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1、第 4 讲 运动的相关性 题一：如图所示，一直立的轻杆长为L，在其下、上端各紧套一个质量分别为m和 2m的圆环状弹性物块A、B。A、B与轻杆间的最大静摩擦力分别是Ff1mg、Ff22mg，且滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等。杆下方存在这样一个区域：当物块A进入该区域时受到一个竖直向上的恒力F作用，而B在该区域运动时不受作用，PQ、MN是该区域上、下水平边界，高度差为h（L2h）。现让杆的下端从距离上边界PQ高h处由静止释放，重力加速度为g。（1）为使A、B间无相对运动，求F应满足的条件。（2）若F3mg，求物块A到达下边界MN时A、B间的距离。题二：某电视台在娱乐节目中曾推出一个游戏节目推矿泉
2、水瓶。选手们从起点开始用力推瓶子一段时间后，放手让它向前滑动，若瓶子最后停在桌上有效区域内（不能压线）视为成功；若瓶子最后没有停在桌上有效区域内或在滑行过程中倒下均视为失败。其简化模型如图所示，AC是长度L15.5 m 的水平桌面，选手们将瓶子放在A点，从A点开始用一恒定不变的水平推力推它，BC为有效区域。已知BC长度L21.1 m，瓶子质量m0.5 kg，与桌面间的动摩擦因数 0.2，g10 m/s2。某选手作用在瓶子上的水平推力F11 N，瓶子沿AC做直线运动，假设瓶子可视为质点，该选手要想游戏获得成功，试求在手推瓶子过程中，瓶子的位移取值范围。（取 5 2.2）题三：水平地面上停放一长度
3、为L2 m的小车，已知该车在某外力的作用下一直沿水平方向向右做匀速直线运动，速度为v04 m/s。在小车运动的过程中，将一质量为m1 kg的可视为质点的小铁块无初速地放到小车上表面上距离小车右端 1 m 处，已知小铁块与小车上表面间的动摩擦因数为 0.2，重力加速度g10 m/s2。则：（1）整个运动过程中，小铁块会不会从小车的上表面掉下来？（2）如果在小铁块放上小车的同时，给小铁块施加一水平向右的恒力F，为使小铁块不会从小车上表面的最左端掉下来，恒力F的取值范围是多少？题四：在高速公路上经常可以看到大货车拉着钢板而后车厢是敞开的，这种情况下如果钢板从车厢上滑落，将对后面的车辆造成致命的危险。
4、在紧急刹车的情况下钢板对驾驶室也极易造成破坏，危及驾驶员的生命。假设该货车车厢的长度为L，车厢内载有一块质量分布均匀、长度也为L的钢板，钢板的质量为m。已知钢板前端与车厢壁接触，钢板与车厢底板间的动摩擦因数为，重力加速度为g。忽略空气阻力的影响。（1）若货车突然加速，为了使钢板不掉下来，则货车的加速度最大值为多少？（最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力大小）（2）若车厢的前端能承受的最大水平力为F，为了安全，则货车刹车的最大加速度为多少？（3）若货车以加速度a0做匀加速运动，在运动过程中钢板与货车间发生相对滑动，经过多长时间钢板开始往下掉？题五：如图所示，长为L2 m、质量为M8 kg的木板，放在水
5、平地面上，木板向右运动的速度v06 m/s时，在木板前端轻放一个大小不计、质量为m2 kg的小物块。木板与地面、物块与木板间的动摩擦因数均为 0.2，g10 m/s2。求：（1）物块及木板的加速度大小；（2）物块滑离木板时的速度大小。题六：如图所示，质量为m的长木块A静止于光滑水平面上，在其水平的上表面左端放一质量为m的滑块B，已知木块长为L，它与滑块之间的动摩擦因数为 ，现用水平向右的恒力F拉滑块B。（1）当长木块A的位移为多少时，B从A的右端滑出？（2）求上述过程中滑块与木块之间产生的内能。题七：如图甲所示，滑块与足够长的木板叠放在光滑水平面上，开始时均处于静止状态。作用于滑块的水平力F随
6、时间t变化的图象如图乙所示，t2.0 s 时撤去力F，最终滑块与木板间无相对运动。已知滑块质量m2 kg，木板质量M1 kg，滑块与木板间的动摩擦因数 0.2，取g10 m/s2。求：（1）t0.5 s时滑块的速度大小；（2）0 2.0 s内木板的位移大小；（3）整个过程中因摩擦产生的热量。题八：如图所示，以水平地面建立x轴，有一个质量为m1 kg的木块放在质量为M2 kg的长木板上，木板长L11.5 m。已知木板与地面的动摩擦因数为 10.1，m与M之间的动摩擦因数 20.9（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。m与M保持相对静止共同向右运动，已知木板的左端A点经过坐标原点O时的速度为v010
