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1、 余弦定理教学设计（热门3篇） 射阳县教育局教研室 王克亮 教学目标:(1)把握余弦定理,并能解决一些简洁的度量问题. (2)初步运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. (3)经受余弦定理的发觉与验证过程,增加学生的理性思维力量. 教学重点:余弦定理的发觉与运用. 教学难点:余弦定理的证明. 课前预备:(1)自制一个如下图的道具. (2)课前,教者在黑板上画好如下图的三个三角形. 固定联结点 A 塑料棒1 细绳 可动联结点 可转动点 塑料棒2 道具 b B B B A 教学过程: 一、情境创设 提出问题 1情境引入 师:首先请看两个实际问题: 情境1 A,B两地之间隔着一座小山,
2、现要测量A、B之间马上修建的一条直的隧道的长度.另选一个点C,可以测得的数据有:AC?182m,BC?126m,?ACB?630,如何求A、B两地之间隧道的长度(准确到1m). A B B D C E A 情境2 一位工人欲做一个三角形的支架.已知杆BC的长度为6分米,DAE是由一根直的钢管沿着点A弯折而成.若弯折点A与焊接点B,C的距离分别为4分米和5分米,欲弯折后杆BC恰好能与两焊接点相接,则弯折后BAC的大小是多少(准确到0.1度)? 2提出问题 师:明显,这两个都是解三角形的问题.其中,情境1的实质是知道了三角形的两边与其夹角,求第三边的长度；而情境2的实质就是已知三角形的三条边,要求
3、其一个内角的大小. 请问:(1)这两个问题能用正弦定理来解决吗? 生:不能. (2)那么,这两个问题之间有联系吗? 生:互逆. 师:对,在解法上是互逆的,所以本节课我们将要探究的核心问题是:在已知三角形两条边的前提下,其夹角的大小与第三条边的长度之间有着怎样的关系?这正是余弦定理所提醒的规律-引入课题. 二、问题探究 学问建构 问题1 在?ABC中,已知CB?a,CA?b(其中a?b),当?C从小到大变化时,AB的长度的变化趋势如何? 师:(学生思索了一会儿后)我们可以用一个简洁的试验看一下. (课上,利用课前制作道具做一下演示试验.) 生: AB的长度随着?C的增大而增大. 师:这是一个定性
4、的结论.那么对于定量的讨论,一个常用的思维策略是特别化. 取C=90?是最简单想到的；另外,虽然角C不能取0?与180?,但它可以无限接近这两个角,所以不妨再考察一下这两种情形. 续问: 若将?C的范围扩大到00,1800,特殊地:当?C?00,?C?900,?C?1800这三种特别情形时,AB的长度分别是多少? 生:当?C?00时,AB?a?b；当?C?900时 ,AB?；当?C?1800 时,AB?a?b. 师:我们不妨把这三个结论在形式上写得更接近些,即 : 当?C?00时,AB?当?C?900时,AB?当?C?1800时,AB?B A 问题2 请你依据上述三个特例的结果,试猜测:当?C
5、?(00?1800)时,线段AB的长度是多少? (在学生独立思索的根底上,小组争论沟通后请学生答复) 生 :AB?问题3 你能验证该猜测吗?请试一试. (课上,利用课前画好的三张图进展争论.先让学生独立思索一会儿,然后依据学生答复的状况进展讲解,至少争论以下前两种方法.) 方法一: 证: (1)当?C?为锐角时,过点A作AD?BC于D. 则AB2?BD2?AD2?(a?bcos?)2?(bsin?)2=a2?b2?2abcos?. D B A (2)当?C?为直角时,结论明显成立. (3)当?C?为钝角时, 过点A作AD?BC交BC的延长线于D. 则AB?BD?AD?(a?bcos(?)?(b
