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1、2021年浙江省丽水市中考数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1（3分）（2021丽水）实数的倒数是A2BCD2（3分）（2021丽水）计算的结果是ABCD3（3分）（2021丽水）如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是ABCD4（3分）（2021丽水）一个布袋里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同从中任意摸出一个球是红球的概率是ABCD5（3分）（2021丽水）若，两边都除以，得ABCD6（3分）（2021丽水）用配方法解方程时，配方结果正确的是ABCD7（3分）（2021丽水）如图，是的直径，弦于点，连结，若的半径为，则下列结论一定成立的是AB
2、CD8（3分）（2021丽水）四盏灯笼的位置如图已知，的坐标分别是，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是A将向左平移4.5个单位B将向左平移4个单位C将向左平移5.5个单位D将向左平移3.5个单位9（3分）（2021丽水）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力、，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是A甲同学B乙同学C丙同学D丁同学10（3分）（2021丽水）如图，在纸片中，点，分别在，上，连结，将沿翻折，使点的对应点落在的延长
3、线上，若平分，则的长为ABCD二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11（4分）（2021丽水）分解因式：12（4分）（2021丽水）要使式子有意义，则可取的一个数是13（4分）（2021丽水）根据第七次全国人口普查，华东，六省60岁及以上人口占比情况如图所示，这六省60岁及以上人口占比的中位数是14（4分）（2021丽水）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是15（4分）（2021丽水）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者
4、”两脚之间的跨度，即，之间的距离是16（4分）（2021丽水）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数，同时满足，求代数式的值结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当时，的值是 （2）当时，代数式的值是 三、解答题（本题有8小题，第1719题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）17（6分）（2021丽水）计算：18（6分）（2021丽水）解方程组：19（6分）（2021丽水）在创建“浙江省健康促进学校”的过程中，某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计
5、人数，绘制成两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：抽取的学生视力情况统计表类别检查结果人数正常88轻度近视中度近视59重度近视（1）求所抽取的学生总人数；（2）该校共有学生约1800人，请估算该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数；（3）请结合上述统计数据，为该校做好近视防控，促进学生健康发展提出一条合理的建议20（8分）（2021丽水）如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请按要求画图（1）如图1，画出一条线段，使，在格点上；（2）如图2，画出一条线段，使，互相平分，均在格点上；（3）如图3，以，为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上21（8分）（202
6、1丽水）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒设货车平均耗油量为0.1升千米，请根据图象解答下列问题：（1）直接写出工厂离目的地的路程；（2）求关于的函数表达式；（3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间在怎样的范围内货车应进站加油？22（10分）（2021丽水）如图，在中，以为直径的半圆交于点，过点作半圆的切线，交于点（1）求证：；（2）若，求的长23（10分）（2021丽水）如图，已知抛物线经过点，（1）求，的值；（2）
7、连结，交抛物线的对称轴于点求点的坐标；将抛物线向左平移个单位得到抛物线过点作轴，交抛物线于点是抛物线上一点，横坐标为，过点作轴，交抛物线于点，点在抛物线对称轴的右侧若，求的值24（12分）（2021丽水）如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交直线于点（1）当，时，求证：；连结，若，求的值；（2）当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连结，若，则当为何值时，是等腰三角形2021年浙江省丽水市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1（3分）（2021丽水）实数的倒数是A2BCD【分析】直接利用倒数：乘积是1的两数互为倒数，即可
8、得出答案【解答】解：实数的倒数是：故选：【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键2（3分）（2021丽水）计算的结果是ABCD【分析】先化简为同底数幂的乘法，然后根据同底数幂的乘法法则计算即可【解答】解：原式，故选：【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则，解题时注意：必须化为同底数幂的乘法，才可以用同底数幂的乘法法则计算3（3分）（2021丽水）如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是ABCD【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中【解答】解：从正面看底层是三个正方形，上层中间是一个正方形故选：【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是
9、从物体的正面看得到的视图4（3分）（2021丽水）一个布袋里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同从中任意摸出一个球是红球的概率是ABCD【分析】用红球的个数除以球的总个数即可【解答】解：布袋里装有3个红球和5个黄球，共有8个球，任意摸出一个球是红球的概率是故选：【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数5（3分）（2021丽水）若，两边都除以，得ABCD【分析】根据不等式的性质3求出答案即可【解答】解：，不等式的两边都除以，得，故选：【点评】本题考查了不等式的性质，能灵活运用不等式的性质3进行变形是解此题的关键，注意：不
