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1、梦想不会辜负每一个努力的人.1 2010 中考数学热点专题突破训练动点问题 1、（09 包头）如图，已知ABC中，10ABAC厘米，8BC 厘米，点D为AB的中点（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA上由 C 点向 A 点运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿A
2、BC三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在ABC的哪条边上相遇？解：（1）1t 秒，3 13BPCQ 厘米，10AB 厘米，点D为AB的中点，5BD 厘米 又8PCBCBPBC，厘米，835PC 厘米，PCBD 又ABAC，BC，BPDCQP （4 分）PQvv，BPCQ，又BPDCQP，BC，则45BPPCCQBD，点P，点Q运动的时间433BPt 秒，515443QCQvt厘米/秒 （7 分）（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得1532 104xx，解得803x 秒 点P共运动了803803 厘米 A Q C D B P 梦想不会辜负每一个努力的人.2 802 2
3、824，点P、点Q在AB边上相遇，经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇 （12 分）2、（09 齐齐哈尔）直线364yx 与坐标轴分别交于AB、两点，动点PQ、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止点Q沿线段OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点P沿路线OBA运动（1）直接写出AB、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S 时，求出点P的坐标，并直接写出以点OPQ、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标 解（1）A（8，0）B（0，6）1 分（2）86OAOB，10AB 点Q由O到A的时间是881（秒）点P的速度是6 1
4、028（单位/秒）1 分 当P在线段OB上运动（或 03t）时，2OQtOPt，2St 1 分 当P在线段BA上运动（或38t）时，6 102162OQtAPtt，,如图，作PDOA于点D，由PDAPBOAB，得4865tPD，1 分 21324255SOQPDtt 1 分（自变量取值范围写对给 1 分，否则不给分）（3）8 2455P，1 分 1238 2412 241224555555IMM，3 分 x A O Q P B y 梦想不会辜负每一个努力的人.3 3（09 深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y=2x8 分别与 x 轴，y 轴相交于 A，B两点，点 P（0，k）是 y 轴
5、的负半轴上的一个动点，以 P 为圆心，3 为半径作P.（1）连结 PA，若 PA=PB，试判断P 与 x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当 k 为何值时，以P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形？解：（1）P 与 x 轴相切.直线 y=2x8 与 x 轴交于 A（4，0），与 y 轴交于 B（0，8），OA=4，OB=8.由题意，OP=k，PB=PA=8+k.在 RtAOP 中，k2+42=(8+k)2，k=3，OP 等于P 的半径，P 与 x 轴相切.（2）设P 与直线 l 交于 C，D 两点，连结 PC，PD 当圆心 P在线段 OB 上时,作 PECD 于 E.P
6、CD 为正三角形，DE=12CD=32，PD=3，PE=3 32.AOB=PEB=90，ABO=PBE，AOBPEB，3 342,=4 5AOPEABPBPB即，3 15,2PB 3 1582POBOPB，3 15(0,8)2P，梦想不会辜负每一个努力的人.4 3 1582k.当圆心 P 在线段 OB 延长线上时,同理可得 P(0,3 1528)，k=3 1528，当 k=3 1528 或 k=3 1528 时，以P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形.4（09 哈尔滨）如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（3，4
7、），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H （1）求直线 AC 的解析式；（2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终点 C 匀速运动，设PMB 的面积为 S（S0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，MPB 与BCO 互为余角，并求此时直线 OP与直线 AC 所夹锐角的正切值 解：梦想不会辜负每一个努力的人.5 5（09 河北）在 Rt ABC 中，C=90，AC=3，AB=A C
8、B P Q E D 图 16 梦想不会辜负每一个努力的人.6 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点 P、Q 运动的时间是t 秒（t0）（1）当 t=2 时，AP=，点 Q 到 AC 的距离是 ；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求 APQ
