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1、开放式基金投资最优决策 一、问 题 某开放式基金现有总额为 15 亿元的资金可用于投资，目前共有 8 个项目可供管理人选择，每个项目可重复投资。根据专家经验，对每个项目投资总额不能太高，应有上限。这些项目所需要的投资额已知，一般情况下投资一年后各项目所得利润也可估算出来，如表 1 所示。表 1 单位：万元 项目编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 投资额 6700 6600 4850 5500 5800 4200 4600 4500 年利润 1139 1056 727.5 1265 1160 714 1840 1575 上 限 34000 27000 30000 22000 3
2、0000 23000 25000 23000 请帮该公司解决以下问题：（1）就表 1 提供的数据，应该投资哪些项目，使得第一年所得利润最高？（2）在具体投资这些项目时，实际还会出现项目之间互相影响的情况。公司咨询有关专家后，得到以下可靠信息：同时投资项目A1，A3，它们的年利润分别是 1005万元，1018.5 万元；同时投资项目A4，A5，它们的年利润分别是 1045 万元，1276万元；同时投资项目A2，A6，A7，A8，它们的年利润分别是 1353 万元，840 万元，1610万元，1350 万元，该基金应如何投资？（3）如果考虑投资风险，则应如何投资，使收益尽可能大，而风险尽可能小。投
3、资项目总体风险可用投资项目中最大的一个风险来衡量。专家预测出各项目的风险率，如表 2 所示。表 2 项目编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 风险率(%)32 15.5 23 31 35 6.5 42 35（4）开放式基金一般要保留适当的现金，降低客户无法兑现的风险。在这种情况下，将专家的信息都考虑进来，基金该如何决策，使得尽可能降低风险，而一年后所得利润尽可能多？（5）这个项目投资，是必须资金全部到位才有利润，还是只要第一期资金到位启动后就可以随便投资，然后利润率按第一期利润和投资之比来计算？二、模型的建立及求解 1模型 1（线性整数规划）（1）假设 1）不考虑其他因素，单纯
4、追求利润最大；2）预计利润能正确反映各项投资的利润；3）若对某项目投资，则该项目的总投资额必须是该项目投资额的整数倍；4）投资过程中交易费为 0；5）该基金中无“庄家”或“金融大鳄”之类恶意操纵。（2）建模 设xi为对项目Ai的投资股数，H表示基金总额，mi表示项目Ai的投资上限，bi表示项目Ai每股的预计年利润，ci表示项目Ai每股的投资额，则一年后总投资利润iiixbR81，基金总额约束：Hxciii81，各项目投资额上限约束：iiimxc（i=1，2，8），从而建立如下模型。s.t.8,2,1,8,2,1,81iNximxcHxciiiiiii（3）求解 应用 Lindo 软件包，以题中
5、所给数据为例，编程求得结果，如表 3 所示。表 3 项目编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 投资股数（股）5 1 1 4 5 2 5 5 投资额 33500 6600 4850 22000 29000 8400 23000 22500 总投资 149850 年利润 5695 1056 727.5 5060 5800 1428 9200 7875 利润率（%）17 16 15 23 20 17 40 35 总利润 36841.5 从表 3 可以看出，基本上利润率较高的投资项目对应较强的投资势头，但有的投资项目虽然利润率较高，却未得到相应的投资势头，这说明利润率并不是影响投资的唯