6、sin(?) ?(a?bcos?)?(bsin?)=a?b?2abcos?. D 2 2 2 2 2 2 2 A b 22 C a B 综上所述, 均有AB?故猜测成立. 师:这种思路是构造直角三角形,利用勾股定理来计算AB的长,但要留意这里要分三种状况争论. 方法二: ?2?2 证:由于AB?AC?CB,所以AB?(AC?CB) ?2?2? ?AC?CB?2AC?CB?a2?b2?2abcos(?)?a2?b2?2abcos?, B A 即AB?故猜测成立. 师:这种方法的思路是构造向量,借助向量的运算来证题.将向量等式转化数量等式常用的手段是作数量积. 方法三: 证:以C为坐标原点,CB所
7、在直线为x轴,建立平面直角坐标系. ? 则B(a,0),A(bcos?,bsin?),则BA?(bcos?a,bsin?),所以 ?2 |AB|?(bcos?a)2?(bsin?0)2=a2?b2?2abcos?, ? 即AB?|AB|?故猜测成立. 师:这种思路是建立平面直角坐标系,借助于坐标运算来证题.利用坐标法的优点在于不必分类争论了且运算简洁. 固然,我们还可以从其它途径来验证这一猜测,这里就不再争论了,有兴趣的同学课后我们可以作些沟通. 问题4 在三角形中,如何用符号语言与文字语言表示出上述结论? (提示:根式的表示形式不如平方的形式来得美观.) c2?a2?b2?2abcosC,
8、生:符号语言:在ABC中,有a2?b2?c2?2bccosA, b2?a2?c2?2accosB. 文字语言:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 师:很好!这一结论我们称之为余弦定理,上述三个公式是余弦定理的一种表现形式. 问题5 如何依据三角形三条边的长度来求其内角的大小呢? a2?b2?c2b2?c2?a2a2?c2?b2 生:将上述结论变形为: cosC?,cosA?,cosB?. 2ab2bc2ac 师:这是余弦定理的另一种表现形式.对于余弦定理的这两种形式,我们在解题中应当敏捷地加以选用. 感悟:(1)在第一组式子中,当C=90时,即有c2
9、?a2?b2.所以,勾股定理是余弦定理 的特别情形,余弦定理可以看做是勾股定理的推广. (2)在其次组式子中,我们考察式子左右两边的符号,不难发觉: 在ABC中,C为锐角?a2?b2?c2;C为直角?a2?b2?c2;C为钝角?a2?b2?c2. 师:也就是说,在三角形中,要推断一个内角是什么角,只要看它的对边的平方与其它两边平方的和的.大小. 三、数学应用 深化理解 例1 在ABC中,已知b=3,c=1,A=60,求a. 解析:由余弦定理,得a2?b2?c2?2bccosA?32?12?2?3?1?cos600?7, 所以a?问:在此条件下,其它元素可求吗? 反思:(1)利用余弦定理,可以解
10、决“已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角”的问题. (2)用余弦定理求边的长度时,切记最终的结果要开平方. 师: 情境1就是这种类型的问题,我们也不妨看一下解答. 情境1:A,B两地之间隔着一座小山,现要测量A、B之间马上修建的一条隧道的长度.另选一个点C,可以测得的数据有:AC=182m,BC=126m,ACB=63,如何求A,B两地之间隧道的长度(准确到1m). 解析: 在?ABC中,由于AC?182m,BC?126m,?ACB?630,则由余弦定理,得 AB2?AC2?BC2?2AC?BCcos?ACB?1822?1262?2?182?126cos630 ?1822?1262?2?