9、的面积 S 与 t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成 为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值 解：（1）1，85；（2）作QFAC 于点F，如图 3，AQ=CP=t，3APt 由 AQFABC，22534BC，得45QFt45QFt 14(3)25Stt，即22655Stt （3）能 当 DEQB 时，如图 4 DEPQ，PQQB，四边形 QBED 是直角梯形 此时AQP=90 由APQ ABC，得AQAPACAB，即335tt 解得98t 如图 5，
10、当 PQBC 时，DEBC，四边形 QBED 是直角梯形 此时APQ=90 由AQP ABC，得 AQAPABAC，即353tt 解得158t （4）52t 或4514t 点 P 由 C 向 A 运动，DE 经过点 C 连接 QC，作 QGBC 于点G，如图 6 PCt，222QCQGCG2234(5)4(5)55tt A C B P Q E D 图 4 A C B P Q E D 图 5 A C(E)B P Q D 图 6 G A C(E)B P Q D G 梦想不会辜负每一个努力的人.7 由22PCQC，得22234(5)4(5)55ttt，解得52t 点 P 由 A 向 C 运动，DE
11、经过点 C，如图 7 22234(6)(5)4(5)55ttt，4514t】6（09河 南）如 图，在RtABC中，9060ACBB，2BC 点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边 于点D过点C作CEAB交直线l于点E，设直线l的旋转 角 为 （1）当 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 ；当 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为 ；（2）当90时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由 解（1）30，1；60，1.5；4 分 （2）当=900时，四边形EDBC是菱形.=ACB=900，BC/ED.CE/AB,四边形EDBC
12、是平行四边形.6 分 在 RtABC中，ACB=900，B=600,BC=2,A=300.AB=4,AC=23.AO=12AC=3.8 分 在 RtAOD中，A=300，AD=2.BD=2.BD=BC.又四边形EDBC是平行四边形，四边形EDBC是菱形 10 分 7（09济 南）如 图，在 梯 形ABCD中，354 245ADBCADDCABB，动点M从O E C B D A l O C B A（备用图）A D C B M N 梦想不会辜负每一个努力的人.8 B点出发沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动设运动
13、的时间为t秒（1）求BC的长（2）当MNAB时，求t的值（3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形 解：（1）如图，过A、D分别作AKBC于K，DHBC于H，则四边形ADHK是矩形 3KHAD 1 分 在RtABK中，2sin454 242AKAB 2cos454 242BKAB 2 分 在RtCDH中，由勾股定理得，22543HC 43310BCBKKHHC 3 分 （2）如图，过D作DGAB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形 MNAB MNDG 3BGAD 1037GC 4 分 由题意知，当M、N运动到t秒时，102CNtCMt，DGMN NMCDGC 又CC MNCGDC CN
14、CMCDCG 5 分 即10257tt 解得，5017t 6 分（3）分三种情况讨论：当NCMC时，如图，即102tt（图）A D C B K H（图）A D C B G M N 梦想不会辜负每一个努力的人.9 103t 7 分 当MNNC时，如图，过N作NEMC于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得11102522ECMCtt 在RtCEN中，5cosECtcNCt 又在RtDHC中，3cos5CHcCD 535tt 解得258t 8 分 解法二：90CCDHCNEC ，NECDHC NCECDCHC 即553tt 258t 8 分 当MNMC时，如图，过M作MFCN于F点.1122FCN
15、Ct 解法一：（方法同中解法一）132cos1025tFCCMCt 解得6017t 解法二：90CCMFCDHC ，MFCDHC FCMCHCDC A D C B M N（图）（图）A D C B M N H E（图）A D C B H N M F 梦想不会辜负每一个努力的人.10 即1102235tt 6017t 综上所述，当103t、258t 或6017t 时，MNC为等腰三角形 9 分 8（09 江西）如图 1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，过点E作EFBC交CD于点F46ABBC，60B.（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC
16、于点M，过M作MNAB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx.当点N在线段AD上时（如图 2），PMN的形状是否发生改变？若不变，求出PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图 3），是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.A D E B F C 图 4（备用）A D E B F C 图 5（备用）A D E B F C 图 1 图 2 A D E B F C P N M 图 3 A D E B F C P N M（第 25 题）梦想不会辜负每一个努力的人.11 解（1）如图 1，过点E作EGBC于点G 1 分 E为AB的