6、一因素，还有另外的因素尚未考虑到，需要继续深入讨论。2模型 2（非线性整数规划）考虑到专家的信息，投资项目之间相互影响，修正模型 1。（1）假设 1）专家的信息有较高的可信度，单纯追求利润最大。2）满足模型 1 的假设 2）5）。（2）建模 由于不知道是否各相互影响的项目同时投资时，利润较大，引入 01 变量否则同时投资,0,131AAy，否则同时投资,0,154AAz，否则同时投资,0,18762AAAAu。设ib表示受同时投资影响时项目Ai每股的预计年利润，可建立如下模型。s.t.10,8,2,1,50020308,2,1,8762543181或uzyiNxuxxxxuzxxzyxxyim
7、xcHxciiiiiii 其中yxxy3031中的 30 表示A1，A3各最多投资 5 股，6 股；zxxz2054中的 20 表示A4，A5各最多投资 4 股，5 股；uxxxxu5008762 中的 500 表示A2，A6，A7，A8各最多投资 4 股，5 股，5 股，5 股。当A1，A3同时投资时，x1x30，y=1；当A1，A3不同时投资时，x1x3=0，y=0，故得A1，A3是否相互影响的约束可表示为：yxxy3031。同理可得其他两个是否相互影响的约束。（3）求解 应用 Lingo 软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果，如表 4 所示。表 4 项目编号 A1 A2 A3 A4
8、A5 A6 A7 A8 投资股数 1 0 6 4 5 4 5 5 投资额 6700 0 29100 22000 29000 16800 23000 22500 总投资额 149100 年利润 1005 0 6111 4180 6380 2856 9200 7875 利润率（%）15 16 21 19 22 17 40 35 总利润 37607 从表 4 可以看出，随着利润率的提高，投资势头也相应增强，利润率下降，投资势头也相应减弱，这又一次反映了利润率对投资势头的强大影响。3模型 3（多目标规划&非线性整数规划）考虑到专家提供的风险损失率方面的约束，进一步修正模型 2。（1）假设 1）考虑专家
9、预测出的各项目风险率，总体风险用投资项目中最大的一个风险来度量，追求利润尽可能大、风险尽可能小；2）满足模型 2 的假设 2）。（2）建模 设qi表示项目Ai的风险率，则总体风险max81iiiixcqQ，投资总利润R同模型 2，从而可建立如下模型。max R min Q s.t.同模型 2 利用法构造评价函数QRP)1(，其中权系数)0(*)0()0(*QQRRQQ，R*，Q*分别为R，Q的最优值，R(0)，Q(0)分别为Q，R取最优值时R，Q的取值，可以把上述双目标规划化为如下单目标规划。s.t.同模型 2 不过确定权系数的常用方法是根据专家意见和经验给出。（3）求解 引入变量s=Q，目标
10、函数化为sRP)1(，在满足上述约束条件的基础上，还要对s加以约束：sxcqiii，i=1，2，8。应用 Lingo 软件包，以题中所给的数据为例，编程求得结果，如表 5 所示，即在考虑利润和风险的基础上，均衡两者的权，得出的最佳折中方案。表 5 项目编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 投资股数 5 4 0 4 0 0 5 5 投资额 33500 26400 0 22000 0 0 23000 22500 总投资额 127400 利润率(%)17 16 15 23 20 17 40 35 风险率(%)32 15.5 23 31 35 6.5 42 35 年利润 5965 42
11、24 0 5060 0 0 9200 7875 总利润 32054 总体风险 10720(A1的风险)从表 5 可以看出，利润率和风险率对投资的影响都很大，对利润率和风险率都大的项目应谨慎投资，对风险大，利润过小的项目应少投资，甚至不投资。但对风险较大而利润较小的项目A1投资最多，说明权系数的选择不适当。4模型 4（多目标规划&非线性整数规划）模型 3 中未考虑保留适当的现金，从开放式基金具有由投资者随时赎回的特性来理解，相比交易所挂牌上市的证券，开放式基金以其单位基金净值作为赎回标准，可以在有效规避二级市场的股价波动风险的同时保证其流动性。对于突发性的赎回请示，基金管理人往往会通过保留一定的