11、182?126?0.454?28177.15, 所以AB?168m. 答:A，B两地之间隧道的长度约为168m. 例2 在?ABC中,已知a=7,b=5,c=3,求A. b2?c2?a252?32?721 解析:由余弦定理,得cosA?, 2bc2?5?32 所以A=120. 问:在此条件下,其它两个角可求吗? 众生:可求. 反思: (1)利用余弦定理,可以解决“已知三边,求三个角”的问题. 师:情境2就是这种类型的问题,我们不妨看一下解答. 情境2: 一位工人欲做一个三角形的支架.已知杆BC的长度为6分米,DAE是由一根直的钢管沿着点A弯折而成.若弯折点A与焊接点B,C的距离分别为4分米和5
12、分米,欲弯折后杆BC恰好能与两焊接点相接,则弯折后BAC的大小是多少(准确到0.1度)? 解析:在?ABC中,由于c?4,b?5,a?6,则由余弦定理,得 b2?c2?a252?42?62 cosA?0.125,所以A?82.80； 2bc2?5?4 A E 答:弯折后,?BAC?82.80. D 反思:(2)利用余弦定理解决实际问题,解题的关键是建立出相应的三角形的模型.同时,要留意最终结果的准确度的要求. 变式:(1)在ABC中,已知a2+b2+ab=c2,求角C的大小. a2?b2?c2?ab11222222 ?,即cosC?, 解析:由a+b+ab=c,得a?b?c?ab,则 2ab2
13、ab22 所以C?1200. 反思:(3)在解三角形时,由边的条件式求角时,别忘了余弦定理；同时要注意余弦定理的逆用. 变式:(2)若三条线段的长分别为5,6,7,则用这三条线段( ). A.能组成直角三角形 B.能组成锐角三角形 C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形 解析:首先由于两条小边之和大于第三边,所以能够组成三角形；接着,只要看最大的角是什么角.由于52?62?72,所以最大角为锐角,故这三条线段能组成锐角三角形. 思索:(1)若用长为5,6,x的三条线段构成的三角形是钝角三角形,则正数x的取值范围 是_. (2)在?ABC中,已知a +c =2b,求证:B45. ?x?6?x?
14、6? 解析:(1)由?x?5?6或?5?x?6, ?x?11或1?x?x2?52?62?62?x2?52? (2)要证: B60,只要证:cosB? 1c?a?b1?22ca21 所以cosB?,故B60. 2 2 2 2 1. 2 c2?a2?( 而cosB? c?a2 ) 13c2?3a2?6ca3(c?a)2?0, ?= 8ca8ca2ca2 四、思维提升 稳固拓展 1课堂小结 数学学问-本节课新学的数学学问只有余弦定理.余弦定理与正弦定理是三角形中的两朵奇葩,从形式上看,两者都具有“美观”的形状,余弦定理虽有多个表达式,但它们之间具有可以轮换的对称美；从本质上看,两者都提醒了三角形中边
15、与角之间“奇妙”的内在联系. 在解三角形的问题中,“已知三个元素”包括了“三条边,两角一边,两边一角”这三种状况,前面学习的正弦定理能够解决已知“两角与任一边” 以及“两边与其中一边的对角”这两类问题；今日学习的余弦定理又能够解决已知“三边” 以及“两边及其夹角”的这两类问题.这样,对于一般的解三角形问题,我们就都能找到解决的方法了.固然,对于一些较为简单的三角形问题,往往还要把这两个定理联合起来解决问题. 思维启迪-从本节课的争论与讨论中,我们获得了以下的一些思维启迪: (1)本节课上,对于余弦定理的发觉,我们是从三个特例开头的,这遵循了“从特别到一般”的思维策略. (2)在三个特例的根底上
16、,我们进展了大胆的猜测,所以合理运用数学猜测等合情推理手段,是我们进展数学发觉的一个重要途径. (3)另外,在验证余弦定理时,我们运用到了几何、三角、向量等多个学问领域,所以我们要注意不同学问内容之间的融会贯穿. 2作业布置 必做作业:教材第16页习题1.2第1,2,3,4题. 选做作业:教材第16页习题1.2第12题. 课后探究: (1) 思索:若用长为5,6,x的三条线段构成的三角形是钝角三角形,则正数x的取值范围是_. (2)在?ABC中,已知a +c =2b,求证:B45. 篇二：关于余弦定理初中数学教学设计 教学设计 整体设计 教学分析 对余弦定理的探究，教材是从直角三角形入手，通过
