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1、特殊四边形中的动态问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想 1、如图，在四边形ABCD中，EFGH、分别是ABBCCDDA、边上的中点，阅读下列材料，回答问题：连结ACBD、，由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是 .对角线ACBD、满足条件 时，四边形EFGH是矩形.对角线ACBD、满足条件 时，四边形EFGH是菱形.对角线ACBD、满足条件 时，四边形EFGH是正方形.NOHGFEABCD 2、如图 1，
2、梯形ABCD中，ADBC，90B，14,18,21ABcm ADcm BCcm，点P从A开始沿AD边以 1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以 2 cm/秒的速度移动，如果,P Q分别从,A C同时出发，设移动时间为t秒.当t 时，四边形是平行四边形；当t 时，四边形是等腰梯形.3、如图 2，正方形ABCD的边长为 4，点M在边DC上，且1DM，N为对角线AC上任意一点，则DNMN的最小值为 4、在ABC中，90ACB，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图 1 的位置时，求证：DEADBE；(2)当直线MN绕点C旋转到图 2 的位置
3、时，求证：DEADBE；(3)当直线MN绕点C旋转到图 3 的位置时，试问DEADBE、具有怎样的等量关系请写出这个等量关系，并加以证明.C B A E D 图 1 N M A B C D E M N 图 2 A C B E D N M 图 3 5、如图，在梯形ABCD中，354 245ADBCADDCABB，动点M从B点出发沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t秒（1）求BC的长（2）当MNAB时，求t的值（3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形 6、在矩形ABCD中，204ABcmBCc
4、m，点P从A开始沿折线ABCD以4/cm s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1/cm s的速度移动，如果点PQ、分别从AC、同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为()t s，t为何值时，四边形APQD也为矩形 7、如图，梯形OABC中,O为直角坐标系的原点,ABC、的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）点PQ、同时从原点出发，分别作匀速运动，点P沿OA以每秒 1 个单位向终点A运动，点Q沿OCCB、以每秒 2 个单位向终点B运动。当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动 设从出发起运动了x秒，且2.5x 时，Q点的坐标；当x等于多少时，四边形
5、OPQC为平行四边形 四边形OPQC能否成为等腰梯形说明理由。设四边形OPQC的面积为y,求出当2.5x 时y与x的函数关系式；并求出y的最大值；8、如图（1），小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上一点，且EADFAE，那么AEEF.”他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”、和“任意平行四边形”（如图（2），图（3），图（4），其他条件不变，发现仍然有“AEEF”的结论.你同意小明的观点吗若同意，请结合图（4）加以说明；若不同意，请说明理由.A D C B M N P O y C(4,3)Q B(14,3A(14,0)x A B
6、 C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F PQADCBADCBQPABCDFOMNEABC （1）（2）（3）（4）8、操作：将一把三角尺放中正方形ABCD中，并使它的直角顶点F在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，探究：当点Q在DC上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系试说明你观察到的结论；当点Q在DC的延长线上时，中你观察到的结论还成立吗说明理由.10、如图所示，在ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F.试说明OEOF；当点O运
7、动到何处时，四边形AECF是矩形请简要说明理由;当点O运动时，四边形AECF有可能是正方形吗请简要说明理由.11.（2014黑龙江绥化,第 27 题 10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 AOBC 的顶点 C的坐标是（2，4），动点 P 从点 A 出发，沿线段 AO 向终点 O 运动，同时动点Q 从点 B 出发，沿线段 BC 向终点 C 运动点 P、Q 的运动速度均为 1 个单位，运动时间为 t 秒过点 P 作 PEAO 交 AB 于点 E（1）求直线 AB 的解析式；（2）设PEQ 的面积为 S，求 S 与 t 时间的函数关系，并指出自变量 t 的取值范围；（3）在动点 P、Q 运动
8、的过程中，点 H 是矩形 AOBC 内（包括边界）一点，且以 B、Q、E、H 为顶点的四边形是菱形，直接写出 t 值和与其对应的点 H 的坐标 12（2014四川成都,第 20 题 10 分）如图，矩形 ABCD 中，AD=2AB，E 是 AD 边上一点，DE=AD（n 为大于 2 的整数），连接 BE，作 BE 的垂直平分线分别交 AD，BC 于点 F，G，FG 与 BE 的交点为 O，连接BF 和 EG（1）试判断四边形 BFEG 的形状，并说明理由；（2）当 AB=a（a 为常数），n=3 时，求 FG 的长；（3）记四边形 BFEG 的面积为 S1，矩形 ABCD 的面积为 S2，当=
