不定式方程(六年级)3554.pdf

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1、不定式方程 一：不定方程 知识精讲 一不定方程的定义 1一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程 2多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一 二不定方程的解法及步骤 1常规方法：观察法、试验法、枚举法 2多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可 3涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较 三解不定方程的步骤 1列方程 2消元 3写出表达式 4确定范围 5确定特征 6确定答案 四技巧总结 1写出表达式的技巧：用特征不

2、明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数 2消元技巧：消掉范围大的未知数 三点剖析 重难点：不定方程的解法以及应用 题模精讲 题模一 不定方程的计算 例、判断下列不定方程是否有正整数解，若有，求出所有正整数解（1）；（2）；（3）；（4）答案：（1）（2）（3）（4）无整数解 解析：（1），所以，即得，（2），所以，（3），所以，（4），所以无整数解 例、已知和分别表示两个自然数，并且，则+=_ 答案：5 解析：依题意得 11+5=37，易知其自然数解为=2，=3所以+=5 例、有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为已知 a，b，c 都小于 10，a，b

3、，c 依次为_，_，_ 答案：7，3，2 解析：由题意有解这个不定方程，得 例、已知代表两位整数，求方程的解 题模二 不定方程的应用 例、有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个 问：需要大盒子_个、小盒子_个，才能恰好把这些球装完 答案：大盒 9 个，小盒 6 个或者大盒 2 个，小盒 18 个 解析：设需要 x 个大盒子，y 个小盒子，依题意得：，解得，所以需要大盒 9 个，小盒 6 个或者大盒 2 个，小盒 18 个 例、某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加 男职工每人种 13 棵树，女职工每人种 10 棵树，每个

4、孩子种 6 棵树，他们一共种了 216 棵树请问：其中有_名男职工 答案：12 名 解析：设有 x 名男职工，y 名女职工，则孩子有名，依题意得：，整理得：，化简得，解得，其中只有时才是整数，所以有 12 名男职工 例、有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲 1 件、乙 5 件、丙 1 件、丁 3 件共需 195元；若购买甲 2 件、乙 1 件、丙 4 件、丁 2 件共需 183 元；若购买甲 2 件、乙 6件、丙 6 件、丁 5 件共需 375 元现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元 答案：81 元 解析：设购买甲一件要x 元，乙一件要 y 元，丙一件要 z 元，丁一件要 w 元，依题意得：注

5、意到题目要求的是，所以完全可以不求x、y、z、w 分别是多少，想办法整体求出 观察发现要直接凑出或它的倍数并不容易，一个比较明显的是可以求出，可以用来调整x 和 z 的系数接着可以让 y 和 w 的系数变的一样，得，得，所以故现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需 81 元（当然本题可以直接看出得到）例、将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计问：剩余部分的管子最少是多少厘米 答案：8 厘米 解析：设已经截出了 根长 36 厘米的管子和 根长 24 厘米的管子，那么被截出的管子一共长厘米由，得：一定是 12 的倍数而 380 不是 12 的倍数，

6、所以是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少会剩下多少厘米呢 由于一定是 12 的倍数，小于 380 且能被 12 整除的最大自然数是 372，而的自然数解是存在的，如，也就是截出 1 根长 36 厘米的管子和 14 根长 24 厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值372 厘米所以剩余部分最少是厘米 例、有纸币 60 张，其中 1 分、1 角、1 元和 10 元各有若干张请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是 100 元 答案：不能 解析：设 1 分的有 x 张，1 角的有 y 张，1 元的有 z 张，10 元的有 w 张，依题意得，得，很明显等号左边是 9 的倍数，而等号右边

7、不是 9 的倍数，所以无自然数解，故这些纸币的总面值不能恰好是 100 元 例、现有一架天平和很多个 13 克和 17 克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少（砝码只能放在天平的一边）答案：191 解析：设用了 x 个 13 克的砝码，y 个 17 克的砝码，要称的重量为 c 克，依题意，就是求使无自然数解的 c 的最大值利用拓展 14 解法二中提到的结论，c最大取时，无自然数解，所以不能称出的最大整数克重量是 191 克 例、现有升和 4 升的两个空桶和一个大桶里的 100 升汽油，用这两个空桶要倒出 1升汽油，至少需要倒多少次 答案：26 次 解析：依题意，模拟的倒几次后会发

8、现，本题和不定方程：和的解有关系先解出这两个不定方程：的解为：的解为：其中，这个解明显要小，下面解释一下它的含义 先看它对应的过程：1、倒满升；2、升倒入 4 升；3、倒满升；4、升倒入 4 升；5、倒满升；6、升倒入 4 升中，还剩升；7、4 升的倒入大桶里；8、升倒入 4 升；9、倒满升；10、升倒入 4 升；11、倒满升；12、升倒入 4 升，还剩升；13、4 升的倒入大桶里；14、升倒入 4 升；15、倒满升；16、升倒入 4 升；17、倒满升；18、升倒入 4 升；19、倒满升；20、倒入 4 升，还剩升21、4 升的倒入大桶里；22、升倒入 4 升；23、倒满升；24、倒入 4 升

