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1、垂直证明题常见模型及方法 证明空间线面垂直需注意以下几点：由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方 法之一。明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结 论。垂直转化：线线垂直=线面垂直 D 面面垂直；基础篇 类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1）共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直（只需要同学们掌握以下几种模型）1 等腰（等边）三角形中的中线 例：在正方体 ABCDABC1D1中，O 为底面 ABCD的中心，E 为CC1,求证：A _LOE（2
2、）异面垂直（利用线面垂直来证明，高考中的意图）例1 在正四面体ABCM,求证AC _L BD 变式 1 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，已知 AB=3,AD=2,PA=2,PD=22,/PAB=60 证明：AD _L PB；变式 2 如图，在边长为 2的正方形 ABCD中，点E是AB的中点，点F是 BC的中点，将 AED,A DCF 分别沿DE,DF折起，使A,C两、一，点重合于A.1 求证：A D L EF；（2菱形（正方形）的对角线互相垂直 勾股定理中的三角形 1:1:2 的直角梯形中 5 利用相似或全等证明直角。变式 3 如图，在三棱锥 PABC中，刀PAB是等边三角形
3、，Z PAC=/Z PBC=90。证明：AB PC 类型二 线面垂直证明 利用线面垂直的判断定理 例 2:在正方体ABCDABCI0中，O 为底面 ABCD 的中心，E 为CG,求证:AO顼面BDE 变式 1：在正方体 ABCDABC1D1中，求证：AC _L 平面BDC1 变式 2:如图：直三棱柱 ABC A1B1C1 中,AC=BC=AAI=2,Z ACB=90 .E 为BB1的中点，D 点在 AB 上且 DE=J3.求证：CD 平面 A1ABB1；A B 变式 3:如图，在四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,2 求证：AO
4、_L 平面 BCD;变式 4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,O；A E AD/BC,NABC=90,PA_L 平面 ABCD.PA=3,AD=2,AB=2 点，BC=6(1)求证：BD _L 平面 PAC 2)利用面面垂直的性质定理 例 3:在三棱锥 P-ABC 中，PA _L 底面ABC,面PAC _L 面PBC,求证：BC _L 面PAC。A E D 方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。变式 1,在四棱锥 P-ABCD，底面 ABC 以正方形，侧面 PAB 是等腰三角形，且 面PAB _L 底面ABCD，求证:BC L 面PAB类型 3:面面垂直的证明。（本质上是证
5、明线面垂直）例 1 如图，已知 AB _L平面ACD,DE _L平面ACD,ACD为等边三角形，AD=DE=2AB,F 为 CD 的中点.求证：AF/平面BCE；如图，在四棱锥PABCD中，PA_L底面ABCD AB _LAD,AC _LCD,/ABC=60 PA=AB=BC,E 是 PC 的 中占 I 八、（1）证明 CD _LAE；（2）证明 PD _L 平面 ABE；变式 1 已知直四棱柱 ABCD A B C D 的底面是菱形，D N ABC=60”,E、F 分别是棱 CC与 BB上的点，且 EC=BC=2FB=2.（1）求证：平面 AEFL 平面 AA C C;求证：平面BCE _L
6、平面CDE；E A F B F D 其中正确的命题是()()A.a 与 6 必相交且交线 B.a 与 6 必相交且交线 C.a 与 6 必相交且交线 D.a 与 6 不一定相交 9.设 l、m 为直线，a 为平面，且 l a,给出下列命题 若 m a，贝 U mil l;若 m l,贝 U m/a;若 m/a，贝 U m l;若 m/l,则 举一反三 1.设 M 表示平面,a、b 表示直线，给出下列四个命题:a _M=b _M a _M 2 b _M=a/b a _ M 一 b/M a _b a/M 一 bM.a_b A.B.C.D.2.下列命题中正确的是()A.若一条直线垂直于一个平面内的两
7、条直线，则这条直线垂直于这个平面 B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线 D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一 条直线必垂直于这个平面 3.如图所示，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点.现在沿 DE、DF 及 EF 把 ADE、CDF 和 BEF 折 起，使 A、B、C 三点重合，重合后的点记为 体 P DEF 中，必有()A.DPL 平面 PEF B.DM 上平面 PEF C.PM 平面 DEF D.PFX 平面 DEF 4.设 a、b 是异面直线，下