12、资金来应付。基于此，我们在模型 3 的基础上追加考虑保留适当的现金，用以降低客户无法兑付的风险，进一步修正模型 3。（1）假设 1）考虑保留部分资金，追求利润最大、风险最小；2）不考虑原始投资人 1%的认购费率、0.5%的赎回费率；3）考虑保留资金的存储利润；4）满足模型 3 中的假设。（2）建模 模型 3 中未考虑投资者的风险偏好，而这个因素直接涉及投资方向和势头，对模型结果的影响很大。在实际中，对于不同风险偏好的投资者，其最佳投资方案有所不同。为了反映实际情况，我们把投资者偏好合并分类，各自对应的权值为：高度冒险：WR=0.8，WQ=0.2；比较冒险：WR=0.6，WQ=0.4；中性冒险：
13、WR=0.5，WQ=0.5；比较保守：WR=0.4，WQ=0.6；高度保守：WR=0.2，WQ=0.8。WR，WQ在满足WR+WQ=1 的条件下，具体取值可适当调整，这并不影响算法的实现。1）风险偏好与效用函数。投资的目的是为了将来更大的消费，即财富的增加。不同的财富水平投资者获得的效用是不同的，同样的财富增加量对不同的投资者，其带来的效用增加也有所不同。财富x与效用U之间的数量关系通常称为财富的效用函数，记为U(x)。U(x)一般是增函数，即0)(xU，但对于不同的投资者其增长的形态不同。以下是三种典型效用函数形态。风险回避型 这种人对财富的增加不很敏感，或财富增加的边际效用是递减的，通常不
14、愿意为增加财富而冒大风险，如图 1 所示。风险中性型 这种人对财富增加的态度始终是相同的，边际效用是一常数，如图 2 所示。风险偏爱型 这种人对财富具有强烈的渴望，越富越想富，财富增加的边际效用是递增的，因而愿意为增加财富而承担较大的风险，如图 3 所示。图 1 图 2 图 3 以上三种基本形态均可用下列二次效用函数表示：虽然实际的效用函数有可能不是二次的，但二次效用函数具有更好的概率特性。2）投资心理曲线。一般来说，人们的心理变化是一个模糊的概念，在此，对一个投资方案的看法（即对投资者的吸引力）的变化就是一个典型的模糊概念。通过查找心理学的相关资料，我们定义投资者的心理曲线为2)/(1)(x
15、exu)0(，其中表示投资者平均收入的相关因子，称为实力因子，一般为常数。实力因子是反映不同投资者的平均收入和消费水平的标准。确定一个投资方案应该尽力考虑所有不同投资者的实力因子，而在我国不同地区的收入和消费水平是不同的，因此不同地区的实力因子也不尽相同，要统一来评估这些方案的合理性，就应该对同一实力因子进行研究。为此我们以中等地区的收入水平为例，根据相关网站的统计数据，不妨取人均年收入为 1.5 万元，按我国的现行制度，平均工作年限为 35 年，则人均收入为 52.5 万元。取2)/5.52(1)5.52(eu=0.5（即吸引力的中位数），则6.30589。3）保留现金比例。设保留现金比例为
16、g，不同投资者所占人群比例为i，又得知他们的风险偏好不同，主观风险权系数为WQi，i=1，2，3，4，5，则 根据投资心理曲线，参照风险偏好和效用函数，并根据网上调查，得知投资者基本上划分为 5 种类型，通过代入模型计算，得到相关信息如表 6 所示。表 6 风险偏好 高度冒险 比较冒险 中度冒险 比较保守 高度保守 所占人群比例(%)8.5 24.5 33 26.5 7.5 风险权系数归一化 0.08 0.16 0.20 0.24 0.32 保留现金比例(%)19.96 保留的资金存入银行比闲置更有利，这笔资金是用来应对突发性的赎回请求的，随时都可能用到它，因此采用活期存款的方式，存款年利润按
17、 0.72%计。将此代入模型 3，并把基金总额约束修正为：Hgxciii)1(81，得模型 4。（3）求解 应用 Lingo 软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果，如表 7 所示。表 7 项目编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 投资股数 5 0 0 4 0 4 5 5 投资额 33500 0 0 22000 0 16800 23000 22500 总投资额 117800 年利润 5695 0 0 5060 0 2856 9200 7875 保留资金 29940 存款利润 215.568 总利润 30901.568 总体风险 10720 以上是在假设这一年中未发生突发性的赎