7、m/s，在坐标为x21 m处的P点有一挡板，木板与挡板瞬间碰撞后立即以原速率反向弹回，而木块在此瞬间速度不变，若碰后立刻撤去挡板，g取 10 m/s2，求：（1）木板碰挡板时的速度v1；（2）碰后M与m刚好共速时的速度；（3）最终木板停止运动时AP间距离。题九：如图（a）所示，“”形木块放在光滑水平地面上，木块水平表面AB粗糙，光滑表面BC与水平面夹角为 37。木块右侧与竖直墙壁之间连接着一个力传感器，当力传感器受压时，其示数为正值；当力传感器被拉时，其示数为负值。一个可视为质点的滑块从C点由静止开始下滑，运动过程中，传感器记录到的力和时间的关系如图（b）所示。已知sin 370.6，cos
8、370.8，g取 10 m/s2。求：（1）斜面BC的长度；（2）滑块的质量；（3）运动过程中滑块发生的位移。题十：如图所示，质量为M的长木板，静止放置在粗糙水平地面上，有一个质量为m、可视为质点的物块，以某一水平初速度从左端冲上木板。在物块冲上木板到物块和木板达到共同速度的过程中，物块和木板的vt图象分别如图中的折线acd和bcd所示，a、b、c、d点的坐标为a（0，10）、b（0，0）、c（4，4）、d（12，0）。根据vt图象，（g取 10 m/s2），求：（1）物块冲上木板做匀减速直线运动的加速度大小a1，木板开始做匀加速直线运动的加速度大小a2，达到相同速度后一起做匀减速直线运动的加
9、速度大小a；（2）物块质量m与长木板质量M之比；（3）物块相对长木板滑行的距离 x。运动的相关性 题一：（1）F 32mg（2）L32h 详解：（1）设A、B与杆不发生相对滑动时的共同加速度为a，A与杆的静摩擦力为FfA。对A、B和杆的整体有 3mgF3ma，对A有mgFfAFma且FfA Ff1，联立解得F 32mg。（2）A到达上边界PQ时的速度vA 2gh。当F3mg时，A相对轻杆向上滑动，设A的加速度为a1，则有mgFf1Fma1，解得a1g。A向下做减速运动的位移为h时，速度刚好减小到零，此过程运动的时间t2hg。由于杆的质量不计，在此过程中，A对杆的摩擦力与B对杆的摩擦力方向相反，
10、大小均为mg，B受到杆的摩擦力小于 2mg，则B与轻杆相对静止。B和轻杆整体受到重力和A对杆的摩擦力作用，以vA为初速度，以a2为加速度做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得a222mgmgmg2，物块A到达下边界MN时A、B之间的距离 LLh（vAt12a2 t2）L32h。题二：0.4 m0.5 m 详解：要想获得成功，瓶子滑到B点时速度恰好为 0，力作用时间最短，滑到C点时速度恰好为 0，力作用时间最长。设力作用时的加速度为a1、位移为x1，撤力时瓶子的速度为v1，撤力后瓶子的加速度为a2、位移为x2，则有Fmgma1，mgma2，2a1x1v21，2a2x2v21，L1L2x1x2L1
11、，联立解得 0.4 m x1 0.5 m。题三：（1）小铁块会从小车的上表面掉下来（2）F 6 N 详解：（1）小铁块放上小车时相对小车向左运动，受到水平向右的滑动摩擦力Ffmg，据牛顿第二定律得ag2 m/s2，方向向右，小铁块放上小车后向右做匀加速直线运动。设经历时间t速度达到v0，小铁块通过的位移s112at2且v0at，小车通过的位移s2v0t，联立解得二者的位移差 ss2s14 m，由于 s12L1 m，故小铁块会从小车的上表面掉下来。（2）恒力F的方向与小铁块受到的滑动摩擦力Ff的方向相同，根据牛顿第二定律得FfFma。小铁块放上小车后向右做匀加速直线运动，设经历时间t、速度达到v
12、0，小铁块通过的位移s1 12at 2且v0at，小车通过的位移s2v0t，为使小铁块不会从小车上表面的最左端掉下来，只需要满足位移差 ss2 s112L，联立解得F 6 N。题四：（1）g（2）Fgm（3）0Lag 详解：（1）要使钢板不掉下来，则钢板和货车一起加速运动，钢板与货车之间达到最大静摩擦力，有mmgma，解得mag。（2）对钢板根据牛顿第二定律得mFmgma，解得mFagm。（3）对货车200121tatvx，对钢板20221attvx，mamg，钢板开始掉时满足122Lxx，解得gaLt0。题五：（1）2 m/s2，3 m/s2（2）0.8 m/s 详解：（1）物块的加速度am
