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1、三角形的五心定理 一、三角形五心定义 内心是三角形的三内角平分线交点也是三角形内切圆的圆心 重心是三角形的三条中线的交点.（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）外心是三角形的三边的垂直平分线的交点.三角形外接圆的圆心.垂心是三角形的三条高的交点 旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点.三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心 二、三角形五心性质 内心:1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.2、P为ABC所在平面上任意一点，点O是ABC内心的充要条件是：向
2、量cbaPCcPBbPAaPO)(.3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC 边于N，则有BCACABCNACBNABONAO:)(:.重心:1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 21.2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小.4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为)3,3(321321yyyxxx.外心:1、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外
3、心在斜边上，与斜边的中点重合.2、若O是ABC的外心，则ABOC2（A为锐角或直角）或ABOC23600（A为钝角）.3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：1d，2d，3d分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。321ddc，312ddc，213ddc；321cccc.重心坐标：)2,2,2(213132ccccccccc.4、外心到三顶点的距离相等.垂心:1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这 7 个点可以得到 6 个四点圆.2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且2:1:GHOG.（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点
4、对边距离的 2 倍.4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.OAOCOCOBOBOA 旁心:1、每个三角形都有三个旁心.2、旁心到三边的距离相等.注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。三、三角形五心性质证明 垂心：已知：ABC 中，AD、BE 是两条高，AD、BE 交于点 O，连接 CO 并延长交 AB 于点 F，求证：CFAB.证明：连接 DE ADB=AEB=90 度 A、B、D、E 四点共圆 ADE=ABE EAO=DAC AEO=ADC AEOADC AE/AO=AD/AC EADOAC ACF=ADE=ABE 又ABE+BAC=90 度 ACF+B
5、AC=90 度 CFAB 重心:三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍.证明：如图：ABC 中 D 为 BC 中点，E 为 AC 中点，F 为 AB 中点，G 为 ABC 重心 做 BG 中点 H，GC 中点 I HI 为 GBC 的中位线 HI 内 心 三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然 五心性质别记混，做起题来真是好.五心的性质 三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相
6、等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心 （9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.下面是更为详细的性质：1、垂心 三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性质：设 ABC的三条高为 AD、BE、CF，其中 D、E、F 为垂足,垂心为 H。性质 1 垂心 H
7、 关于三边的对称点，均在 ABC 的外接圆上。性质 2 ABC 中,有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH HD=BHHE=CHHF。性质 3 H、A、B、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。性质 4 ABC,ABH,BCH,ACH 的外接圆是等圆。性质 5 在非直角三角形中,过 H 的直线交 AB、AC 所在直线分别于 P、Q，则 AB/APtanB+AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。性质 6 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2 倍。性质 7 设 O，H 分别为 ABC 的外心和垂心，则BAO=H
8、AC，ABH=OBC，BCO=HCA。性质8 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。性质 9 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。2、内心 三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，即三角形三个角平分线的交点。内心有下列优美的性质：性质 1 设 I 为 ABC 的内心,则 I 为其内心的充要条件是：到 ABC 三边的距离相等。性质 2 设 I 为 ABC 的内心，则BIC=90+12A，类似地还有两式；反之亦然。性质 3 设 I 为 ABC 内一点，AI 所在直线交 ABC 的外接圆于 D。
9、I 为 ABC 内心的充要条件是 ID=DB=DC。性质 4 设 I 为 ABC 的内心，BC=a，AC=b，AB=c，I 在 BC、AC、AB 上的射影分别为 D、E、F；内切圆半径为 r，令 p=(1/2)(a+b+c)，则(1)S ABC=pr；(2)r=2S ABC/a+b+c；(3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c；(4)abcr=pAIBICI。性质 5 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若 I 为 ABC 的A 平分线 AD(D 在 ABC 的外接圆上)上的点，且 DI=DB，则 I为 ABC 的内心。性质 6
10、设 I 为 ABC 的内心，BC=a，AC=b，AB=c，A 的平分线交 BC 于 K,交 ABC 的外接圆于 D，则 AI/KI=AD/DI=DI/DK=(b+c)/a。3、外心 三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心.即三角形三边中垂线的交点。外心有如下一系列优美性质：性质 1 三角形的外心到三顶点的距离相等，反之亦然。性质 2 设 O 为 ABC 的外心，则BOC=2A，或BOC=360-2A(还有两式)。性质 3 设三角形的三条边长，外接圆的半径、面积分别为 a、b、c,R、S，则 R=abc/4S。性质 4 过 ABC 的外心 O 任作一直线与边 AB、AC(或延长线)分别相交于 P、
11、Q 两点，则 AB/AP sin2B+AC/AQsin2C=sin2A+sin2B+sin2C。性质 5 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。4、重心 性质 1 设 G 为 ABC 的重心，ABC 内的点 Q 在边 BC、CA、AB 边上的射影分别为 D、E、F，则当 Q 与 G 重合时 QDQEQF 最大；反之亦然。性质 2 设 G 为 ABC 的重心，AG、BG、CG 的延长线交 ABC 的三边于 D、E、F,则S AGF=S BGD=S CGE；反之亦然。性质 3 设 G 为 ABC 的重心，则 S ABG=S BCG=S ACG=(1/3)S ABC；反之亦然。5、旁心 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2、每个三角形都有三个旁心。3、旁心到三边的距离相等。