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1、 1/9 2021 北京西城高二（下）期末 数 学 2021.7 本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分（选择题 共 40分）一、选择题共 10小题，每小题 4 分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）2与8的等差中项是（A）5（B）5（C）4（D）4（2）已知函数()exxf x，则()fx（A）1exx（B）1exx（C）1exx（D）1exx（3）在抛物线22(0)ypx p上，若横坐标为3的点到焦点的距离为5，则p（A）12（B）1（C）2（D）4（4）如图，在正方体1111ABC
2、DA B C D中，E为CD的中点，则直线1A E与BC所成角的余弦值为 （5）圆221:(3)(4)1Cxy和圆222:16Cxy的位置关系为（A）内切（B）相交（C）外切（D）外离（A）25（B）35（C）13（D）23 2/9（6）设na是公比为q的等比数列，且0(1,2,)nan若na为递增数列，则q的取值范围是（A）(,1)（B）(1,0)（C）(0,1)（D）(1,)（7）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，记X为“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的方差()D X （A）2（B）1（C）12（D）14（8）在空间直角坐标系Oxyz中，已知(,0,0),(0,0),(0,0,)(0,
3、0,0)A aBbCcabc，且ABC的面积为6过O作OH 平面ABC于点H若三棱锥OABC的体积为6，则点H的坐标可以为（A）(1,1,1)（B）(1,2,2)（C）(1,2,1)（D）(1,2,3)（9）记nS为数列na的前n项和若(8)(1,2,)nannn，则 （A）na有最大项，nS有最大项（B）na有最大项，nS有最小项（C）na有最小项，nS有最大项（D）na有最小项，nS有最小项（10）已知函数32()31f xaxx若()f x有且只有一个零点0 x，且00 x，则实数a的取值范围是（A）(,2)（B）(2,0)（C）(2,)（D）(0,2)第二部分（非选择题 共 110 分
4、）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25分。（11）已知函数()cosf xx，则()6f _ （12）已知双曲线22:13xyCm的焦距为6，则实数m _；C的渐近线方程为_ （13）甲、乙两地降雨的概率分别为60%和80%，两地同时降雨的概率为30%则在甲地降雨的条件下，乙地也降雨的概率为_ 3/9（14）用铁皮围成一个容积为34m的无盖正四棱柱形水箱，需用铁皮的面积至少为_2m（注：铁皮厚度不计，接缝处损耗不计）（15）已知点列(,0)(1,2,)nnA xn，其中120,1xx3A是线段12A A的中点，4A是线段23A A的中点，nA是线段21nnAA的中点，记1nnnax
5、x则3a _；nx _ 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 13分）已知na是等比数列，141,8aa（）求na的通项公式；（）若等差数列nb满足2345,baba，求nb的前n项和nS （17）（本小题 13分）已知函数2()(31)exf xxx（）求()f x的单调区间；（）求()f x在区间 2,0上的最大值和最小值 （18）（本小题 15分）如图，在长方体1111ABCDA B C D中，底面ABCD是边长为1的正方形，12AA，,E F分别为11,CC AA的中点 （）求证：1/D F平面BDE；（）求直线1DE与平面BD
6、E所成角的正弦值；（）求直线1D F与平面BDE之间的距离 4/9（19）（本小题 14分）某超市销售5种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：牙膏品牌 A B C D E 销售价格 15 25 5 20 35 市场份额 15%10%25%20%30%（）从这5种不同品牌的牙膏中随机抽取1管，估计其销售价格低于25元的概率；（）依市场份额进行分层抽样，随机抽取20管牙膏进行质检，其中A和B共抽取了n管（）求n的值；（）从这n管牙膏中随机抽取3管进行氟含量检测记X为抽到品牌B的牙膏数量，求X的分布列和数学期望（）品
7、牌F的牙膏下月进入该超市销售，定价25元/管，并占有一定市场份额原有5个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变设本月牙膏的平均销售价为每管1元，下月牙膏的平均销售价为每管2元，比较12,的大小（只需写出结论）（20）（本小题 15分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，且过点(2,1)A （）求椭圆C的方程；（）过点(0,2)B作斜率为k的直线交椭圆C于点,M N，直线,MA NA分别交直线2y 于点,P Q求证：B为PQ的中点 （21）（本小题 15分）已知函数e()elnxf xx（）求曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程；（）证明：()3f x 5/9