10、等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向要改变6（3分）（2021丽水）用配方法解方程时，配方结果正确的是ABCD【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断【解答】解：方程，整理得：，配方得：故选：【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键7（3分）（2021丽水）如图，是的直径，弦于点，连结，若的半径为，则下列结论一定成立的是ABCD【分析】根据垂径定理和锐角三角函数计算则可进行判断【解答】解：是的直径，的半径为，故选：【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形，解决本题的关键是掌握圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角
11、三角形等知识8（3分）（2021丽水）四盏灯笼的位置如图已知，的坐标分别是，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是A将向左平移4.5个单位B将向左平移4个单位C将向左平移5.5个单位D将向左平移3.5个单位【分析】注意到，关于轴对称，只需要，对称即可，可以将点向左移动到，移动5.5个单位，或可以将向左移动到，移动5.5个单位【解答】解：，这四个点的纵坐标都是，这四个点在一条直线上，这条直线平行于轴，关于轴对称，只需要，对称即可，可以将点向左移动到，移动5.5个单位，或可以将向左移动到，移动5.5个单位，故选：【点评】本题考查了生活中的平移现象，关于轴对称的点的坐标，注意
12、关于轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标不变9（3分）（2021丽水）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力、，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是A甲同学B乙同学C丙同学D丁同学【分析】根据杠杆平衡原理：阻力阻力臂动力动力臂，以及水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值即可判断【解答】解：根据杠杆平衡原理：阻力阻力臂动力动力臂可得，阻力阻力臂是个定值，即水桶的重力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变，动力越小，动力臂越大
13、，即拉力越小，压力的作用点到支点的距离最远，最小，乙同学到支点的距离最远故选：【点评】本题考查反比例函数的应用，确定水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值是本题关键10（3分）（2021丽水）如图，在纸片中，点，分别在，上，连结，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则的长为ABCD【分析】由翻折得出，再根据平分，得出，然后借助相似列出方程即可【解答】解：作于，在纸片中，由勾股定理得：，将沿翻折得，平分，设，在中，故选：【点评】本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等、对应角相等来解决问题，通过相似表示线段和列方程是解题本题的关键二、填空题（本
14、题有6小题，每小题4分，共24分）11（4分）（2021丽水）分解因式：【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可【解答】解：故答案为：【点评】本题考查了平方差公式因式分解能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反12（4分）（2021丽水）要使式子有意义，则可取的一个数是4（答案不唯一）【分析】根据二次根式有意义的条件得出，再求出不等式的解集，最后求出答案即可【解答】解：要使式子有意义，必须，解得：，所以可取的一个数是4，故答案为：4（答案不唯一）【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，注意：式子中13（4分）（2021丽水）根据第七次全国人口普查，华东
15、，六省60岁及以上人口占比情况如图所示，这六省60岁及以上人口占比的中位数是【分析】根据中位数的定义直接求解即可【解答】解：把这些数从小大排列为：，则中位数是故答案为：【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数14（4分）（2021丽水）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是6或7【分析】首先求得内角和为的多边形的边数，过顶点剪去一个角后边数不变或减少1，即可确定原多边形的边数【解答】解：设内角和为
16、的多边形的边数是，则，解得：多边形过顶点截去一个角后边数不变或减少1，原多边形的边数为6或7，故答案为：6或7【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟知一个多边形过顶点截去一个角后它的边数不变或减少1是解题的关键15（4分）（2021丽水）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即，之间的距离是【分析】如图2中，过点作于，过点作于想办法求出，与之间的距离，可得结论【解答】解：如图2中，过点作于，过点作于由题意，都是等腰直角三角形，与之间的距离为1，与之
17、间的距离，故答案为：【点评】本题考查七巧板，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型16（4分）（2021丽水）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数，同时满足，求代数式的值结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当时，的值是 或1（2）当时，代数式的值是 【分析】（1）将代入方程，然后解一元二次方程求解；（2）联立方程组，运用加减消元法并结合完全平方公式，求得和的值，然后将原式通分化简，代入求解【解答】解：（1）当时，解得：或1，故答案为：或1；（2）联立方程组，将，得：，整理，得：，将，得：，整理
18、，得：，又，即，将代入，得，即，又，故答案为：7【点评】本题考查分式的化简求值及完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的公式结构和分式的化简计算法则准确计算是解题关键三、解答题（本题有8小题，第1719题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）17（6分）（2021丽水）计算：【分析】首先计算零指数幂、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可【解答】解：【点评】此题主要考查了求一个数的绝对值，零指数幂的运算以及求一个数的算术平方根，理解相关概念准确计算是解题关键18（6分）（2021丽水）解方程组：【分析】方程组
