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1、第五章相交线与平行线【知识要点】1.两直线相交 2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。3.对顶角定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角(或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角)。（1）对顶角的性质：对顶角相等。4垂直定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是 90那么这两条线互相垂直。5.垂线性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。6平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“”表示，如直线 a，b 是平行线，可记作“ab”7平行公理及推论（1）平行
2、公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。注：（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性。（2）平行具有传递性，即如果 ab，bc，则 ac。8两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。9平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）10平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内）（2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内）（3）同旁内角互补，两直线
3、平行；（在同一平面内）（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；补充：（5）平行的定义；（在同一平面内）（6）在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行。考点一：对相关概念的理解 对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公理的区别等 例 1：判断下列说法的正误。（1）对顶角相等；（2）相等的角是对顶角；（3）邻补角互补；（4）互补的角是邻补角；（5）同位角相等；（6）内错角相等；（7）同旁内角互补；（8）直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；（9）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（10）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（1
4、1）两直线不相交就平行；（12）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。练习：下列说法正确的是（）A、相等的角是对顶角 B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离 C、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行 考点二：相关推理（识记）（1）ac，bc（已知）_（）（2）1=2，2=3（已知）_=_（）（3）1+2=180，2=30（已知）1=_（）（4）1+2=90，2=22（已知）1=_（）（5）如图（1），AOC=55（已知）BOD=_（）（6）如图（1），AOC=55（已知）BOC=_（）（7）如图（1），AOC=21 AOD，AOC+A
5、OD=180（已知）BOC=_（）（1）（2）（3）（4）（8）如图（2），ab（已知）1=_（）（9）如图（2），1=_（已知）ab（）（10）如图（3），点 C 为线段 AB 的中点 AC=_（）(11)如图（3），AC=BC点 C 为线段 AB 的中点（）（12）如图（4），ab（已知）1=2（）（13）如图（4），ab（已知）1=3（）（14）如图（4），ab（已知）1+4=（）（15）如图（4），1=2（已知）ab（）（16）如图（4），1=3（已知）ab（）（17）如图（4），1+4=（已知）ab（）考点三：对顶角、邻补角的判断、相关计算 例题 1：如图 51，直线 AB、CD 相
6、交于点 O，对顶角有_对，它们分别是_，AOD的邻补角是_。例题 2：如图 52，直线 l1，l2和 l3相交构成 8 个角，已知 1=5，那么，5 是_的对顶角，与 5 相等的角有 1、_，与 5 互补的角有_。例题 3：如图 53，直线 AB、CD 相交于点 O，射线 OE 为 BOD 的平分线，BOE=30，则 AOE为_。图 51 图 52 图 53 考点四：同位角、内错角、同旁内角的识别 例题 1：如图 2-44，1 和4 是 AB、被所截得的角，3 和5 是、被所截得的角，2 和5 是、被所截得的角，AC、BC 被 AB 所截得的同旁内角是.例题 2：如图 2-45，AB、DC 被
7、 BD 所截得的内错角是，AB、CD 被 AC 所截是的内错角是，AD、BC被 BD 所截得的内错角是，AD、BC 被 AC 所截得的内错角是。a b 1 1 2 3 4 a b.A C B 例题 3：如图 126 所示AEBD，1=32，2=25，求C 考点五：平行线的判定、性质的综合应用（逻辑推理训练）例题 1：如图 9,已知 DFAC,C=D,要证AMB=2,请完善证明过程,并在括号内填上相应依据:DFAC(已知),D=1()C=D(已知),1=C()DBEC()AMB=2()例题 2：如图，直线 AB、CD 被直线 EF 所截，AEF+CFE=180，1=2，则图中的 H 与 G 相等