17、向量学问赐予证明的.一是进一步加深学生对向量工具性的熟悉，二是感受向量法证明余弦定理的奇异之处，感受向量法在解决问题中的威力.课后仍鼓舞学生探究余弦定理的其他证明方法，推出余弦定理后，可让学生用自己的语言表达出来，并让学生结合余弦函数的性质明确：假如一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角;假如小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角;假如大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广.还要启发引导学生留意余弦定理的几种变形式，并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理到达求解、化简的目的. 应用余弦定理及其另一种形式，并
18、结合正弦定理，可以解决以下问题：(1)已知两边和它们的夹角解三角形;(2)已知三角形的三边解三角形.在已知两边及其夹角解三角形时，可以用余弦定理求出第三条边，这样就把问题转化成已知三边解三角形的问题.在已知三边和一个角的状况下，求另一个角既可以应用余弦定理的另一种形式，也可以用正弦定理.用余弦定理的另一种形式，可以(依据角的余弦值)直接推断角是锐角还是钝角，但计算比拟简单.用正弦定理计算相比照较简洁，但仍要依据已知条件中边的大小来确定角的大小. 依据教材特点，本内容安排2课时.一节重在余弦定理的推导及简洁应用，一节重在解三角形中两个定理的综合应用. 三维目标 1.通过对余弦定理的探究与证明，把
19、握余弦定理的另一种形式及其应用;了解余弦定理与勾股定理之间的联系;知道解三角形问 题的几种情形. 2.通过对三角形边角关系的探究，提高数学语言的表达力量，并进一步理解三角函数、余弦定理、向量的数量积等学问间的关系，加深对数学具有广泛应用的熟悉;同时通过正弦定理、余弦定理数学表达式的变换，熟悉数学中的对称美、简洁美、统一美. 3.加深对数学思想的熟悉，本节的主要数学思想是量化的数学思想、分类争论思想以及数形结合思想;这些数学思想是对于数学学问的理性的、本质的、高度抽象的、概括的熟悉，具有普遍的指导意义，它是我们学习数学的重要组成局部，有利于加深学生对详细数学学问的理解和把握. 重点难点 教学重点
20、：把握余弦定理;理解余弦定理的推导及其另一种形式，并能应用它们解三角形. 教学难点：余弦定理的证明及其根本应用以及结合正弦定理解三角形. 课时安排 2课时 教学过程 第1课时 导入新课 思路1.(类比导入)在探究正弦定理的证明过程中，从直角三角形的特别情形入手，发觉了正弦定理.现在我们仍旧从直角三角形的这种特别情形入手，然后将锐角三角形转化为直角三角形，再适当运用勾股定理进展探究，这种导入比拟自然流畅，易于学生承受. 思路2.(问题导入)假如已知一个三角形的两条边及其所夹的角，依据三角形全等的推断方法，这个三角形是大小、外形完全确定的三角形，能否把这个边角关系精确量化出来呢?也就是从已知的两边
21、和它们的夹角能否计算出三角形的另一边和另两个角呢?依据我们把握的数学方法，比方说向量法，坐标法，三角法，几何法等，类比正弦定理的证明，你能推导出余弦定理吗? 推动新课 新知探究 提出问题 ?1?通过对任意三角形中大边对大角，小边对小角的边角量化，我们发觉了正弦定理，解决了两类解三角形的问题.那么假如已知一个三角形的两条边及这两边所夹的角，依据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、外形完全确定的三角形.怎样已知三角形的两边及这两边夹角的条件下解三角形呢? ?2?能否用平面几何方法或向量方法或坐标方法等探究出计算第三边长的关系式或计算公式呢? ?3?余弦定理的内容是什么?你能用文字语言表达它吗?
22、余弦定理与以前学过的关于三角形的什么定理在形式上特别接近? ?4?余弦定理的另一种表达形式是什么? ?5?余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题?怎样求解? ?6?正弦定理与余弦定理在应用上有哪些联系和区分? 活动：依据学生的认知特点，结合课件“余弦定理猜测与验证”，教师引导学生仍从特别情形入手，通过观看、猜测、证明而推广到一般. 如下列图，在直角三角形中，依据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否依据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面，我们依据初中所学的平面几何的有关学问来讨论这一问题. 如下列图，在ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，试依据b、c、A来表示a.