19、利用代入消元法求出解即可【解答】解：，把代入得：，解得：，把代入得：，则方程组的解为【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法19（6分）（2021丽水）在创建“浙江省健康促进学校”的过程中，某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：抽取的学生视力情况统计表类别检查结果人数正常88轻度近视中度近视59重度近视（1）求所抽取的学生总人数；（2）该校共有学生约1800人，请估算该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数；（3）请结合上述统计数据，为该校做好
20、近视防控，促进学生健康发展提出一条合理的建议【分析】（1）从所取样本中根据正常的人数和所占比例求出样本总数；（2）先求出轻度近视的人数，再用样本总数正常人数轻度近视人数中度近视人数得出重度近视人数，再求出中度和重度近视所占比例，再估计全校中度和重度近视的人数；（3）根据数据提出一条建议即可【解答】解：（1）抽取的学生总人数是：（人，答：所抽取的学生总人数为200人；（2）在抽取的200人样本中，轻度近视的人数为：（人，中度近视的人数为：59人，重度近视的人数为：（人，中度和重度所占的比例为：，该校学生中，估计近视程度为中度和重度的总人数为：（人，答：在该校1800人学生中，估计近视程度为中度和
21、重度的总人数是810人；（3）答案不唯一，例如：该校学生近视程度为中度及以上占，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子厂品进校园及使用的管控【点评】本题考查扇形统计图、统计表以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据20（8分）（2021丽水）如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请按要求画图（1）如图1，画出一条线段，使，在格点上；（2）如图2，画出一条线段，使，互相平分，均在格点上；（3）如图3，以，为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上【分析】（1）为长方形对角线，作出相等线段即可；（2）只要保证四边形是平行四边形即可；（3）同（
22、2）【解答】解：如图：（1）线段即为所作，（2）线段即为所作，（3）四边形即为所作【点评】本题考查作图应用与设计，平行四边形的判定，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型21（8分）（2021丽水）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒设货车平均耗油量为0.1升千米，请根据图象解答下列问题：（1）直接写出工厂离目的地的路程；（2）求关于的函数表达式；（3）当货车显示加油提醒后
23、，问行驶时间在怎样的范围内货车应进站加油？【分析】（1）由图象直接求出工厂离目的地的路程；（2）用待定系数法求出函数解析式即可；（3）当油箱中剩余油量为10升时和当油箱中剩余油量为0升时，求出的取值即可【解答】解：（1）由图象，得时，工厂离目的地的路程为880千米，答：工厂离目的地的路程为880千米；（2）设，将和代入得，解得：，关于的函数表达式：，答：关于的函数表达式：；（3）当油箱中剩余油量为10升时，（千米），解得：（小时），当油箱中剩余油量为0升时，（千米），解得：（小时），随的增大而减小，的取值范围是【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结
24、合的思想解答22（10分）（2021丽水）如图，在中，以为直径的半圆交于点，过点作半圆的切线，交于点（1）求证：；（2）若，求的长【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）根据勾股定理得到，求得，推出是等边三角形，得到，根据弧长公式即可得到结论【解答】（1）证明：连接，是的切线，为直径，；（2）解：由（1）知，是等边三角形，的长为【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键23（10分）（2021丽水）如图，已知抛物线经过点，（1）求，的值；（2）连结，交抛物线的对称轴于
25、点求点的坐标；将抛物线向左平移个单位得到抛物线过点作轴，交抛物线于点是抛物线上一点，横坐标为，过点作轴，交抛物线于点，点在抛物线对称轴的右侧若，求的值【分析】（1）用待定系数法可求出答案；（2）设直线的解析式为，由点及点坐标可求出直线的解析式，由（1）得，抛物线的对称轴是直线，则可求出答案；由题意可得点的坐标是，点的坐标是，分三种情况，（）如图1，当点在点及下方，即时，（）如图2，当点在点的上方，点在点及右侧，（）如图3，当点在上方，点在点左侧，根据列出方程可得出答案【解答】解：（1）抛物线经过点和点，解得：，的值分别为，（2）设直线的解析式为，把，的坐标分别代入表达式，得，解得，直线的函数表
26、达式为由（1）得，抛物线的对称轴是直线，当时，点的坐标是；设抛物线的表达式为，轴，点的坐标是，点的横坐标为，点的坐标是，设交抛物线于另一点，抛物线的对称轴是直线，轴，根据抛物线的对称性，点的坐标是，（）如图1，当点在点及下方，即时，由平移的性质得，解得，（舍去），（）如图2，当点在点及上方，点在点及右侧，即时，解得，（舍去），（舍去）（）如图3，当点在上方，点在点左侧，即时，解得，（舍去），综合以上可得的值是1或【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与轴的交点，待定系数法，两点的距离，平移的性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键24（12分）（2021丽水）如图
27、，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交直线于点（1）当，时，求证：；连结，若，求的值；（2）当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连结，若，则当为何值时，是等腰三角形【分析】（1）证，即可得出结论；连接，证，得，设，则，由勾股定理得，再证，得，即可求解；（2）证，得，分三种情况：当时，则，得，证，得，则；当时，则，证，得，则，得，则；当时，则，证，得，则，进而求解即可【解答】（1）证明：四边形是菱形，；解：连接，如图1所示：四边形是菱形，由知，设，则，；（2）解：四边形是菱形，同理：，是等腰三角形有三种情况：当时，如图2所示：，；当时，如图3所示：则，；当时，如图4所示：则，；综上所述，当为或2或时，是等腰三角形【点评】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键