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1、八年级数学（下册）知识点总结二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子（0）叫做二次根式。2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； 被开方数中不含分母； 分母中不含根式。3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。（0）（0）0 （=0）；4.二次根式的性质：（1）（）2= （0）； （2）5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外
2、面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式=（a0，b0）； （b0，a0）（4）有理数的加法互换律、结合律，乘法互换律及结合律，乘法对加法的分派律以及多项式的乘法公式，都合用于二次根式的运算【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1），其中是二次根式的是_1 3 4 5 _（填序号）例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）；（2）例3、 在根式1) ，最简二次根式是（C ）A1) 2) B3) 4) C1)
3、3) D1) 4)例4、已知：例5、 （2023龙岩）已知数a，b，若=ba，则 (B )A. ab B. a0，b0时，则：； 例8、比较与的大小。 5、规律性问题例1. 观测下列各式及其验证过程： ， 验证：； 验证:.（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思绪，猜想的变形结果，并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n2，且n是整数)表达的等式，并给出验证过程.勾股定理 1.勾股定理：假如直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2=c2。2.勾股定理逆定理：假如三角形三边长a,b,c满足a2b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。 3.通过证明被确认对的
4、的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。假如把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 4.直角三角形的性质 （1）、直角三角形的两个锐角互余。可表达如下：C=90A+B=90 （2）、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 A=30 可表达如下： BC=AB C=90 （3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB=90 可表达如下： CD=AB=BD=AD D为AB的中点5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项ACB=90 CD
5、AB 6、常用关系式由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC7、直角三角形的鉴定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、假如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。8、命题、定理、证明 1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题。理解：命题的定义涉及两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。2、命题的分类（按对的、错误与否分） 真命题（对的的命题）命题 假命题（错误的命题）所谓对的的命题就是：假如题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓错误的命
6、题就是：假如题设成立，不能证明结论总是成立的命题。3、公理人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。4、定理用推理的方法判断为对的的命题叫做定理。5、证明判断一个命题的对的性的推理过程叫做证明。6、证明的一般环节（1）根据题意，画出图形。（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。（3）通过度析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。9、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的
7、作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。10数学口诀. 平方差公式:平方差公式有两项，符号相反牢记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。 完全平方公式:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首尾括号带平
8、方，尾项符号随中央。四边形 1四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于360；（2）四边形的外角和等于360.2多边形的内角和与外角和定理：（1）n边形的内角和等于(n-2)180；（2）任意多边形的外角和等于360.3平行四边形的性质：由于ABCD是平行四边形4.平行四边形的鉴定：.5.矩形的性质：由于ABCD是矩形6. 矩形的鉴定：四边形ABCD是矩形. 7菱形的性质：由于ABCD是菱形8菱形的鉴定：四边形四边形ABCD是菱形.9正方形的性质：由于ABCD是正方形 （1） （2）（3） 10正方形的鉴定：四边形ABCD是正方形. (3)ABCD是矩形又AD=AB 四边形ABCD
9、是正方形11等腰梯形的性质：由于ABCD是等腰梯形 12等腰梯形的鉴定：四边形ABCD是等腰梯形 (3)ABCD是梯形且ADBCAC=BDABCD四边形是等腰梯形 14三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.15梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.一 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.二 定理：中心对称的有关定理1关于中心对称的两个图形是全等形.2关于中心对称的两个图形，对称点连线都通过对称中心，并且被对