13、g2 m/s2，对木板有 mg（Mm）gMaM，解得aM3 m/s2。（2）设物块经时间t从木板滑离，则有Lv0t122Ma t12amt2，解得t10.4 s或t22 s（因物块已滑离木板，故舍去），滑离木板时物块的速度vamt10.8 m/s。题六：（1）2FmgLmg（2）mgL 详解：（1）设B在A上运动的时间为t。A、B发生相对滑动，有aAg，aBFmgm，滑出时满足221122BAa ta tL，则A的位移2122AmgLsa tFmg。（2）由功能关系知，拉力F做的功等于A、B动能的增加量和A、B间产生的内能，即F（sL）12mvA212mv 2BQ，vAaAt，vBaBt，联立
14、解得QmgL。题七：（1）1m/s （2）6.25 m （3）12 J 详解：（1）木板M的最大加速度ammgM4 m/s2，滑块可以与木板保持相对静止的最大力Fm（Mm）am12 N，即F为 6 N时，M与m可以一起向右做匀加速运动，对整体进行分析有F（Mm）a1，v1a1t1，代入数据得v11 m/s。（2）对木板进行分析，在 00.5 s的时间内，x121 112at，在 0.52 s的时间内有 mgMa2，x2v1t222 212a t，则 0 2 s内木板的位移xx1x26.25 m。（3）对滑块进行分析，在 0.52 s的时间内有Fmgm2a，在 02 s的时间内，滑块的位移 xx
15、1（v1t222212a t），m与M相对位移 x1 xx2.25 m。t2 s时，木板的速度v2v1a2t27 m/s，滑块速度2 vv12at210 m/s，撤去力F后，对M有 mgMa3，对m有mgm3a，当滑块与木板速度相同时保持相对静止，即23 3233va tva t，解得t30.5 s。该段时间内，M的位移x3v2t323 312a t，m的位移23233 312xv ta t，相对位移 x23 xx30.75 m。整个过程中滑块与木板的相对位移 xx1x23 m，系统因摩擦产生的内能Qmgx12 J。题八：（1）9 m/s（2）1.8 m/s，方向向左（3）19.60 m 详解
16、：（1）对木块和木板组成的系统，有a11g，v02v122a1x0，x0 xL，代入数据得v19 m/s。（2）由牛顿第二定律可知am2g9 m/s2，aM21()Mm ggMm6 m/s2，M向右运动的时间为t1v1am99 s1 s，此时M的速度vMv1aM t13 m/s，方向向左。此后至m、M达到共同速度的时间为t2，有v共vMaM t2am t2，解得t20.2 s，v共1.8 m/s，方向向左。（3）共速时M的位移x112vv共（t1t2）6.48 m，共速后m、M一起向左做匀减速运动，a31g1 m/s2，x2232va共1.62 m，最终AP间距xLx1x219.60 m。题九
17、：（1）3 m（2）2.5 kg（3）8 m 详解：（1）对滑块进行受力分析，如图所示。由牛顿第二定律得a1gsin 6 m/s2，通过图（b）可知滑块在斜面上运动的时间为t11 s，由运动学公式得s12a1 t213 m。（2）滑块对斜面的压力为N1N1mgcos ，木块对传感器的压力为F1N1sin ，由图（b）可知F112 N，解得m2.5 kg。（3）滑块滑到B点的速度为v1a1t16 m/s，由图（b）可知f1f25 N，t22 s，a2f2m2 m/s2，s2v1t212a2 t228 m。题十：（1）1.5 m/s2，1 m/s2，0.5 m/s2（2）3 2（3）20 m 详解：（1）物块冲上木板做匀减速直线运动的加速度大小为a11044 m/s21.5 m/s2，木板开始做匀加速直线运动的加速度大小为a2404 m/s21 m/s2，达到相同速度后一起做匀减速直线运动的加速度大小为a408 m/s20.5 m/s2。（2）物块冲上木板做匀减速运动时有 1mgma1，木板做匀加速运动时有 1mg2（Mm）gMa2，物块和木板速度相同后一起做匀减速运动，对整体有 2（Mm）g（Mm）a，解得mM32。（3）由vt图象知，物块在木板上相对滑行的距离 x12104 m20 m。