9、；25、倒满升；26、倒入 4 升，还剩 1 升 可以看出，每次从大桶中倒入两个小桶的都是升，每次从两个小桶中倒回大桶的都是4升，所以两个小桶中量出的1升可以看做是，倒进的减去倒出的4y的差 那么就得到了上面的不定方程另一个不定方程同理也很容易想明白 例、某校开学时，七年级新生人数在 5001000 范围内，男、女生的比例为到八年级时，由于收 40 名转学生，男、女生的比例变为请问，该年级入学时，男、女生各有多少人 答案：男生 320 人，女生 280 人 解析：设开始时共人，后来变为人，则，易知 a 为 8 的倍数，b 为 5 的倍数，故可设，方程化简为，且 解得，入学时总人数为人，男生 3

10、20 人，女生 280 人 例、在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应 17 分、11 分和 4 分每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数试问：如果比赛规定恰好投中 100 分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖如果规定恰好投中 120 分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖 随堂练习 随练、下列方程的自然数解：（1），则；（2），则；（3），则；（4），则 答案：（1）（2）（3）无解（4）解析：枚举法 随练、小高有若干张 8 分的邮票，墨莫有若干张 15 分的邮票，两人的邮票总面值是 99分，那么小高的 8 分邮票有_张 答

11、案：3 张 解析：设小高有 8 分邮票 x 张，15 分邮票 y 张，依题意得：，解得，所以小高有 3 张 8 分邮票 随练、将 426 个乒乓球装在三种盒子里，大盒每盒装 25 个，中盒每盒装 20 个，小盒每盒装 16 个现共装了 24 盒，则用了_个大盒 随练、新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20 分、40 分和 50 分，其中面值 20 分的邮票售价 5 元，面值 40 分的邮票售价 8 元，面值 50 分的邮票售价 9元小明花了 156 元买回了总面值为元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了_张 答案：20 分的邮票 3 张，40 分的邮票 3 张，50 分的邮票 13 张

12、 解析：设买了 x 张 20 分的邮票，y 张 40 分的邮票，z 张 50 分的邮票，依题意得：，消 y 得，解得，同时还要满足 y 为整数，经验证当时，符合题意，所以买了 20 分的邮票 3 张，40 分的邮票 3 张，50 分的邮票 13 张 课后作业 作业 1、方程有_组自然数解 答案：11 解析：易知 y 可为 0 至的所有自然数，即方程有11 组自然数解 作业 2、求的所有整数解 答案：为任意整数）解析：先找出一组基本的解，然后写出所有解即可 作业 3、求不定方程 2x+3y+5z=15 的正整数解 答案：解析：先确定 z 的值，把三元一次不定方程转化为二元一次不定方程，再进行计算

13、正整数解如下：作业 4、设 A 和 B 都是自然数，并且满足那么_ 答案：3 解析：，又因为 A、B 为自然数得，作业 5、有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装 8 千克油，小油桶能装 5 千克油，44千克油恰好装满这些油桶问：大油桶_个，小油桶_个 答案：大油桶 3 个，小油桶 4 个 解析：设有 x 个大油桶，y 个小邮桶，依题意得，解得，所以有 3 个大油桶，4 个小邮桶 作业 6、新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的 100 本教科书 已知老师和学生共 14 人，每名老师能搬 12 本，每名男生能搬 8 本，每名女生能搬 5 本，恰好一次搬完问：搬书的老师_名、男生_ 名、女

14、生_名 答案：老师 3 名，男生 2 名，女生 8 名 解析：设搬书的老师有 x 名，男生有 y 名，女生有 z 名，依题意得：，消去 z 得，解得，所以，所以搬书的老师有 3 名，男生 2 名，女生 8 名 作业 7、小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买钢笔 4支一盒，每盒 5 元；圆珠笔 6 支一盒，每盒 6 元；铅笔 10 支一盒，每盒 7 元小李总共花了 97 元，买了 90 支笔请问：三种笔分别买了多少盒 答案：圆珠笔 3 盒，铅笔 2 盒，钢笔 13 盒 解析：设圆珠笔买了x 盒，铅笔买了 y 盒，钢笔买了 z 盒，依题意得：，消去 x 得，解得，将 y、

15、z 代入原方程组，发现只有时，x 有自然数解所以买了圆珠笔3 盒，铅笔 2 盒，钢笔 13 盒 作业 8、卡莉娅到商店买糖，巧克力糖 13 元一包，奶糖 17 元一包，水果糖元一包，酥糖元一包，最后他共花了 360 元，且每种糖都买了请问：卡莉娅共买了多少包奶糖 答案：12 包 解析：不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有 包、包、包和包，则 把系数都化成整数，得：由于我们只关心奶糖的数量，我们将未知数分为一组，其余未知数分为另一组：也就是 令，则它的自然数解只有，所以卡莉娅共买了 12 包奶糖 作业 9、雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的 2 倍这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐 1 人，三人桌每桌都只坐 2 人，四人桌每桌都只坐 3 人，且恰好平均每 11 人占用 17 个座位 请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张 答案：二人桌 24 张；三人桌 19 张；四人桌 12 张 解析：设图书馆有三人桌x 张，四人桌 y 张，则两人桌有2y 张，依题意得：，化简得，解得，为符合三种桌子共五十多张，发现只有这组解符合，图书馆两人桌有 24张，三人桌 19 张，四人桌 12 张