9、时，求 n 的值（直接写出结果，不必写出解答过程）13（2014四川绵阳,第 24 题 12 分）如图 1，矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线 AC 折叠，使点 B 落在点 E 处，AE 交 CD 于点 F，连接 DE（1）求证：DECEDA；（2）求 DF 的值；（3）如图 2，若 P 为线段 EC 上一动点，过点 P 作AEC 的内接矩形，使其定点 Q 落在线段 AE 上，定点 M、N 落在线段 AC 上，当线段 PE 的长为何值时，矩形 PQMN 的面积最大并求出其最大值 14.（2014山西，第 23 题 11 分）课程学习：正方形折纸中的数学 动手操作：如图 1，四
10、边形 ABCD 是一张正方形纸片，先将正方形 ABCD 对折，使 BC 与 AD 重合，折痕为 EF，把这个正方形展平，然后沿直线 CG 折叠，使 B 点落在 EF 上，对应点为 B 数学思考：（1）求CBF 的度数；（2）如图 2，在图 1 的基础上，连接 AB，试判断BAE 与GCB的大小关系，并说明理由；解决问题：（3）如图 3，按以下步骤进行操作：第一步：先将正方形 ABCD 对折，使 BC 与 AD 重合，折痕为 EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使 AB 与 DC 重合，折痕为 MN，再把这个正方形展平，设 EF 和 MN 相交于点 O；第二步：沿直线 CG 折叠，使 B 点落
11、在 EF 上，对应点为 B，再沿直线 AH 折叠，使 D 点落在 EF 上，对应点为 D；第三步：设 CG、AH 分别与 MN 相交于点 P、Q，连接 BP、PD、DQ、QB，试判断四边形 BPDQ的形状，并证明你的结论 15.（2014丽水，第 23 题 10 分）提出问题：（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，H 分别在 BC，AB 上，若 AEDH 于点 O，求证：AE=DH；类比探究：（2）如图 2，在正方形 ABCD 中，点 H，E，G，F 分别在 AB，BC，CD，DA 上，若 EFHG 于点 O，探究线段 EF 与 HG 的数量关系，并说明理由；综合运用：（3）在（2）
12、问条件下，HFGE，如图 3 所示，已知 BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积 中考数学与特殊四边形有关的压轴题（选择一）1（2014浙江湖州，第10 题 3 分）在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（）A B C D 分析：分别构造出平行四边形和三角形，根据平行四边形的性质和全等三角形的性质进行比较，即可判断 解：A选项延长AC、BE交于S，CAE=EDB=45，ASED，则SCDE 同理SECD，四边形SCDE是平行四边形，SE=CD，DE=CS，即乙走的
13、路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；B选项延长AF、BH交于S1，作FKGH，SAB=S1AB=45，SBA=S1BA=70，AB=AB，SABS1AB，AS=AS1，BS=BS1，FGH=67=GHB，FGKH，FKGH，四边形FGHK是平行四边形，FK=GH，FG=KH，AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，FS1+S1KFK，AS+BSAF+FK+KH+HB，即AC+CD+DE+EBAF+FG+GH+HB，同理可证得AI+IK+KM+MBAS2+BS2AN+NQ+QP+PB，又AS+BSAS2+BS2，故选 D 点评：本题考查了平行线的判定，平
14、行四边形的性质和判定的应用，注意：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等 2(2014 年广西南宁，第 11 题 3 分）如图，在ABCD中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF：BC=1：2，连接DF，EC若AB=5，AD=8，sinB=，则DF的长等于（）A B C D 2 考点：平行四边形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形.分析：由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知ADBC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CFDE的对边平行且相等（DE=CF，且DECF），即四边形CFDE是平行四边形 如图，过点C作CHAD于点H 利用平行四边形的
15、性质、锐角三角函数定义和勾股定理求得CH=4，DH=1，则在直角EHC中利用勾股定理求得CE的长度，即DF的长度 解答：证明：如图，在ABCD中，B=D，AB=CD=5，ADBC，且AD=BC=8 E是AD的中点，DE=AD 又CF：BC=1：2，DE=CF，且DECF，四边形CFDE是平行四边形 CE=DF 过点C作CHAD于点H 又sinB=，sinD=，CH=4 在RtCDH中，由勾股定理得到：DH=3，则EH=43=1，在RtCEH中，由勾股定理得到：EC=，则DF=EC=故选：C 点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理和解直角三角形凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再