23、 教师引导学生进展探究.由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加帮助线构成直角三角形.在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于点D，那么在RtBDC中，边a可利用勾股定理通过CD、DB表示，而CD可在RtADC中利用边角关系表示，DB可利用AB，AD表示，进而在RtADC内求解.探究过程如下： 过点C作CDAB，垂足为点D，则在RtCDB中，依据勾股定理，得 a2=CD2+BD2. 在RtADC中，CD2=b2-AD2， 又BD2=(c-AD)2=c2-2c?AD+AD2， a2=b2-AD2+c2-2c?AD+AD2=b2+c2-2c?AD. 又在Rt
24、ADC中，AD=b?cosA， a2=b2+c2-2bccosA. 类似地可以证明b2=c2+a2-2cacosB. c2=a2+b2-2abcosC. 另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时，a2+b2=c2也符合上述结论. 这就是解三角形中的另一个重要定理余弦定理.下面类比正弦定理的证明，用向量的方法探究余弦定理，进一步体会向量学问的工具性作用. 教师与学生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式消失的，又涉及边长问题，学生很简单想到向量的数量积的定义式：a?b=|a|b|cos，其中为a，b的夹角. 用向量法探究余弦定理的详细过程如下： 如下列图，设CB=a，CA=b，AB=c，那
25、么c=a-b， |c|2=c?c=(a-b)?(a-b) =a?a+b?b-2a?b =a2+b2-2abcosC. 所以c2=a2+b2-2abcosC. 同理可以证明a2=b2+c2-2bccosA， b2=c2+a2-2cacosB. 这个定理用坐标法证明也比拟简单，为了拓展学生的思路，教师可引导学生用坐标法证明，过程如下： 如下列图，以C为原点，边CB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设点B的坐标为(a,0)，点A的坐标为(bcosC，bsinC)，依据两点间距离公式 AB=?bcosC-a?2+?bsinC-0?2， c2=b2cos2C-2abcosC+a2+b2sin2C， 整
26、理，得c2=a2+b2-2abcosC. 同理可以证明：a2=b2+c2-2bccosA， b2=c2+a2-2cacosB. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三 角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量.从而由三角形的三边可确定三角形的三个角，得到余弦定理的另一种形式： cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-
27、b22cacosC=a2+b2-c22ab 教师引导学生进一步观看、分析余弦定理的构造特征，发觉余弦定理与以前的关于三角形的勾股定理在形式上特别接近，让学生比拟并争论它们之间的关系.学生简单看出，若ABC中，C=90，则cosC=0，这时余弦定理变为c2=a2+b2.由此可知，余弦定理是勾股定理的推广;勾股定理是余弦定理的特例.另外，从余弦定理和余弦函 数的性质可知，在一个三角形中，假如两边的平方和 等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角;假如两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角;假如两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从以上可知，余弦定理可以看作是勾
28、股定理的推广. 应用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题： 已知三角形的三边解三角形，这类问题是三边确定，故三角也确定，有解; 已知两边和它们的夹角解三角形，这类问题是第三边确定，因而其他两个角也确定，故解.不会产生利用正弦定理解三角形所产生的推断解的取舍的问题. 把正弦定理和余弦定理结合起来应用，能很好地解决解三角形的问题.教师引导学生观看两个定理可解决的问题类型会发觉：假如已知的是三角形的三边和一个角的状况，而求另两角中的某个角时，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么这两种方法哪个会更好些呢?教师与学生一起探究得到：若用余弦定理的另一种形式，可以依据余弦值直接推断角是锐角还是钝角