8、 2021 北京西城高二（下）期末数学 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 4分，共 40 分）（1）B （2）C（3）D（4）D（5）C（6）C（7）B （8）B （9）A（10）C 二、填空题（共 5小题，每小题 5分，共 25 分）（11）12 （12）6 2yx （13）50%（14）12（15）14 1211()32n 注：（12）、（15）题第一空 2 分，第二空 3分。三、解答题（共 6小题，共 85 分）（16）（共 13 分）解：（）设等比数列na的公比为q 由题设，334118aa qq，2 分 解得2q 4 分 所以1112nnnaa q 6 分（）设等差数列n
9、b的公差为d 因为23454,16baba，所以42642bbd 8 分 122bbd 10 分 所以nb的前n项和21(1)352nn ndSnbnn 13 分（17）（共 13 分）解：（）2()(2)e(1)(2)exxfxxxxx 2 分 令()0fx，得121,2xx 4 分()f x与()fx的变化情况如下：6/9 x(,1)1(1,2)2(2,)()fx 0 0 ()f x 所以()f x的单调递减区间为(1,2)，单调递增区间为(,1)和(2,)7 分（）由（）知，()f x在区间(2,1)上单调递增，在区间(1,0)上单调递减 所以()f x在区间 2,0上的最大值为5(1)
10、ef 9 分()f x在区间 2,0上的最小值为min(2),(0)ff 11 分 因为211(2),(0)1eff，且2211111e3，所以()f x在区间 2,0上的最小值为(0)1f 13 分（18）（共 15 分）解：（）取1BB的中点G，连接1,FG C G 因为1111/ABC D，且1111ABC D；11/ABFG，且11ABFG，所以11/FGC D，且11FGC D 所以四边形11C D FG为平行四边形 所以11/D FC G 1 分 在矩形11BCC B中，因为,E G分别为11,CC BB的中点，所以1/BEC G所以1/D FBE 2 分 又1DF 平面BDE，3
11、 分 所以1/D F平面BDE 4 分（）如图建立空间直角坐标系Dxyz 5 分 则(0,0,0)D，(1,1,0)B，(0,1,1)E，1(0,0,2)D 所以(,)11 0DB，(,)0 11DE，1(0,1,1)D E 设平面BDE的法向量为(,)x y zm，则 0,0,DBDE mm 即0,0.xyyz 7 分 令1y ，则1x，1z，于是(1,1,1)m 8 分 7/9 设直线1DE与平面BDE所成角为，则 1116cos,sin3|D ED ED E mmm 11 分（）由（）知1/D F平面BDE，所以直线1D F与平面BDE之间的距离为点1D到平面BDE的距离 13 分 所以
12、直线1D F与平面BDE之间的距离为 12 3|3|D Ed mm 15 分（19）（共 14 分）解：（）记“从该超市销售的牙膏中随机抽取1管，其销售价格低于25元”为事件K 由题设，()0.15 0.25 0.20.6P K 3 分（）（）由题设，品牌A的牙膏抽取了20 15%3管，品牌B的牙膏抽取了20 10%2管，所以325n 5 分（）随机变量X的可能取值为0,1,2 3335C1(0)C10P X；6 分 213235C C3(1)C5P X；7 分 123235C C3(2)C10P X 8 分 所以X的分布列为：X 0 1 2 P 110 35 310 9 分 X的数学期望为1
13、336()012105105E X 11 分（）12 14 分（20）（共 15 分）8/9 解：（）由题设，得 2222223,2211.abaab 2 分 解得 28a，22b 所以椭圆C的方程为22182xy 4 分（）由题意，设直线MN的方程为2ykx 由222,182ykxxy 得22(41)1680kxkx 5 分 由222564(41)80kk，得214k 设11(,)M x y，22(,)N xy，则 1221641kxxk，122841x xk 7 分 当12x 时，直线MA的方程为111(2)12yyxx 令2y，得点P的横坐标11221Pxxy 8 分 同理可得点Q的横坐
14、标22221Qxxy 9 分 121222411PQxxxxyy 121222411xxkxkx 10 分 121212(21)2()(1)(1)kkx xxxkxkx 12 分 因为12122228162()04141kkkx xxxkk，所以02PQBxxx 所以B为PQ的中点 13 分 当12x 时，(2,1)M，(2,2)P 直线MB的方程为3240 xy，可求得2 7(,)5 5N 所以直线NA的方程为460 xy，从而(2,2)Q 9/9 此时依然有02PQBxxx 15 分 综上，B为PQ的中点（21）（共 15 分）解：（）函数()f x的定义域为(0,)1 分 且()eln1
15、xf xx，1()exfxx 3 分 因为(1)e 1f，(1)e 1f ，5 分 故所求的切线方程为(e1)(e1)(1)yx，即(e1)2yx 6 分（）由（）可知1()exfxx为(0,)上的增函数 7 分 因为(1)e10f ，1e()202f，所以存在唯一的01(,1)2x，使0001()e0 xfxx 9 分 从而有001exx，0001lnlnxxx 11 分 因为0(0,)xx时，()0fx；0(,)xx时，()0fx，所以()f x在区间0(0,)x上单调递减，在区间0(,)x 上单调递增 13 分 所以0min00001()()eln113xf xf xxxx 所以()3f x 15分