10、称中心平分.3假如两个图形的相应点连线都通过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.三 公式： 1S菱形 =ab=ch.（a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ，h为c边上的高）2S平行四边形 =ah. a为平行四边形的边，h为a上的高）3S梯形 =（a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）四 常识：1若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：.2规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.3如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.4常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 ；仅是中心对称图形的有：平行四
11、边形 ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 .注意：线段有两条对称轴.一次函数一.常量、变量： 在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做 变量 ；数值始终不变的量叫做 常量 。二、函数的概念：函数的定义：一般的，在一个变化过程中,假如有两个变量x与y，并且对于x的每一个拟定的值，y都有唯一拟定的值与其相应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数三、函数中自变量取值范围的求法：（1）用整式表达的函数，自变量的取值范围是全体实数。（2）用分式表达的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。（3）用寄次根式表达的函数，自变量的取值范围是全体实数。 用偶次根式表达的函数，自变量
12、的取值范围是使被开方数为非负数的一 切实数。（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题故意义。四、 函数图象的定义：一般的，对于一个函数，假如把自变量与函数的每对相应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象五、用描点法画函数的图象的一般环节1、列表（表中给出一些自变量的值及其相应的函数值。）注意：列表时自变量由小到大，相差同样，有时需对称。2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值相应的各点
13、。3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。六、函数有三种表达形式：（1）列表法 （2）图像法 （3）解析式法七、正比例函数与一次函数的概念：一般地，形如y=kx(k为常数，且k0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.八、正比例函数的图象与性质：（1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k0) 的图象是通过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。 (2)性质:当k0时,直线y= kx通过第三，一象
14、限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k0，b0图像通过一、二、三象限；（2）k0，b0图像通过一、三、四象限；（3）k0，b0 图像通过一、三象限；（4）k0，b0图像通过一、二、四象限；（5）k0，b0图像通过二、三、四象限；（6）k0，b0图像通过二、四象限。一次函数表达式的拟定求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k0）时，需要由两个点来拟定；求正比例函数y=kx（k0）时，只需一个点即可. 5.一次函数与二元一次方程组：解方程组从“数”的角度看，自变量（x）为什么值时两个函数的值相等并求出这个函数值 解方程组 从“形”的角度看，拟定两直线交点的坐标.数据的分析数据的代表：平均数
15、、众数、中位数、极差、方差1解记录学的几个基本概念 总体、个体、样本、样本容量是记录学中特有的规定，准确把握教材，明确所考察的对象是解决有关总体、个体、样本、样本容量问题的关键。 2.平均数 当给出的一组数据，都在某一常数a上下波动时，一般选用简化平均数公式，其中a是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数;当所给一组数据中有反复多次出现的数据，常选用加权平均数公式。 3.众数与中位数 平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。中位
16、数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数没影响；当一组数据中不少数据多次反复出现时，可用众数来描述。 4.极差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差最大值最小值。 5.方差与标准差 用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表达一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公式是s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，波动越大，也越不稳定或不整齐。一、选择题1一组数据3，5，7，m，n的平均数是6，则m，n的平均数是（ ）A.6 B.7 C. 7.5 D. 15 2小华
17、的数学平时成绩为92分，期中成绩为90分，期末成绩为96分，若按3：3：4的比例计算总评成绩，则小华的数学总评成绩应为（ ）A92 B93 C96 D92.73.关于一组数据的平均数、中位数、众数，下列说法中对的的是（ ）A.平均数一定是这组数中的某个数 B. 中位数一定是这组数中的某个数C.众数一定是这组数中的某个数 D.以上说法都不对4某小组在一次测试中的成绩为：86，92，84，92，85，85，86，94，92，83，则这个小组本次测试成绩的中位数是（ ）A85 B86 C92 D87.95某人上山的平均速度为3km/h，沿原路下山的平均速度为5km/h，上山用1h，则此人上下山的平均
18、速度为（ ）A.4 km/h B. 3.75 km/h C. 3.5 km/h D.4.5 km/h6在校冬季运动会上，有15名选手参与了200米预赛，取前八名进入决赛.已知参赛选手成绩各不相同， 某选手要想知道自己是否进入决赛，只需要了解自己的成绩以及所有成绩的（ ）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.以上都可以二、填空题：（每小题6分，共42分）7将9个数据从小到大排列后，第 个数是这组数据的中位数8假如一组数据4，6，x，7的平均数是5，则x = .9已知一组数据：5，3，6，5，8，6，4，11，则它的众数是 ，中位数是 . 10一组数据12，16，11，17，13，x的中位数是14