16、回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题 3.(2014 年贵州黔东南 10（4 分）)如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=16，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，则折痕 EF 的长为（）A 6 B 12 C 2 D 4 考点：翻折变换（折叠问题）分析：设 BE=x，表示出 CE=16x，根据翻折的性质可得 AE=CE，然后在 RtABE 中，利用勾股定理列出方程求出 x，再根据翻折的性质可得AEF=CEF，根据两直线平行，内错角相等可得AFE=CEF，然后求出AEF=AFE，根据等角对等边可得 AE=AF，过点 E 作 EHAD 于
17、H，可得四边形 ABEH是矩形，根据矩形的性质求出 EH、AH，然后求出 FH，再利用勾股定理列式计算即可得解 解答：解：设 BE=x，则 CE=BCBE=16x，沿 EF 翻折后点 C 与点 A 重合，AE=CE=16x，在 RtABE 中，AB2+BE2=AE2，即 82+x2=（16x）2，解得 x=6，AE=166=10，由翻折的性质得，AEF=CEF，矩形 ABCD 的对边 ADBC，AFE=CEF，AEF=AFE，AE=AF=10，过点 E 作 EHAD 于 H，则四边形 ABEH 是矩形，EH=AB=8，AH=BE=6，FH=AFAH=106=4，在 RtEFH 中，EF=4 故
18、选 D 点评：本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出 BE 的长度是解题的关键，也是本题的突破口 4.（2014遵义 9（3 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，P 是 CD 的中点，连接 AP 并延长交 BC的延长线于点 F，作CPF 的外接圆O，连接 BP 并延长交O 于点 E，连接 EF，则 EF 的长为（）A B C D 考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理 分析：先求出 CP、BF 长，根据勾股定理求出 BP，根据相似得出比例式，即可求出答案 解答：解：四边形 ABCD 是正方形，ABC=PCF=90，C
19、DAB，F 为 CD 的中点，CD=AB=BC=2，CP=1，PCAB，FCPFBA，=，BF=4，CF=42=2，由勾股定理得：BP=，四边形 ABCD 是正方形，BCP=PCF=90，PF 是直径，E=90=BCP，PBC=EBF，BCPBEF，=，=，EF=，故选 D 点评：本题考查了正方形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，题目比较好，难度适中 5.（2014山东淄博,第 9 题 4 分）如图，ABCD 是正方形场地，点 E 在 DC 的延长线上，AE 与 BC 相交于点 F有甲、乙、丙三名同学同时从点 A 出发，甲沿着 ABFC 的路径
20、行走至 C，乙沿着 AFECD 的路径行走至 D，丙沿着 AFCD 的路径行走至 D若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）A 甲乙丙 B 甲丙乙 C乙丙甲 D 丙甲乙 考点：正方形的性质；线段的性质：两点之间线段最短；比较线段的长短 分析：根据正方形的性质得出 AB=BC=CD=AD，B=ECF，根据直角三角形得出 AFAB，EFCF，分别求出甲、乙、丙行走的距离，再比较即可 解答：解：四边形 ABCD 是正方形，AB=BC=CD=AD，B=90，甲行走的距离是AB+BF+CF=AB+BC=2AB；乙行走的距离是AF+EF+EC+CD；丙行走的距离是AF
21、+FC+CD，B=ECF=90，AFAB，EFCF，AF+FC+CD 2AB，AF+FC+CD AF+EF+EC+CD，甲比丙先到，丙比乙先到，即顺序是甲丙乙，故选 B 点评：本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质的应用，题目比较典型，难度适中 6（2014广州,第 10 题 3 分）如图 3，四边形、都是正方形，点在线段上，连接，和相交于点设，（）下列结论：；其中结论正确的个数是（）（A）4 个 （B）3 个 （C）2 个 （D）1 个 【考点】三角形全等、相似三角形 【分析】由可证，故正确；延长BG交DE于点H，由可得，（对顶角）=90，故正确；由可得，故不正确；，等于相似比的平方，即，
22、故正确【答案】B 7.（2014襄阳，第 12 题 3 分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：EF=2BE；PF=2PE；FQ=4EQ；PBF是等边三角形其中正确的是（）A B C D 考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质 分析：求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出APE=30，然后求出AEP=60，再根据翻折的性质求出BEF=60，根据直角三角形两锐角互余求出EFB=30，然后根据直角三角形 30角所对的
23、直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出正确；利用 30角的正切值求出PF=PE，判断出错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出错误；求出PBF=PFB=60，然后得到PBF是等边三角形，判断出正确 解答：解：AE=AB，BE=2AE，由翻折的性质得，PE=BE，APE=30，AEP=9030=60，BEF=（180AEP）=（18060）=60，EFB=9060=30，EF=2BE，故正确；BE=PE，EF=2PE，EFPF，PF2PE，故错误；由翻折可知EFPB，EBQ=EFB=30，BE=2EQ，EF=2BE，FQ=3EQ，故错误；由翻折的性质，EFB=BFP=30，BFP=30+30=60，PBF=90EBQ=9030=60，PBF=PFB=60，PBF是等边三角形，故正确；综上所述，结论正确的是 故选 D 点评：本题考查了翻折变换的性质，直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键