8、列命题正确的是 A.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一条直线和 B.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一个平面和 C.过 a 一定可以作一个平面与 b 垂直 D.过 a 一定可以作一个平面与 b 平行 5.如果直线 l,m 与平面 a,3，丫满足：1=6 口)a、b 都相交 a、b 都垂直 A.a 上 丫 且 l m 6.AB 是圆的直径，,m=a 和 m T，那么必有(A.1 B.2 C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若 BC=1,AC=2,PC=1,)2 5 C.-5 c 3 5 D.-5 7.有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面 a 的一条斜线 l 有
9、且仅有-异面直线 a、b 不垂直，那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直 其中正确命题的个数为 个平面与 a 垂直;A.0 B.1 8.d 是异面直线 a、b()C.2 的公垂线，平面 D.3 a、3 满足a_L a,b_L 3,则下面正确的结论是 m II d 或 m 与 d 重合 m/d 但 m 与 d 不重合 m 与 d 一定不平行 D C P.那么，在四面 E A E B F 其中其句理的序号是()A.B.C.D.10.已知直线 I 平面 a，直线 mW 平面 3,给出下列四个命题：若 a/6，贝 U lm；若a 3，贝 u l/m；若 l/m,贝 U a 上。；若 lm,则 a.其
10、中正确的命题是()A.与 B.与 C.与 D.与、思维激活 11.如图所示，ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面 C,如果 A B C是正三角形，且 12.如图所示，在直四棱柱 A1B1C1D1 ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件 有 A1C B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)13.如图所示，在三棱锥 VABC 中，当三条侧棱VA、VB、VC 之间满足条件 时,有 VC AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高 14.如图所示，三棱锥 V-ABC 中,AHL 侧面 VBC,且 H 是 VBC 的垂心，BE 是 VC 边上
11、的 高.(1)求证：VCL AB;(2)若二面角 EAB-C 的大小为 30 ,求 VC 与平面 ABC 所成角的大小.15.如图所示，FAL 矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点.(1)求证：MN/平面 FAD.(2)求证：MN CD.(3)若 Z PDA=45 ,求证：MNL 平面 FCD.16.如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，/BAD=60,AB=4,AD=2,侧棱 PB=据,PD=焰.a 的同侧，它们在 a AA=3cm,BB=内的射影分别为 A,B,5cm,CC=4cm，则 A B C的面积是 第 12 题图 第 13 题图
12、(1)求证：BD平面 RAD.(2)若 PD 与底面 ABCD 成 60 的角，试求二面角 P BCA 的大小.17.已知直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，/ACB=90 ,Z BAC=30 ,BC=1,AA=V6,M 是 CCi 的中点，求证：AB1AM.18.如图所示，正方体 ABCD A B C D 的棱长为 a,M 是 AD 的中点，N 是 BD 上一点，且 D N:NB=1:2,MC 与 BD 交于 P.(1)求证：NPL 平面 ABCD.(2)求平面 PNC 与平面 CC D D所成的角.求点 C 到平面 D MB 的距离.线面垂直习题解答 1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另
13、一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平 行.2.C 由线面垂直的性质定理可知.3.A 折后 DP PE,DP PF,PE PF.4.D 过 a 上任一点作直线 b/b,则 a,b确定的平面与直线 b 平行.5.A 依题意，m 上丫且 mu a,则必有 a Y，又因为 1=37 则有 l U 丫，而 m Y 贝 U l m,故选 A.6.D 过 P 作 PD AB 于 D,连 CD,贝 U CD AB,AB=AC2+BC2=/5,AB AC BC 2 5 第 16 题图 第 18 题图 2 2 43.5-PD=、PC2CD2=1=5 5 7.D 由定理及性质知三个命题均正确.8.A 显然
