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1、北 京 四 中 行星的运动、万有引力定律、引力常量的测定 编稿老师：李建宁 审稿老师：李建宁 责 编：郭金娟 学习重点：（一）“日心说”的建立过程和行星运动的规律 （二）万有引力定律的内容及指导过程 （三）卡文迪许扭秤装置测量引力常量的原理 内容讲解：（一）地心说和日心说的发展过程 历史上曾经有“地心说”和“日心说”两种对立的学说。“地心说”认为地球是宇宙的中心，它是静止不动的，太阳、月亮和其它行星都围绕地球运动。“日心说”认为太阳是宇宙的中心，地球和其它行星都围绕太阳运动。公元二世纪希腊学者托勒密改进了“地心说”，这个学说不仅符合人们的日常经验，也符合宗教神学的理论基础，因而在此后的 100
2、0 多年中始终占据统治地位。随着人类对天体运行的不断研究，对行星运动的观测越来越精确，人们发现用“地心说”描述行星运动存在很多问题。哥白尼在前人研究的基础上重新提出了“日心说”。他认为太阳是宇宙的中心，其它天体（包括地球）都围绕太阳作匀速圆周运动。哥白尼的“日心说”简单地说明了许多天文学问题，宣告了自然科学的诞生。（二）开普勒行星运动定律 尽管“日心说”比“地心说”前进了一大步，但用“日心说”得出的结果仍然不能很好地与行星位置的观测结果相符。德国天文学家开普勒继承和总结了他的导师第谷的全部观测资料，通过大量计算终于发现了行星运动的规律，即开普勒三定律：1、开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动
3、的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上；2、开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等（如图所示）；3、开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。用公式表述为：（式中 R 代表行星运动轨道的半长轴，T 代表行星公转周期，如图所示），比值 k 是一个与行星无关的量。说明：行星绕太阳运动都符合，如地球和木星比较有，而月球、人造卫星以及其它行星的卫星并不是主要围绕太阳运动的，它们和行星比较有：。同一行星的不同卫星也符合运动规律。但 k与 k 的大小不同。（三）万有引力定律的发现及推导过程 1、万有引力定律的发现 开普勒定
4、律描述了行星如何运动。行星为什么这样运动？牛顿在前人研究成果的基础上，发现了万有引力定律，并经试验检验确立下来。2、万有引力定律的推导过程 现在把行星运动简化为绕太阳的匀速圆周运动，从开普勒定律和牛顿运动定律出发论证万有引力定律。设某行星的质量为 m，轨道半径为 r，周期为 T，根据开普勒第三定律，则该行星所受向心力应为，牛顿认为这个力就是太阳对行星的引力，它与行星的质量成正比，与行星到太阳的距离的二次方成反比，可表示为：。根据牛顿第三定律，太阳本身也要受到大小相等、方向相反的力，而且应与太阳的质量成正比，即 由此可知。设想任意两物体间均存在上述引力，并用 m1和 m2表示两物体的质量，则引力
5、关系式为，引入比例系数 G，得，这样就得到了万有引力定律的表达式。3、万有引力定律的内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。4、万有引力定律的表达式：，比例系数 G 是一个常量，叫做引力常量。引力常量的数值由实验测定。（四）对万有引力定律的理解 1、万有引力存在于任何两个物体之间。虽然我们推导万有引力定律是由太阳对行星的引力导出的，但我们知道，太阳和行星并不是特殊的物体（如带电体），所以引力存在于任何两个物体之间，也正因为如此，这个定律被称为万有引力定律。只不过一般物体的质量与星球的质量相比过小，它们之间的引力也非常小，我
6、们不易感觉到而已。2、公式中 r 的含义 （1）当两个物体相距很远，可以视为质点时，r 为两个质点之间的距离。（2）如果两个物体是规则形状的均匀物体，则 r 为两物体几何中心之间的距离。例如物体是两个球体，则 r 是两个球心之间的距离。3、物体因为有质量而产生引力。从万有引力定律可以看出，物体间的引力由相互作用的两个物体的质量决定，所以质量是引力产生的原因。4、重力实际上就是地球对地球上物体的万有引力的一个分力。地球上的物体随地球的自转作圆周运动，向心力由万有引力的另一个分力提供，如图所示。但这个力很小，通常可忽略不计，地球附近物体的重力与其万有引力的大小是近似相等的。（1）物体在地球表面：，
7、则地球表面重力加速度为 （2）物体在距地球表面 h 高度处：，则距地球表面 h 高度处重力加速度为 （五）引力常量的测定 1、卡文迪许扭秤装置的设计思想：扭秤装置把微小力转变成力矩来反映（一次放大），扭转角度又通过光标的移动来反映（二次放大）。根据力矩平衡，金属丝的扭转力矩与万有引力的力矩相等，从而可以确定物体间的万有引力。再测出两球之间的距离 r，代入万有引力定律公式中，则可得到引力常量 G 的值。卡文迪许测定的 G 值为 6.75410-11Nm2/kg2，现在公认的 G 值为 G=6.6710-11Nm2/kg2。2、引力常量 G 的物理意义是：两个 1kg 的物体相距 1m 所受的万有
8、引力为6.6710-11N。由此可知，一般物体间的万有引力如此之小，我们根本不可能感受到，因而一般物体间的万有引力可以忽略不计。但天体与天体、天体与一般物体的引力却较大。典型例题：例 1、已知太阳的质量 M=2.01030kg，地球的质量 m=6.01024kg，太阳与地球相距 r=1.51011m，求（1）太阳对地球的万有引力；（2）地球对太阳的万有引力。分析：根据万有引力定律，任何两个物体之间都相互吸引，引力的大小与两物体质量的乘积成正比，与其距离的平方成反比，万有引力定律的表达式为：，地球对太阳的引力与太阳对地球的引力大小相等，方向相反，二者的关系是作用力与反作用力。解：F=F=3.56
9、1022N 例 2、已知地球半径为 R=6.4106m，一个质量为 m=50kg 的人在地面上，求地球对其引力的大小。解：可见，地球上物体所受的地球的引力约等于物体的重力，这也证实了我们前面的结论。练习题：1、宇宙飞船围绕太阳在近似圆形的轨道上运动，若轨道半径是地球轨道半径的9 倍，则宇宙飞船绕太阳运行的周期是：（）A、3 年 B、9 年 C、27 年 D、81 年 2、某行星的半径是地球半径的 3 倍，质量是地球质量的 36 倍，则该行星表面的重力加速度是地球表面重力加速度：（）A、4 倍 B、6 倍 C、1/4 倍 D、12 倍 3、已知月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的 1/6，
10、那么在月球表面重 588N 的物体在地球表面：（）A、在月球上质量为 60kg B、在地球上质量为 60kg C、在地球上质量为 360kg D、在地球表面重 3528N 4、地球表面上的物体均随地球一起转动，因此：（）A、地球上的物体作圆周运动的角速度相同 B、万有引力就是地球上的物体作圆周运动的向心力 C、赤道上的物体的向心加速度最大 D、物体的向心加速度的方向都是指向地心的 5、登月飞行器关闭发动机后在离月球表面 112km 的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期是 120.5min。已知月球半径是 1740km，根据这些数据求出月球的平均密度。（G=6.6710-11Nm2/kg2）参考答案：1、C 2、A 3、CD 4、AC 5、3.26103kg/m3