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1、 正弦、余弦函数的图象和性质正弦、余弦函数的图象和性质 x6yo-12345-2-3-41y=sinx (x R)x6o-12345-2-3-41y y=cosx (x R)定义域定义域值值 域域周期性周期性x Ry -1,1 T=2 周期性周期性 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)，如果存在一个如果存在一个非零常数非零常数非零常数非零常数T T ，使得当使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x),那那么么函数函数函数函数f(x)f(x)就叫做周期函数就叫做周期函数就叫做周期函数就叫做周期函数，非零常数，非零常数T叫做
2、这个函数的叫做这个函数的周周周周期期期期。对于一个周期函数对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一如果在它所有的周期中存在一个个最小的正数最小的正数最小的正数最小的正数，那么这个最小正数就叫做，那么这个最小正数就叫做f(x)f(x)的的的的最小正周期最小正周期最小正周期最小正周期。知：知：函数函数y=sinx和和y=cosx都是周期函数，都是周期函数，2k(kZ且且 k0)都是它的周期，最小正周期是都是它的周期，最小正周期是 2 2。由由sin(x+2k)=sinx ;cos(x+2k)=cosx (kZ)周期性周期性注意：注意：注意：注意：（1）周期）周期T为非零常数。为非零常数
3、。（2）等式）等式f(x+T)=f(x)对于定义域对于定义域M内任意一个内任意一个x都都成立。成立。（3）周期函数）周期函数f(x)的定义域必为无界数集（至少一的定义域必为无界数集（至少一端是无界的）端是无界的）（4）周期函数不一定有最小正周期。）周期函数不一定有最小正周期。举例：举例：举例：举例：f(x)=1(xR),任一非零实数都是函数任一非零实数都是函数f(x)=1的周期，但在正实数中无最小值，故不存在最小的周期，但在正实数中无最小值，故不存在最小正周期。正周期。奇偶性奇偶性 一般的，如果对于一个一般的，如果对于一个定义域对称定义域对称定义域对称定义域对称的函数的函数f(x)的定义域内的
4、任意一个的定义域内的任意一个x，都有，都有f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x),),则则称称f(x)为这一定义域内的为这一定义域内的奇函数奇函数奇函数奇函数。奇函数的图像。奇函数的图像关于原点对称关于原点对称关于原点对称关于原点对称。一般的，如果对于一个一般的，如果对于一个定义域对称定义域对称定义域对称定义域对称的函数的函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x，都有，都有f(-xf(-x)=)=f(xf(x),),则则称称f(x)为这一定义域内的为这一定义域内的偶函数偶函数偶函数偶函数。偶函数的图像。偶函数的图像关于关于关于关于y y轴对称轴对称轴对称轴对称。正弦、余弦函数
5、的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 sin(-x)=-sinx (x R)y=sinx (x R)x6yo-12345-2-3-41是是奇函数奇函数x6o-12345-2-3-41ycos(-x)=cosx (x R)y=cosx (x R)是是偶函数偶函数定义域关于原点对称定义域关于原点对称 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 正弦函数的单调性正弦函数的单调性 y=sinx (x R)增增区间为区间为 ，其值从其值从-1增至增至1xyo-1234-2-31 x sinx 0 -1 0 1 0-1减区间为减区间
6、为 ，其值从其值从 1减至减至-1 +2k,+2k,k Z +2k,+2k,k Z 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 余弦函数的单调性余弦函数的单调性 y=y=cosxcosx (x(x R)R)x cosx -0 -1 0 1 0-1增增区间为区间为 其值从其值从-1增至增至1 +2k,2k,k Z减区间为减区间为 ，其值从其值从 1减至减至-12k,2k +,k Zyxo-1234-2-31单调性单调性 y=cosx在每一个闭区间在每一个闭区间(2k-1),2k(kZ)上上都是都是增增增增函数函数,其值从其值从-1增大到增大到1；在每一个闭区间；在每一个闭区间2
7、k，(2k+1)(kZ)上都是上都是减减减减函数，其值从函数，其值从1减小到减小到-1.y=sinx在每一个闭区间在每一个闭区间-+2k,+2k(kZ）上都是上都是增增增增函数，其值从函数，其值从-1增大到增大到1；在每；在每一个闭区间一个闭区间 +2k，+2k(kZ)上都是上都是减减减减函数，其值从函数，其值从1减小到减小到-1.当当 cosx=1 即即 x=2k（kZ)时时，y 取到最大值取到最大值 3 .解：解：解：解：由由 cosx0 得：得：-+2k x +2k （kZ)函数定义域为函数定义域为-+2k，+2k 由由 0cosx1 12 +13 函数值域为函数值域为 1，3例：例：求
8、函数求函数y=2 +1 的定义域、值域，的定义域、值域，并求当并求当x为何值时，为何值时，y取到最大值，最大值为取到最大值，最大值为多少？多少？正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 例例例例1 1 不通过求值，指出下列各式大于不通过求值，指出下列各式大于0还是小于还是小于0：(1)sin()sin()(2)cos()-cos()解：解：又又 y=sinx 在在 上是增函数上是增函数 sin()0解：解：cos cos 即：即：cos cos 0又又 y=cosx 在在 上是减函数上是减函数cos()=cos =cos cos()=cos =cos 从而从而 cos()-
9、cos()0 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 例例例例2 2 求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间：(1)y=2sin(-x)解：解：y=2sin(-x)=-2sinx函数在函数在 上单调递减上单调递减 +2k,+2k,k Z函数在函数在 上单调递增上单调递增 +2k,+2k,k Z(2)y=3sin(2x-)单调增区间为单调增区间为所以：所以：解：解：单调减区间为单调减区间为 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 解解：(4)解：解：定义域定义域(3)y=(tan )sin2x单调减区间为单调减区间为单调增区间为单调增区间为当当即即
10、为为减区间。减区间。当当即即为为增区间。增区间。正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性(5)y=-|sin(x+)|解：解：令令x+=u,则则 y=-|sinu|大致图象如下：大致图象如下：y=sinuy=|sinu|y=-|sinu|uO1y-1减区间为减区间为增区间为增区间为即：即：y为增函数为增函数y为减函数为减函数 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 奇偶性奇偶性 单调性（单调区间）单调性（单调区间）奇奇函数函数偶函数偶函数 +2k,+2k,k Z单调递增单调递增 +2k,+2k,k Z单调递减单调递减 +2k,2k,k Z单调递增单调递
11、增2k,2k +,k Z单调递减单调递减函数函数余弦函数余弦函数正弦函数正弦函数求求函数的单调区间：函数的单调区间：1.直接利用相关性质直接利用相关性质2.复合函数的单调性复合函数的单调性3.利用图象寻找单调区间利用图象寻找单调区间的最小正周期的最小正周期余弦函数余弦函数y=cosx正弦函数正弦函数y=sinxRR-1,1当x=2k+(kZ)时ymax=1当x=2k+(kZ)时ymin=-1当x=2k (kZ)时ymax=1当x=2k+(kZ)时ymin=-1最小正周期2最小正周期2奇函数偶函数定义域值域周期性奇偶性单调性-1,1正弦、余弦函数的图像和性质正弦、余弦函数的图像和性质 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 y=y=sinxsinxyxo-1234-2-31y=sinx (x R)图象关于图象关于原点原点对称对称