17、中点，122BEAB 在RtEBG中，60B，30BEG 2 分 22112132BGBEEG，即点E到BC的距离为3 3 分（2）当点N在线段AD上运动时，PMN的形状不发生改变 PMEFEGEF，PMEG EFBC，EPGM，3PMEG 同理4MNAB 4 分 如图 2，过点P作PHMN于H，MNAB，6030NMCBPMH，1322PHPM 3cos302MHPM 则35422NHMNMH 在RtPNH中，222253722PNNHPH PMN的周长=374PMPNMN 6 分 当点N在线段DC上运动时，PMN的形状发生改变，但MNC恒为等边三角形 当PMPN时，如图 3，作PRMN于R
18、，则MRNR 类似，32MR 23MNMR 7 分 MNC是等边三角形，3MCMN 此时，6 1 32xEPGMBCBGMC 8 分 当图 3 A D E B F C P N M 图 4 A D E B F C P M N 图 5 A D E B F（P）C M N G G R G 图 1 A D E B F C G 图 2 A D E B F C P N M G H 梦想不会辜负每一个努力的人.12 MPMN时，如图 4，这时3MCMNMP 此时，6 1353xEPGM 当NPNM时，如图 5，30NPMPMN 则120PMN，又60MNC，180PNMMNC 因此点P与F重合，PMC为直角
19、三角形 tan301MCPM 此时，6 1 14xEPGM 综上所述，当2x 或 4 或53时，PMN为等腰三角形 10 分 9（09 兰州）如图，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，OPQ的面积最
20、大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由 解：（1）Q（1，0）1 分 点 P 运动速度每秒钟 1 个单位长度（2）过点B作 BFy 轴于点F，BEx轴于点E，则BF8，4OFBE 1046AF 在 RtAFB 中，228610AB 3 分 过点C作CGx轴于点G，与FB的延长线交于点H 90,ABCABBC ABFBCH 6,8BHAFCHBF 8614,8412OGFHCG 所求 C 点的坐标为（14，12）4 分（3）过点 P 作 PMy 轴于点 M，PNx轴于点 N，则A
21、PMABF ABCDEFGHMNPQOxy梦想不会辜负每一个努力的人.13 APAMMPABAFBF 1068tAMMP 3455AMtPMt，3410,55PNOMt ONPMt 设OPQ 的面积为S（平方单位）213473(10)(1)5251010Stttt（0t10）5 分 说明:未注明自变量的取值范围不扣分 310a 0 当474710362()10t 时，OPQ 的面积最大 6 分 此时 P 的坐标为（9415，5310）7 分（4）当 53t 或29513t 时，OP 与 PQ 相等 9 分 10（09 临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点
22、E 是边 BC 的中点90AEF，且 EF 交正方形外角DCG的平行线 CF 于点 F，求证：AE=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证AMEECF，所以AEEF 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，
23、结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由 A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 2 A D F C G E B 图 3 梦想不会辜负每一个努力的人.14 解：（1）正确 （1 分）证明：在AB上取一点M，使AMEC，连接ME（2 分）BMBE45BME，135AME CF是外角平分线，45DCF，135ECF AMEECF 90AEBBAE，90AEBCEF，BAECEF AMEBCF（ASA）（5 分）AEEF （6 分）（2）正确 （7 分）证明：在BA的延长线上取一点N 使ANCE，连接NE （8 分）
24、BNBE 45NPCE 四边形ABCD是正方形，ADBE DAEBEA NAECEF ANEECF（ASA）（10 分）AEEF （11 分）11（09 天津）已知一个直角三角形纸片OAB，其中9024AOBOAOB，如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D （）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（）若折叠后点B落在边OA上的点为B，设OBx，OCy，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；（）若折叠后点B落在边OA上的点为B，且使B DOB，求此时点C的坐标 解（）如图，折叠后点B与点A重合，A D F C G E B M A D
25、 F C G E B N x y B O A x y B O A x y B O A 梦想不会辜负每一个努力的人.15 则ACDBCD.设点C的坐标为00mm，.则4BCOBOCm.于是4ACBCm.在RtAOC中，由勾股定理，得222ACOCOA，即22242mm，解得32m.点C的坐标为302，.4 分（）如图，折叠后点B落在OA边上的点为B,则B CDBCD.由题设OBxOCy，则4B CBCOBOCy，在RtB OC中，由勾股定理，得222B COCOB.2224yyx，即2128yx 6 分 由点B在边OA上，有02x，解析式2128yx 02x 为所求.当02x 时，y随x的增大而