29、，但计算比拟简单.用正弦定理计算相比照较简洁，但仍要依据已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般应当选择用正弦定理去计算比拟小的边所对的角.教师要点拨学生留意总结这种优化解题的技巧. 争论结果： (1)、(2)、(3)、(6)见活动. (4)余弦定理的另一种表达形式是： cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab (5)利用余弦定理可解决两类解三角形问题： 一类是已知三角形三边，另一类是已知三角形两边及其夹角. 应用例如 例1如图，在ABC中，已知a=5，b=4，C=120，求c. 活动：本例是利用余弦定理解决的其次类问题，可让学生独立完
30、成. 解：由余弦定理，得 c2=a2+b2-2abcos120， 因此c=52+42-254?-12?=61. 例2如图，在ABC中，已知a=3，b=2，c=19，求此三角形各个角的大小及其面积.(准确到0.1) 活动：本例中已知三角形三边，可利用余弦定理先求出边所对的角，然后利用正弦定理再求出另一角，进而求得第三角.教材中 这样安排是为了让学生充分熟识正弦定理和余弦定理.实际教学时可让学生自己探求解题思路，比方学生可能会三次利用余弦定理分别求出三个角，或先求出最小边所对的角再用正弦定理求其他角，这些教师都要赐予鼓舞，然后让学生自己比拟这些方法的不同或优劣，从而深刻理解两个定理的. 解：由余弦
31、定理，得 cosBCA=a2+b2-c22ab=32+22-?19?2232=9+4-1912=-12， 因此BCA=120， 再由正弦定理，得 sinA=asinBCAc=33219=332190.596 0， 因此A36.6或A143.4(不合题意，舍去). 因此B=180-A-BCA23.4. 设BC边上的高为AD，则 AD=csinB=19sin23.41.73. 所以ABC的面积1231.732.6. 点评：在既可应用正弦定理又可应用余弦定理时，体会两种方法存在的差异.当所求的 角是钝角时，用余弦定理可以马上判定所求的角，但用正弦定理则不能直接判定. 变式训练 在ABC中，已知a=1
32、4，b=20，c=12，求A、B和C.(准确到1) 解：cosA=b2+c2-a22bc=202+122-14222012=0.725 0， A44. cosC=a2+b2-c22ab=142+202-12221420=1131400.807 1， C36. B=180-(A+C)180-(44+36)=100. 例3如图，ABC的顶点为A(6,5)，B(-2,8)和C(4,1)，求A.(准确到0.1) 活动：本例中三角形的三点是以坐标的形式给出的，点拨学生利用两点间距离公式先求出三边，然后利用余弦定理求出A.可由学生自己解决，教师赐予适当的指导. 解：依据两点间距离公式，得 AB=6-?-2
33、?2+?5-8?2=73， BC=?-2-4?2+?8-1?2=85， AC=?6-4?2+?5-1?2=25. 在ABC中，由余弦定理，得 cosA=AB2+AC2-BC22AB?AC=23650.104 7， 因此A84.0. 点评：三角形三边的长作为中间过程，不必算出准确数值. 变式训练 用向量的数量积运算重做本例. 解：如例3题图，AB=(-8,3)，AC=(-2，-4)， |AB|=73，|AC|=20. cosA=AB?AC|AB|AC| =-8?-2?+3?-4?7320 =23650.104 7. 因此A84.0. 例4在ABC中，已知a=8，b=7，B=60，求c及SABC.
34、 活动：依据已知条件可以先由正弦定理求出角A，再结合三角形内角和定理求出角C，再利用正弦定理求出边c，而三角形面积由公式SABC=12acsinB可以求出.若用余弦定理求c，可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立关于c的方程，亦能到达求c的目的. 解法一：由正弦定理，得8sinA=7sin60， A1=81.8，A2=98.2. C1=38.2，C2=21.8. 由7sin60=csinC，得c1=3，c2=5， SABC=12ac1sinB=63或SABC=12ac2sinB=103. 解法二：由余弦定理，得b2=c2+a2-2cacosB， 72=c2+82-28ccos60.