18、回请求，保留资金未被动用的情况下的总利润。考虑到最不好的情况，即保留资金还未存入银行就被动用，无存款利润可言。综上所述，我们认为用于保留的资金为 29940 万元比较合适，总利润应该在（30686，30901.568）范围内。5模型 5（非线性整数规划）（1）假设 1）不考虑风险因素，单纯追求利润最大；2）投资额是连续的；3）第一期资金到位启动后就可以随便投资，然后利润率按第一期利润和投资之比来计算。（2）建模 设xi为对项目Ai的投资金额，i=1，2，8。考虑到假设 2）、3），项目之间有无影响时的利润率分别为iiicba，iiicba。引入 01 变量否则投资,0,1iiAv，i=1，2，
19、8，则Ai的投资金额的上下限约束为：iiiiivmxvc，可建立如下模型。s.t.8,2,1,10,8,2,1,0103570751066101028,2,1,12876275473181ivuzyixuxxxxuzxxzyxxyivmxvcHxiiiiiiiii或 其中yxxy73110102中的 102107表示A1，A3各最多投资 34000 万元，30000 万元。当A1，A3同时投资时，1,031yxx；当A1，A3不同时投资时，0,031yxx。同理可得其他两个是否相互影响的约束。（3）求解 应用 Lingo 软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果，如表 8 所示。表 8 项目编
20、号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 投资金额 27000 0 30000 22000 0 23000 25000 23000 总投资额 150000 年利润 4050 0 6300 5060 0 3910 10000 8050 总利润 37370 从表 8 可以看出，这种投资方案将资金全部抛出，未留“适当”现金，不符合开放式基金的特点，欠妥。比较模型 5 和模型 2 的结果，可知模型 5 的方案中总投资额、总利润与利润率分别为 150000 万元、37370 万元、24.9%，而模型 2 的方案中总投资额、总利润与利润率分别为 149100 万元、37607 万元、25.2%，
21、显然模型 2的投资方案比模型 5 的更好。这说明在投资时，只有投资以单位投资额的整数倍投入，利润才会以相应倍数增大。如果投资不是以单位投资额的整数倍投入，利润的增长则明显滞后，利润率明显偏低，是不合算的方案。同时模型 2 的方案中留下了一部分资金备用，符合开放式基金客户投资、撤资自由的特点，而模型 5 的方案中未留下任何备用资金，一旦客户要求撤资，开放式基金就有失信的风险，不利于其长久发展。三、灵敏度分析 决策变量xi相应的影子价格称为缩减成本RCi，i=1，2，8，RCi的值表示当xi增加一个单位（其他变量保持不变）时，目标函数增加的量，如表 9 所示。表 9 股 份 x1 x2 x3 x4
22、 x5 x6 x7 x8 模型1 RCi 1139 1056 727.5 1265 1160 714 1840 1575 模型2 RCi 1005 1056 1018.5 0 1276 714 1840 1575 模型3 RCi 1930 224.44 0 0 246.54 0 391.1 334.7 模型4 RCi 1930 0 0 0 246.54 151.7 391.1 334.7 从表 9 可以发现，x1的变化对各目标函数最优值的影响最大，x7次之。四、模型的进一步分析 实际上，投资的收益和风险都是随机的，考虑如下问题。某投资公司经理欲将 50 万元基金用于股票投资，股票的收益是随机的
23、。经过慎重考虑，他从所有上市交易的股票中选择了 3 种股票作为候选的投资对象，从统计数据的分析得到：股票A每股的年期望收益为 5 元，标准差（均方差）为 2 元；股票B每股的年期望收益为 8 元，标准差为 6 元；股票C每股的年期望收益为 10 元，标准差也为 10 元；股票A，B收益的相关系数为 5/24，股票A，C收益的相关系数为-0.5，股票B，C收益的相关系数为-0.25。目前股票A，B，C的市价分别为 20 元，25 元，30 元。（1）如果该投资人期望今年得到至少 20%的投资回报，应如何投资可使风险最小（这里用收益的方差或标准差衡量风险）？（2）投资回报率与风险的关系如何？1建模