26、减小，y的取值范围为322y.7 分（）如图，折叠后点B落在OA边上的点为B，且B DOB.则OCBCB D.又CBDCB DOCBCBD ，有CBBA.RtRtCOBBOA.有OBOCOAOB，得2OCOB.9 分 在RtB OC中，设00OBxx，则02OCx.由（）的结论，得2001228xx，解得00084 5084 5xxx ，.梦想不会辜负每一个努力的人.16 点C的坐标为0 8 516，.10 分 12（09 太原）问题解决 如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上 一 点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN 当12CECD时，求AMBN的值 类比归纳 在图
27、（1）中，若13CECD，则AMBN的值等于 ；若14CECD，则AMBN的值等于 ；若1CECDn（n为整数），则AMBN的值等于 （用含n的式子表示）联系拓广 如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点CD，重合），压平后得到折痕MN，设111ABCEmBCmCDn，则AMBN的值等于 （用含mn，的式子表示）解：方法一：如图（1-1），连接BMEMBE，方法指导：为了求得AMBN的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2 图（2）N A B C D E F M 图（1）A B C D E F M N N 图（1-1）A B C D E F M 梦想不会辜负每一
28、个努力的人.17 由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称 MN垂直平分BEBMEMBNEN，1 分 四边形ABCD是正方形，902ADCABBCCDDA ,112CECEDECD，设BNx，则NEx，2NCx 在RtCNE中，222NECNCE 22221xx解得54x，即54BN 3 分 在RtABM和在RtDEM中，222AMABBM，222DMDEEM，2222AMABDMDE 5 分 设AMy，则2DMy，2222221yy 解得14y，即14AM 6 分 15AMBN 7 分 方法二：同方法一，54BN 3 分 如图（12），过点N做NGCD，交AD于点G，连接BE
29、 ADBC，四边形GDCN是平行四边形 NGCDBC 同理，四边形ABNG也是平行四边形54AGBN 90MNBEEBCBNM，90NGBCMNGBNMEBCMNG，在BCE与NGM中 90EBCMNGBCNGCNGM ，BCENGMECMG，分 114AMAGMGAM 5，=4 6 分 N 图（1-2）A B C D E F M G 梦想不会辜负每一个努力的人.18 15AMBN 7 分 类比归纳 25（或410）；917；2211nn 10 分 联系拓广 2222211n mnn m 12 分 动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一
30、般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量 X、Y 的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。例题如图 9，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，A=60，BDAD.一动点P从A出发，以每秒 1 cm 的速度沿ABC的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PMAD.(1)当点P运动 2 秒时，设直线PM与AD相交于点E，求APE的面积；(2)当点P运动 2 秒时，另一动点Q也从A出发沿ABC的
31、路线运动，且在AB上以每秒 1 cm 的速度匀速运动，在BC上以每秒 2 cm 的速度匀速运动.过Q作直线QN，使QNPM.设点Q运动的时间为t秒(0t10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2.求S关于t的函数关系式；(附加题)求S的最大值。解题思路：第（1）问比较简单，就是一个静态问题当点 P 运动 2 秒时，AP=2 cm，由A=60，知 AE=1，PE=3.SAPE=23 第（2）问就是一个动态问题了，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们根据题目，综合分析，分类讨论，P 点从 ABC 一共用了 12 秒，走了 12 cm，Q 点从 AB 用了 8
32、秒，BC 用了 2 秒，所以 t 的取值范围是 0t10 不变量：P、Q 点走过的总路程都是 12cm，P 点的速度不变，所以 AP 始终为：t+2 若速度有变化，总路程=变化前的路程+变化后的路程=变化前的速度变化点所用时间+变化后的速度（t变化点所用时间）如当 8t10 时，点 Q所走的路程AQ=18+2（t8）=2t-8 当 0t6 时，点 P 与点 Q 都在 AB 上运动，设 PM 与 AD 交于点 G，梦想不会辜负每一个努力的人.19 QN 与 AD 交于点 F，则 AQ=t，AF=2t，QF=t23，AP=t+2，AG=1+2t，PG=t233.此时两平行线截平行四边形 ABCD