19、，则x = . 11某射击选手在10次射击时的成绩如下表：环数78910次数2413则这组数据的平均数是 ，中位数是 ，众数是 .12某小组10个人在一次数学小测试中，有3个人的平均成绩为96，其余7个人的平均成绩为86，则这个小组的本次测试的平均成绩为 . 13为了了解某立交桥段在四月份过往车辆承载情况，连续记录了6天的车流量(单位：千辆/日)：32，34，3，28，34，7，则这个月该桥过往车辆的总数大约为 辆.第十七章反比例函数 1.定义：形如y（k为常数，k0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k 2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
20、有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点3.性质:当k0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。 4.|k|的几何意义：表达反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。5.反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可互换。 1、反比例函数的概念一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函
21、数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质反比例函数k的符号k0k0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。x的取值范围是x0， y的取值范围是y0；当k0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 的增大而增大。4、反比例函数解析式的拟定拟定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在
22、反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对相应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而拟定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。第十七章反比例函数 1.定义：形如y（k为常数，k0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k 2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点3.性质:当k0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k0时双曲线的两支分
23、别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。 4.|k|的几何意义：表达反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。知识点： 选用恰当的数据分析数据知识点详解：一：5个基本记录量（平均数、众数、中位数、极差、方差）的数学内涵:平均数：把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。平均数反映一组数据的平均水平，平均数分为算术平均数和加权平均数。众数：在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数中位数：将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差。巧计方法
24、，极差=最大值-最小值。方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数，记作s2.巧计方法:方差是偏差的平方的平均数。标准差：方差的算术平方根，记作s。二 教学时对五个基本记录量的分析：1 算术平均数不难理解易掌握。加权平均数，关键在于理解“权”的含义，权重是一组非负数，权重之和为1，当各数据的重要限度不同时，一般采用加权平均数作为数据的代表值。学生出现的问题：对“权”的意义理解不深刻，易混淆算术平均数与加权平均数的计算公式。采用的措施：弄清权的含义和算术平均数与加权平均数的关系。并且提醒学生再求平均数时注意单位。2 平均数、与中位数、众数的区别于联系。联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集
25、中趋势，其中以平均数的应用最为广泛。 区别：A 平均数的大小与这组数据里每个数据均有关系，任一数据的变动都会引起平均数的变动。B 中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响。当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势。C 众数重要研究个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的某些数据有关，当一组数据中有不少数据多次反复出现时，我们往往关心众数。其中众数的学习是重点。学生出现的问题：求中位数时忘掉排序。对三种数据的意义不能对的理解。采用的措施：加强概念的分析，多做对比练习。3 极差，方差和标准差。 方差是重难点，它是描述一组数据的离散限度即稳定性的非常重要的量，离散
26、限度小就越稳定，离散限度大就不稳定，也可称为起伏大。极差、方差、标准差虽然都能反映数据的离散特性，但是，对两组数据来说，极差大的那一组方差不一定大；反过来，方差大的，极差也不一定大。学生出现的问题：由于方差，标准差的公式较麻烦，在应用时常由于粗心或公式不熟导致错误。采用的措施：注意方差是“偏差的平方的平均数”这一重要特性。或使用计算器计算。这些数据经常用来解决一些“选拔”、“决策”类问题。中考中经常综合在一起考察。14为了培养学生的环保意识，某校组织课外小组对该市进行空气含尘调查，下面是一天中每2小时测得的数据(单位：g/m3 ):0.040.030.020.030.040.010.030.0
27、40.030.050.010.03 (1)求出这组数据的众数和中位数；(2)假如对大气飘尘的规定为平均值不超过0.025 g/m3，问这天该城市的空气是否符合规定？为什么？ 15 A、B两班在一次百科知识对抗赛中的成绩记录如下：分数5060708090100人数(A班)351531311人数(B班)161211155根据表中数据完毕下列各题：(1)A班众数为 分，B班众数为 分，从众数当作绩较好的是 班；(2)A班中位数为 分，B班中位数为 分，A班中成绩在中位数以上的(涉及中位数)学生所占的比例是 %，B班中成绩在中位数以上的(涉及中位数)学生所占的比例是 %，从中位数当作绩较好的是 班；(3)若成绩在85分以上为优秀，则A班优秀率为 %，B班优秀率为 %，从优秀率当作绩较好的是 班.(4)A班平均数为 分，B班平均数为 分，从平均数当作绩较好的是 班；16.某酒店共有6名员工，所有员工的工资如下表所示：人 员经理会计厨师服务员1服务员2勤杂工月工资(元)4000600900500500400(1)酒店所有员工的平均月工资是多少元？(2)平均月工资能准确反映该酒店员工工资的一般水平吗？若能，请说明理由.若不能，如何才干较准确地反映该酒店员工工资的一般水平？谈谈你的见解.