35、 整理，得c2-8c+15=0， 解之，得c1=3，c2=5.SABC=12ac1sinB=63或SABC=12ac2sinB=103. 点评：在解法一的思路里，应留意用正弦定理应有两种结果，避开遗漏;而解法二更有耐人寻味之处，表达出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从而运用方程的观点去解决，故解法二应引起学生的留意. 综合上述例题，要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形，同时留意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边及一角解三角形可用余弦定理解之. 变式训练 在ABC中，内角A，B，C对边的边长分
36、别是a，b，c.已知c=2，C=60. (1)若ABC的面积等于3，求a，b; (2)若sinB=2sinA，求ABC的面积. 解：(1)由余弦定理及已知条件，得a2+b2-2abcos60=c2，即a2+b2-ab=4， 又由于ABC的面积等于3，所以12absinC=3，ab=4. 联立方程组a2+b2-ab=4，ab=4，解得a=2，b=2. (2)由正弦定理及已知条件，得b=2a， 联立方程组a2+b2-ab=4，b=2a，解得a=233，b=433. 所以ABC的面积S=12absinC=233. 知能训练 1.在ABC中，已知C=120，两边a与b是方程x2-3x+2=0的两根，则
37、c的值为 ( ) A.3 B.7 C.3 D.7 2.已知三角形的三边长分别为x2+x+1，x2-1,2x+1(x1)，求三角形的角. 答案： 1.D 解析：由题意，知a+b=3，ab=2. 在ABC中，由余弦定理，知 c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab =(a+b)2-ab =7， c=7. 2.解：比拟得知，x2+x+1为三角形的边，设其对角为A. 由余弦定理，得 cosA=?x2-1?2+?2x+1?2-?x2+x+1?22?x2-1?2x+1? =-12. 0 即三角形的角为120. 课堂小结 1.教师先让学生回忆本节课的探究过程，然后再让学生用文字语言表达余弦定理，精
38、确理解其实质，并由学生回忆可用余弦定理解决哪些解三角形的问题. 2.教师指出：从方程的观点来分析，余弦定理的每一个等式都包含了四个不同的量，知道其中三个量，便可求得第四个量.要通过课下作业，从方程的角度进展各种变形，到达辨明余弦定理作用的目的. 3.思索本节学到的探究方法，定性发觉定量探讨得到定理. 作业 课本习题11A组4、5、6;习题11B组15. 设计感想 本教案的设计充分表达了“民主教学思想”，教师不主观、不武断、不包办，让学生充分发觉问题，合作探究，使学生真正成为学习的主体，力求在课堂上人人都会有“令你自己满足”的探究成果.这样能够不同程度地开发学生的潜能，且使教学内容得以稳固和延长
39、.“发觉法”是常用的一种教学方法，本教案设计是从直角三角形动身，以归纳猜测证明应用为线索，用恰当的问题通过启发和点拨，使学生把规律和方法在开心的气氛中探究出来，而呈现的过程合情合理，自然流畅，学生的主体地位得到了充分的发挥. 纵观本教案设计流程，引入自然，学生探究到位，表达新课程理念，能较好地完成三维目标，课程内容及重点难点也把握得恰到好处.环环相扣的设计流程会剧烈地感染着学生积极主动地猎取学问，使学生的探究欲望及精神状态始终处于状态.在整个教案设计中学生的思维活动量大，这是贯穿整个教案始终的一条主线，也应是实际课堂教学中的一条主线. 备课资料 一、与解三角形有关的几个问题 1.向量方法证明三
40、角形中的射影定理 如图，在ABC中，设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c. AC+CB=AB， AC?(AC+CB)=AC?AB. AC?AC+AC?CB=AC?AB. |AC|2+|AC|CB|cos(180-C)=|AB|AC|cosA. |AC|-|CB|cosC=|AB|cosA. b-acosC=ccosA， 即b=ccosA+acosC. 同理，得a=bcosC+ccosB，c=bcosA+acosB. 上述三式称为三角形中的射影定理. 2.解斜三角形题型分析 正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，假如其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边)，那么这个三
41、角形肯定可解. 关于斜三角形的解法，依据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型： (1)已知两角及其中一个角的对边，如A、B、a，解ABC. 解：依据A+B+C=，求出角C; 依据asinA=bsinB及asinA=csinC，求b、c. 假如已知的是两角和它们的夹边，如A、B、c，那么先求出第三角C，然后根据来求解.求解过程中尽可能应用已知元素. (2)已知两边和它们的夹角，如a、b、C，解ABC. 解：依据c2=a2+b2-2abcosC，求出边c; 依据cosA=b2+c2-a22bc，求出角A; 由B=180-A-C，求出角B. 求出第三边c后，往往为了计算上的便利，应用正弦定理求角，但为了避开争论角是钝角还是锐角，应先求较小边所对的角(它肯定是锐角)，固然也可以用余弦定理求解. (3)已知两边及其中一条边所对的角，如a、b、A，解ABC. 解：as