D,F,E,F,共 11 种，11 所以，事件 M 发生的概率 P(M).15【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概 率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.21（本小题 12 分）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行 4 轮考核，每轮设有一个 问题，能正确回答者进入
30、下一轮考核，否则被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、5 4 三、四轮问题的概率分别为 、6 5 3 1、，且各轮问题能否正确回答互不影响 4 3 （）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（）求该选手至多进入第三轮考核的概率；【答案】解：（）【详解】1 1；（）6 2 （）设事件 Ai(i 1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第 i 轮问题”5 4 3 1 由已知 P(A1)6，P(A2)5，P(A3)4，P(A4)3 （）设事件 B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则 P(B)P(A A A)5 4(13)1 1 2 3 6 5 4 6（）设事件 C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则 试卷
31、第 14页，总 15页 P(C)P(A A A A A A)1 5 1 5 4(13)1 1 1 2 1 2 3 6 6 5 6 5 4 2 22（本小题 12 分）十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村 脱贫,坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好 地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100 个蜜柚进行测重，其质量分别在 1500,1750)，1750,2000)，2000,2250),2250,2500),2500,2750)，2750,3000(单位:克)中，其频率分布直方图如图所示，（）已经按分层抽样的方法从质量落在 1500,175
32、0)，2000,2250)的蜜柚中抽取了 5 个，现从这 5 个蜜柚中随机抽取 2 个求这 2 个蜜柚质量均小于 2000 克的概率:（）以各组数据的中间值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村 的蜜柚树上大约还有 5000 个蜜柚等待出售，某电商提出了两种收购方案:方案一:所有蜜柚均以 30 元/千克收购；方案二:低于 2250 克的蜜柚以 60 元/个收购，高于或等于 2250 克的以 80 元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.1【答案】（）10【详解】；（）选择方案二.（）质量落在1500,1750和2000,2250中的频率分别是 0.1 和 0.15,分层
33、抽样的方 法抽取 5 个蜜柚，则1500,1750中抽取 2 个，2000,2250中抽取 3 个，2 个蜜柚质 量均小于 2000 的概率为 1；10 （）根据频率得 5000 个蜜柚在各层的频数分别为 500,500，750,2000,1000,250 方案一收益为:试卷第 15页，总 15页 30(1.625500+1.875500+2.125750+2.3752000+2.6251000+2.875250)343125(元)方案二收益为:(500 500 750)60 2000 1000 25080 365000(元)365000 343125，选择方案二.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用和古典概型的计算.