24、 设x1，x2，x3分别表示投资股票A，B，C的数量。国内股票通常以“一手”（100股）为最小单位出售，故此处设股票数量以 100 股为单位。相应地，期望收益和标准差以百元为单位。记股票A，B，C每手的收益分别为s1，s2，s3（百元），根据题意，si（i=1，2，3）是随机变量，投资的总收益332211sxsxsxs也是随机变量。用E和D分别表示随机变量的数学期望和方差（标准差的平方），r和 cov 表示两个随机变量的相关系数和协方差，则 1Es=5，2Es=8，3Es=10，1Ds=4，2Ds=36，3Ds=100，12r=5/24，13r=-0.5，23r=-0.25，5.2),cov(
25、211221DsDsrss，10),cov(311331DsDsrss，),cov(32ss153223DsDsr。故投资的总期望收益为3322111EsxEsxEsxEsz 3211085xxx，投资总收益的方差为),cov(221213232221212ssxxDsxDsxDsxDsz 3231212322213232313130205100364),cov(2),cov(2xxxxxxxxxssxxssxx 实际上投资者可能面临许多约束条件，如是否需要将资金全部用来购买股票，没有购买股票的资金是否可以存入银行或做其他投资。此处假设不一定需要将资金全部用来购买股票，没有购买股票的资金也闲置
26、不用，而只考虑可用于投资的资金总额的限制，即5000302520321xxx。问题（1）的模型为二次规划：min z2 s.t.Nxxxxxxxxx321321321,100010855000302520 问题（2）的模型为：min12zzz s.t.Nxxxxxxxxx321321321,100010855000302520 其中为风险偏好系数，10。当=0 时，表明投资者是完全的冒险型，不考虑风险；当充分大时，表明投资者是保守型的，希望规避风险。取不同的求解，即可大致看出投资回报率与风险的关系。2求解 利用 Lingo 软件包，编程求得问题（1）的结果：股票A，B，C各购买 132，15，
27、22（手），投资额为 3675（百元），总期望收益为 1000（百元），风险（方差）为 68116，标准差为 261（百元）。对问题（2），通过试探发现从 0.00010.1 以 0.0001 的步长变化可以得到很好的近似结果，图 4 给出了对应的总期望收益与风险（标准差）之间的关系。图 4 （单位：百元）由于每 1 元投资于股票C的预期收益最大，因此 50 万元可能的最大预期收益为16.6667 万元。从图 4 可以看出，当预期收益在 014 万元左右增加时，风险基本上线性增加；若预期收益超过 14 万元，则风险迅速增加。因此可见，对于那些对收益和风险没有特殊偏好的投资者来说，转折点处的投资
28、组合方案比较理想，经过对计算结果（数据输出）的检查可得，这个方案大致是股票A，B，C各购买 153，35，35（手）。五、模型的评价 1模型的优点（1）采用较为成熟的数学理论建立模型，可信度比较高。（2）模型的计算采用专业数学软件，可信度较高，便于推广。（3）模型经多次修正，综合考虑到了风险偏好等方面，给出的最优决策对于有关部门有较大的参考价值。2模型的缺点（1）模型虽然综合考虑了很多因素，但为了建立模型，理想化了许多影响因素，具有一定的局限性，得到的最优方案可能与实际有一定的出入。（2）模型 5 只考虑了利润最大，没有考虑风险最小，模型结果与实际有一定差距。六、模型的推广 1模型建立思想还可以进一步解决彩票投注、企业投资、车辆调度、运输费用等方面的规划问题。2问题（3）的模型还可以考虑用“理想点法”、“法”、“极大极小法”等求解多目标规划问题，然后对各种方法得到的投资方案进行比较，优选出更合理的方案。3模型应该进一步考虑随便投资（利润按利润率求解）的问题，求解该情况下的最优解，以及考虑多阶段投资等问题。