14、a 与 6 不平行.9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面 垂直.10.B a II。，1 _L a,1 _L m 11.爽 cm2设正三角 A B C的边长为 a.2 八小2 2八2 22 AC=a+1,BC=a+1,AB=a+4,又 AC2+BC2=AB2,a2=2._ 3 2 3 2 SAA B C a=cm 12.在直四棱柱 A1B1C1D1 ABCD 中当底面四边形 ABCD 满足条件 AC BD（或任何能推导出 这个条件的其它条件，例如 ABCD 是正方形，菱形等）时，有 A1C B1D1（注:填上你认为正确 的一种条件即可，不必考虑所有
15、可能的情形）.点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了 三垂线定理但答案不惟一，要求思维应灵活.13.VCX VA,VCAB.由 VCVA,VCAB 知 VCX 平面 VAB.14.(1)证明:.H 为 VBC 的垂心,VC BE,又 AHL 平面 VBC,BE 为斜线 AB 在平面 VBC 上的射影，AB VC.(2)解:由(1)知 VC AB,VC BE,VCL 平面 ABE,在平面 ABE 上，作 ED AB,又 AB VC,ABL 面 DEC.AB CD.Z EDC 为二面角 E-AB C 的平面角，EDC=30 ,.ABL 平面 VCD,VC 在底
16、面 ABC 上的射影为 CD.Z VCD 为 VC 与底面 ABC 所成角，又 VC AB,VC BE,VCL 面 ABE.VC DE,Z CED=90，故 Z ECD=60 ,VC 与面 ABC 所成角为 60 .15.证明：(1)如图所示，取 PD 的中点 E,连结 AE,EN,则有 EN IICD/AB/AM,EN=1 CD=1AB=AM，故 AMNE 为平行四边形 2 2 MN/AE.AE 平面 RAD,MN 平面 FAD,.MN/平面 PAD.(2)RAL 平面 ABCD,FAX AB.又 ADAB,.ABL 平面 RAD.ABAE,即 AB MN.又 CD/AB,MN CD.(3)
17、L PAL 平面 ABCD,FAX AD.又PDA=45 ,E 为 RD 的中点.AE RD,即 MN RD.又 MN CD,MNL 平面 RCD.第 15 题图解 16.如图(1)证：由已知 AB=4,AD=2,/BAD=60,故 BD2=AD2+AB2-2AD-ABcos60=4+16-2 X 2X 4 X 1=12.2 又 AB2=AD2+BD2,ABD 是直角三角形，Z ADB=90 ,即 AD BD.在 RDB 中，RD=3,RB=通，BD=压，RB2=RD2+BD2,故得 RD BD.又 RD n AD=D,BD平面 RAD.由 BD平面 RAD,BD平面 ABCD.平面 RAD平
18、面 ABCD.作 READ 于 E,又 RE 平面 RAD,RE平面 ABCD,/RDE 是 RD 与底面 ABCD 所成的角.一.3 3.Z RDE=60,RE=RDsin60=罚次=一 2 2 作 EF BC 于 F,连 RF,贝 U RF BF,Z RFE 是二面角 R BCA 的平面角.又 EF=BD=A2，在 Rt REF 中，3 故一面角 R BC A 的大小为 arctan 4tan Z RFE=RE EF 2-3 第 16 题图解 AC 3 2 CCi ME；=.6=CA Rt ACC1s Rt MC1A1,ACiC=Z MAiCi,AiMCi+Z ACiC=Z AiMCi+Z
19、 MAiCi=90 .-AiM ACi,又 ABC-AiBiCi 为直三棱柱，CCi BiCi，又 BiCiAiCi,-BiCi平面 ACM.由三垂线定理知 ABi AiM.点 评：要 证ABi lAiM，因BiCiX平 面ACi,由 三 垂 线 定 理 可 转 化 成 证 ACilAiM,而 ACilAiM 一定会成立.i8.(i)证明：在正方形 ABCD 中，.MPD CPB，且 MD=iBC 2，DP:PB=MD:BC=i:2.又已知 D N:NB=i:2,由平行截割定理的逆定理得 NP/DD,又 DD 上平面 ABCD,NPL 平面 ABCD.(2).NP/DD /CC,NP、CC在同一平面内，CC为平面 NPC 与平面 CC D D 所成二面角的棱 又由 CC上平面 ABCD,得 CC CD,CC CM,Z MCD 为该二面角的平面角.在 Rt MCD 中可知/MCD=arctan ,即为所求二面角的大小.2 由已知棱长为 a 可得，等腰 MBC 面积 Si 求距离为 h,即为三棱锥 C-D MB的高.i.i.二棱锥 D BCM 体积为 DDJSzh,3 3S23 17.连结 ACi,a2 6 a，等腰 MBD 面积 S2=6 a2,设所