33、是一个直角梯形，其面积为（PG+QF）AG2 S=2323t.当 6t8 时，点 P 在 BC 上运动，点Q仍在AB上运动.设PM与DC交于点G，QN 与 AD 交于点 F，则 AQ=t，AF=2t，DF=4-2t（总量减部分量），QF=t23，AP=t+2，BP=t-6（总量减部分量），CP=AC-AP=12-（t+2）=10-t（总量减部分量），PG=3)10(t，而 BD=34，故此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为平行四边形的面积减去两个三角形面积 S=3343108352tt.当 8t10 时，点 P 和点 Q 都在 BC 上运动.设 PM 与 DC 交于点 G，QN与 DC
34、 交于点 F，则 AQ=2t-8，CQ=AC-AQ=12-（2t-8）=20-2t，（难点）QF=(20-2t)3，CP=10-t，PG=3)10(t.此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积S=31503302332tt.为加题)当 0t6 时，S 的最大值为237；(附当 6 t8 时，S 的最大值为36；当 8t10时，S 的最大值为36；所以当 t=8 时，S 有最大值为36 如图，正方形 ABCD 的边长为 5cm，RtEFG 中，G90，FG4cm，EG3cm，且点 B、F、C、G 在直线l上，EFG 由 F、C 重合的位置开始，以 1cm/秒的速度沿直线l按箭头所表示的方向作匀
35、速直线运动（1）当EFG 运动时，求点 E 分别运动到 CD 上和 AB 上的时间；（2）设 x（秒）后，EFG 与正方形 ABCD重合部分的面积为 y（cm2），求 y 与 x 的函数关系式；（3）在下面的直角坐标lCDABGEFxyO2121梦想不会辜负每一个努力的人.20 PNMCBAOyx系中，画出 0 x2 时（2）中函数的大致图象；如果以 O 为圆心的圆与该图象交于点 P（x，98），与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧），求PAB 的度数 已知，如图，在直角梯形 COAB 中，CBOA，以 O 为原点建立平面直角坐标系，A、B、C 的坐标分别为 A（10，0）、B（4，8
36、）、C（0，8），D 为 OA 的中点，动点 P 自 A 点出发沿 ABCO 的路线移动，速度为每秒 1 个单位，移动时间记为 t 秒，（1）动点 P 在从 A 到 B 的移动过程中，设APD 的面积为 S，试写出 S 与 t 的函数关系式，指出自变量的取值范围，并求出 S 的最大值 （2）动点 P 从出发，几秒钟后线段 PD 将梯形 COAB 的面积分成 1：3 两部分？求出此时 P 点的坐标 xyOBAPCD 如图，平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 A、B 的坐标分别为（3，0），（3，4）。动点 M、N 分别从 O、B 同时出发，以每秒 1 个单位的速度运动。其中，点 M
37、沿 OA 向终点 A 运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动。过点 N 作NPAC，交 AC 于 P，连结 MP。已知动点运动了 x 秒。（1）P 点的坐标为（，）；（用含 x 的代数式表示）（2）试求 MPA 面积的最大值，并求此时 x 的值。（3）请你探索：当 x 为何值时，MPA 是一个等腰三角形？你发现了几种情况？梦想不会辜负每一个努力的人.21 写出你的研究成果。如图，在Rt ABC中，90B，30C，12AB 厘米，质点 P 从 A 点出发沿线路ABBC作匀速运动，质点 Q 从 AC 的中点 D 同时出发沿线路DCCB作匀速运动逐步靠近质点 P，设两质点 P、Q 的速度分别为 1
38、 厘米/秒、a厘米/秒（1a），它们在t秒后于 BC 边上的某一点 E 相遇。（1）求出 AC 与 BC 的长度；（2）试问两质点相遇时所在的 E 点会是 BC 的中点吗？为什么？（3）若以D、E、C 为顶点的三角形与ABC 相似，试分别求出a与t的值；如图，在Rt ABC中，90B，30C，12AB 厘米，质点 P 从 A 点出发沿线路ABBC作匀速运动，质点 Q 从 AC 的中点 D 同时出发沿线路DCCB作匀速运动逐步靠近质点 P，设两质点 P、Q 的速度分别为 1 厘米/秒、a厘米/秒（1a），它们在t秒后于 BC 边上的某一点 E 相遇。（1）求出 AC 与 BC 的长度；（2）试问
39、两质点相遇时所在的 E 点会是 BC 的中点吗？为什么？（3）若以D、E、C 为顶点的三角形与ABC 相似，试分别求出a与t的值；在三角形 ABC 中,60,24,16OBBAcm BCcm.现有动点 P 从点 A 出发,沿射线 AB 向点 B 方向运动;动点 Q 从点 C 出发,沿射线 CB 也向点 B 方向运动.如果点P的速度是4cm/秒,点Q的速度是2cm/秒,它们同时出发,求:(1)几秒钟后,PBQ 的面积是ABC 的面积的一半?(2)在第(1)问的前提下,P,Q 两点之间的距离是多少?梦想不会辜负每一个努力的人.22 如图,已知直角梯形ABCD中，ADBC，A=90o，C=60o，A
40、D=3cm，BC=9cmO1的圆心O1从点A开始沿ADC折线以 1cm/s 的速度向点C运动，O2的圆心O2从点B开始沿BA边以3cm/s 的速度向点A运动，如果O1半径为 2cm，O2的半径为 4cm，若O1、O2分别从点A、点B同时出发，运动的时间为ts （1）请求出O2与腰CD相切时t的值；（2）在 0st3s 范围内，当t为何值时，O1与O2外切？如图，已知直角坐标系内的梯形 AOBC（O 为原点），ACOB，OCBC，AC，OB 的长是关于 x 的方程 x2(k+2)x+5=0 的两个根，且SAOC：SBOC=1：5。（1）填空：0C=_，k=_；（2）求经过 O，C，B 三点的抛物线的另一个交点为 D，动点 P，Q 分别从 O，D 同时出发，都以每秒 1 个单位的速度运动，其中点 P 沿 OB 由 OB 运动，点 Q 沿 DC 由 DC 运动，过点 Q 作 QMCD 交 BC 于点 M，连结 PM，设动点运动时间为 t 秒，请你探索：当 t 为何值时，PMB 是直角三角形。梦想不会辜负每一个努力的人.23