8、吗说明你的理由.考点六：特殊平行线相关结论 例题 1：已知，如图：AB的关系BPDDB,考点七：探究、操作题 例题：（阅读理解题）直线 AC BD，连结 AB，直线 AC,BD 及线段 AB 把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分 当动点 P 落在某个部分时，连结 PA,PB，构成 PAC，APB，PBD 三个角（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是 0角）（1）当动点 P 落在第部分时，求证：APB=PAC+PBD；（2）当动点 P 落在第部分时，APB=PAC+PBD 是否成立（直接回答成立或不成立）（3）当动点 P 在第部分时，全面探究 PAC，APB，PBD 之间的
9、关系，并写出动点 P 的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明 练习：1.（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：（1）将直角三角板 ABC 的 AC 边延长且使 AC 固定；（2）另一个三角板 CDE 的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；（3）延长 DC，PCD 与ACF 就是一组对顶角，已知1=30，ACF 为多少【配套练习】1、如图，要把角钢（1）弯成 120的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口是_度。第 1 题第 2 题第 3 题第 4 题 2如图，把矩形沿EF对折后使两部分重合，若150，则AEF=（）3如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，13
10、0250 ，则3的度数等于（）4.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果 1=32o，那么 2 的度数是（）5.如图，将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的所有角中，与2 互余的角是 第 5 题第 6 题 6光线 a 照射到平面镜 CD 上，然后在平面镜 AB 和 CD 之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即16，53，24。若已知1=55，3=75，那么2 等于（）8.把一块直尺与一块三角板如图放置，若1=45，则2 的度数为（）A、115B、120C、145D、135 21(9)DCFMAEBNA B C D P(1)A B C D P(2)A B C D P(3)A
11、 B C P(4)A 1 B C D E F G H 1 A E D C B F 2 1 1 2 3 1 2 3 4 5 6 123456aABCD9、如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线 a、b 中的直线 b 上，如果1=40，则2 的度数是（）A、30B、45C、40D、50 第 8 题第 9 题第 10 题第 11 题 10、如图，lm，等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 C 在直线 m 上，若=20，则的度数为（）A、25B、30C、20D、35 11、如图，ABEFCD，ABC=46，CEF=154，则BCE 等于（）A、23B、16C、20D、26 12、将一个直角三角板和一把直
12、尺如图放置，如果=43，则的度数是（）A、43B、47C、30D、60 13、如图，已知 L1L2，MN 分别和直线 l1、l2 交于点 A、B，ME 分别和直线 l1、l2 交于点 C、D，点 P 在 MN 上（P 点与 A、B、M 三点不重合）（1）如果点 P 在 A、B 两点之间运动时，、之间有何数量关系请说明理由；（2）如果点 P 在 A、B 两点外侧运动时，、有何数量关系（只须写出结论）17.如图（6），DEAB，EFAC，A=35，求DEF 的度数。一、填空题 1.如图，直线 AB、CD 相交于点 O，若 1=28,则 2_ 2.已知直线ABCD，60ABE，20CDE，则BED
13、度 3.如图，已知 ABCD，EF 分别交 AB、CD 于点 E、F，160，则2_度.4.如图，直线 MANB，A70，B40，则P.5.设a、b、c 为平面上三条不同直线，（1）若/,/ab bc，则 a 与 c 的位置关系是_；（2）若,ab bc，则 a 与 c 的位置关系是_；（3）若/ab，bc，则 a 与 c 的位置关系是_ 6.如图，填空：1A （已知）（）2B（已知）（）1D （已知）（）二、解答题 7.如图，AOC与BOC是邻补角，OD、OE 分别是AOC与BOC的平分线，试判断 OD 与 OE的位置关系，并说明理由 8.如图，已知直线 AB 与 CD 交于点 O，OEAB
14、，垂足为 O，若DOE3COE，求BOC 的度数 9.如图，ABDE，那么B、BCD、D 有什么关系 1.如图，,8,6,10,BCAC CBcm ACcm ABcm那么点 A到 BC 的距离是_，点 B 到 AC 的距离是_，点 A、B 两点的距离是_，点 C 到 AB 的距离是_ 2.设a、b、c 为平面上三条不同直线，a)若/,/ab bc，则 a 与 c 的位置关系是_；b)若,ab bc，则 a 与 c 的位置关系是_；c)若/ab，bc，则 a 与 c 的位置关系是_ 第 6 题 第 2 题 PBMAN第 1 题 第 3 题 第 4 题 3.如图，已知 AB、CD、EF 相交于点
15、O，ABCD，OG 平分AOE，FOD28，求COE、AOE、AOG 的度数 4.如图，AOC与BOC是邻补角，OD、OE 分别是AOC与BOC的平分线，试判断 OD 与 OE的位置关系，并说明理由 5.如图，已知12 求证：ab直线/ab，求证：12 6.阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知 ABCD，12，试说明 EPFQ 证明：ABCD，MEBMFD（）又12，MEB1MFD2，即 MEP_ EP_（）7.已知 DBFGEC，A 是 FG 上一点，ABD60，ACE36，AP 平分BAC，求：BAC的大小；PAG 的大小.8.如图，已知ABC，ADBC于 D，E为AB上一点，EFBC于
