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1、第二章 平稳过程 P103 2.设随机过程 sinX tUt，其中U是在0 2，上均匀分布的随机变量。试证（1）若tT，而1 2T，则 1 2X tt，是平稳过程；（2）若tT，而0T，则 0X tt，不是平稳过程。证明：由题意，U的分布密度为：10220uf u，其它 数学期望 sinXmtE X tEUt 2220001111sinsincoscos212222utduutd ututtttt .相关函数 sinsinXXRRt tE X t X tEUtU t，2200111sinsincos 2cos222utu tduutuudu 2220001111cos2cossin2sin44
2、2utuduutut 11sin22sin2424tt.（1）若tT，而1 2T，时，0Xmt，XR只与有关，二者均与t无关，因此，1 2X tt，是平稳过程。（2）若tT，而0T，时，Xmt可能取到不是常数的值，所取到的值与t有关，XR取到的值也与t有关，因此，0X tt，不是平稳过程。3.设随机过程 0cosX tAt，t 其中0是常数，A和是独立随机变量。服从在区间0 2，中的均匀分布。A服从瑞利分布，其密度为 2222000 xxexf xx，又设随机过程 00cossinY tBtCt，t 其中B与C是相互独立的正态变量，且都具有分布20N，。（1）试证 X t是平稳过程；（2）用本
3、章1 例 4 说明 Y t是平稳过程。证明：（1）由题意知，的分布密度为：10220f，其它 A服从瑞利分布，其密度为 2222000 xxexf xx，由题意知，A和是独立的随机变量，数学期望 00coscosXmtE X tE AtE A Et 222202001cos2xxxedxtd 222222002001cos2xxd etdtx 22220001sin02xx d et.相关函数 XXRRt tE X t X t，00coscosE AtAt 200coscosE Att 200coscosE AEtt 22222002001coscos2xxxedxttd 2232220020
4、011cos22cos22xxd etdx 222220001cos4xxd ed 2222001cos2xxd e 222222220001cos2xxxeedx222001cos22xxedx 222200cosxxd ex 222200cosxd e 222200cosxd e 222200cosxe 20cos.X t的数学期望是常数，相关函数仅与时间间隔有关，X t是平稳过程。（2）随机过程 00cossinY tBtCt，t ，0是常数，B与C是相互独立的正态变量，且都具有分布20N，则数学期望 00cossinYmtE Y tEBtECt.相关函数 YYRRt tE Y t Y
5、t，0000cossincossinEBtCtBtCt 220000coscossinsinEBttECtt 0000cossinsincosE BCtttt 220000coscossinsinEBttECtt 20cos.Y t数学期望是常数，相关函数仅与时间间隔有关，Y t是平稳过程。P105 6.设随机过程 0cosX tAt，t 其中A和是相互独立的随机变量，而在区间0 2，上均匀分布。试问 X t是否具有各态历经性。解：由题意知，的分布密度为：10220f，其它 数学期望 0cosXmtE X tE At.A和是相互独立的随机变量，20001coscos2XmtEA EtEAtd
6、220000011cossin022EAtdtEAt.相关函数 XXRRt tE X t X t，00coscosE AtAt 200coscosE Att 200coscosEAEtt 220001coscos2EAttd 2200011cos22cos22EAtd 22200011coscos42EAdEA.下面计算时间平均和时间相关函数：时间平均 01l.i.mcos2TTTX tAtdtT 00l.i.mcoscossinsin2TTTAttdtT 00l.i.mcoscossinsin2TTTTTAtdttdtT 000011l.i.mcossinsincos2TTTTTAttT 0
7、01l.i.mcos2sin2TATT00cossinl.i.m0TATT.时间相关函数 200l.i.mcoscos2TTTAX t X tttdtT 20001l.i.mcos 22cos22TTTAtdtT 20l.i.mcos24TATT20l.i.mcos2TA20cos2A.因此，XX tm，XX t X tR，故随机过程 X t具有数学期望各态历经性，而无相关函数各态历经性。7.随机过程 sincosX tAtBt，t 其中A和B是均值为零不相关的随机变量，且22EAEB。试证 X t具有数学期望各态历经性，而无相关函数各态历经性。证明：由题意知，0EAEB，A和B不相关，22E
8、AEB.数学期望 sincossincos0XmtE X tE AtBtEAtEBt.相关函数 XXRRt tE X t X t，sincossincosEAtBtAtBt 22sin sincos cossin coscos sinEAttEBttE ABtttt2cosEA.下面计算时间平均和时间相关函数：时间平均 1l.i.msincos2TTTX tAtBt dtT 1l.i.mcossin2TTTTTAtBtTsinl.i.m0TBTT.时间相关函数 1l.i.msincossincos2TTTX t X tAtBtAtBtdtT 21l.i.msin sinsin coscos s
9、in2TTTTTAttdtABttttdtT 2cos cosTTBttdt 211l.i.mcos 2cossin 222TTTTTAtdtABtdtT 21cos 2cos2TTBtdt 211l.i.mcos 2coscos 2222TTTTTTTAtdtdtABtT 2cos 2cos2TTTTBtdtdt 22221l.i.mcos 2cos2sin 2 sin4TTTTTABtdtABdtABTT22221l.i.msin 22 cos2sin2 sin42TTTABtABTABTT 22221l.i.msin 2sin22 cos2sin2 sin42TABTTTABABTT22
10、221l.i.msin 2sin 22 cos2sin2 sin42TABTTTABABTT22221l.i.msin2 cos2cos2sin2 sin4TBATT ABABTT 221cos2AB.XX tm，XX t X tR，X t具有数学期望各态历经性，而无相关函数各态历经性。8.设平稳过程 ，X tt的相关函数为 1aXRAea，其中A、a都是正常数；而 0EX t。试问 X t对数学期望是否有各态历经性 解：已知 X t是平稳过程，0XmEX t.21limlim1lim0aXXaAaRAeame，由 P61 定理 1 的推论，X t对数学期望具有各态历经性。【附】随机过程P61 定理 1 的推论：若平稳过程 X t满足条件 2limXXRm，即 lim0XC，则 XX tm，.。