16、 F，/DGBA交 CA 于 G.求证12 .1.如图，B=C，ABEF 求证：BGF=C 3.已知：如图，交B 于 G，交 CD 于 F，FH 平分EFD，交 AB 于 H，AGE=500，求：BHF 的度数。4.已知：如图1=2，C=D，那么A=F 吗试说明理由 5.已知：如图，ABE F ABCD1D 2CECAFO/ABCD/ACBD/ABCDE1F2AECFOCFAE 8如图 13，AEBNFP，MC，判断A与P的大小关系，说明理由.9如图 14，AD是CAB的角平分线，/DEAB，/DFAC，EF交AD于点O请问：（1）DO是EDF的角平分线吗如果是，请给予证明；如果不是，请说明理
17、由（2）若将结论与AD是CAB的角平分线、/DEAB、/DFAC中的任一条件 交换，所得命题正确吗 10.如图，AD 是EAC 的平分线，ADBC，B=30，你能算出EAD、DAC、C 的度数吗 HGFEDCBAGFEDCBAd c 3 1 a A D B C E F 1 2 3 4 11.如图,1=2,3=105 度，求4 的度数。13已知，如图，BCE、AFE 是直线，ABCD，1=2，3=4。AD 与 BE 平行吗为什么。解：ADBE，理由如下：ABCD（已知）4=（）3=4（已知）3=（）1=2（已知）1+CAF=2+CAF（）即=3=（）ADBE（）14.如图1+2=180,DAE=
18、BCF,DA 平分BDF.(1)AE 与 FC 会平行吗说明理由.(2)AD 与 BC 的位置关系如何为什么(3)BC 平分DBE 吗为什么.15如图 10，已知：直线 AB，CD 被直线 EF，GH 所截，且1=2，求证：3+4=180 证明：1=2 又2=5（）1=5 ABCD（）3+4=180（）17已知：如图，1+2=180，3=100，OK 平分DOH，求KOH 的度数 19、如图，已知1=2，B=C，试说明 ABCD。解：1=2（已知），又1=4（）2=（等量代换）BF（）=3（）又B=C（已知）FE21DCBA（图10）=B（等量代换）ABCD（）20、如图，ABDF，DEBC，
19、165求2、3 的度数 21、已知：如图，CDACBA，DE 平分CDA，BF 平分CBA，且 ADEAED。试说明DEFB/22、已知：如图，BAPAPD18012，。求证：EF 23、推理填空：如图，DFAB，DEAC，试说明FDE=A 解：DEAC A+AED=180（）DFAB AED+FDE=180（）A=FDE（）25、如图，ABCD，垂足为 O，EF 经过点 O，求，的度数 26、如图，度，度，求的度数 30、如图，ABDE，1ACB，CAB21BAD，试说明 ADBC 31、如图，ABCD，1=2，3=4。试说明：ADBE。32、如图，EFAD，1=2，BAC=70。将求AGD
20、 的过程填写完整。EFAD，（）2=。（）又1=2，（）1=3。（）AB。（）BAC+=180。（）又BAC=70，（）AGD=。（）33、如图所示，已知B=C，ADBC，试说明：AD 平分CAE 34、如图所示,已知直线 EF 和 AB,CD 分别相交于 K,H,且 EGAB,CHF=600,E=30,试说明 ABCD.36、如图所示，已知B=C，ADBC，试说明：AD 平分CAE 37、如图所示,已知直线 EF 和 AB,CD 分别相交于 K,H,且 EGAB,CHF=600,E=30,试说明 ABCD.38已知：如图，ABCD，垂足为 O，EF 经过点 O，125，求，的度数。（7 分）
21、39.如图：AE 平分DAC，DAC=120，C=60，AE 与 BC 平行吗为什么（6 分）D F C A E B A D F B E C 1 2 3 FEDCBAEDCBAA D B C E F 1 2 3 4 D E A B C 2 1 D E A B C 2 1 FEODCBA321ADE41.填空完成推理过程：（每空 1 分，共 7 分）如图，E 点为 DF 上的点，B 为 AC 上的点，12，CD。试说明：ACDF。解：12（已知）13（）23（等量代换）（）CABD（）又CD（已知）D=ABD（）ACDF（）43(10 分)如图，ABCD，AE 交 CD 于点 C，DEAE，垂足
22、为 E，A=37，求D 的度数 45（11 分）如图，BD 是ABC 的平分线，EDBC，FEDBDE,则 EF 也是AED 的平分线。完成下列推理过程：证明：BD 是ABC 的平分线（已知）ABD=DBC()EDBC(已知)BDE=DBC()(等量代换)又FED=BDE（已知）()AEF=ABD()AEF=DEF(等量代换)EF 是AED 的平分线（）46、如图，ABEF（已知）A+=180（）DEBC（已知）DEF=（）ADE=（）52（本题 10 分）如图，130，ABCD，垂足为 O，EF 经过点 O.求2、3 的度数.53（本题 24 分，每空 3 分）如图 16，点 D、E、F 分
23、别在 AB、BC、AC 上，且 DEAC，EFAB，下面写出了说明“A+B+C180”的过程，请填空：因为 DEAC，所以1.（）A E B C D F ABCEDF1234图 16 ABCDO123EF1ABOFDEC(第18题)ABCDEF1423第19题)因为 ABEF,所以3（）因为 ABEF，所以2_（）因为 DEAC，所以4_（）所以2A（等量代换）因为1+2+3180，所以A+B+C180（等量代换）54（本题 12 分）已知，如图，CDAB，GFAB，BADE，试说明12 56、如图，直线 AB、CD 相交于 O，OD 平分AOF，OECD 于点 O，150，求COB、BOF的度数。57、如图，NCM90，NCB30，CM 平分BCE 求B 的大小。59、如图，E 点为 DF 上的点，B 为 AC 上的点，12，CD，那么 DFAC，请完成它成立的理由 12，23，14（）34（）_（）CABD（）CD（）DABD（）DFAC（）