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1、常见数列通项公式的求法 1.定义法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。例 1等差数列 na是递增数列，前 n 项和为nS，且931,aaa成等比数列，255aS 求数列 na的通项公式.nan53=2.公式法：已知nS（即12()naaaf n）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn。例 2：已知数列na的前 n 项和 sn，12 nsn求na的通项公式。解：（1）当 n=1 时，011 sa，当2n时 12 1)1()1(221nnnssannn 由于1a不适合于此等式 。)2(12)1(0nnnan 练习：数列an满足 an=5Sn3，求 an。答案：an=34（14）
2、n-1 3.累加法：若1()nnaaf n求na：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a(2)n。例 3：（1）数列an满足 a1=1 且 an=an1+3n2（n2），求 an。（2）数列an满足 a1=1 且 an=an1+12n（n2），求 an。解：（1）由 an=an1+3n2 知 anan1=3n2，记 f（n）=3n2=anan1 则 an=（anan1）+（an1an2）+（an2an3）+（a2a1）+a1=f（n）+f（n1）+f（n2）+f（2）+a1=（3n2）+3（n1）2+3（n2）2+（322）+1=3n+（n1）+（n2）+22（n1）+1=3（n+
3、2）（n1）2 2n+3=3n2n2 （2）由 an=an1+12n 知 anan1=12n，记 f（n）=12n=anan1 则 an=（anan1）+（an1an2）+（an2an3）+（a2a1）+a1=f（n）+f（n1）+f（n2）+f（2）+a1=12n+12n1+12n2+122+1=12 12n 练习：已知数列 na满足211a，nnaann211，求na。答案：nan1-23=4.累乘法：已知1()nnaf na求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n。例 4：在数列na中，1a=1,(n+1)1na=nna，求na的表达式。解：由(n+1)1na=n
4、na得11nnaann，1aan=12aa23aa34aa1nnaa=nnn11433221所以nan1 练习：已知数列 na中，311a，前n项和nS与na的关系是 nnannS)12(，试求通项公式na。答案：.)1-2(12(1nnan+=5.已知递推关系求na，用构造法（构造等差、等比数列）。（1）形如1nnakab、1nnnakab（,k b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求na。1nnakab解法：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例 5.已知数列 na中，11a，321nnaa，求na.解：设
5、递推公式321nnaa可以转化为)(21tatann即321ttaann.故递推公式为)3(231nnaa,令3nnab，则4311 ab,且23311nnnnaabb所以 nb是以41b为首项，2 为公比的等比数列，则11224nnnb,所以321nna.1nnnakab解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列 nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再应用1nnakab的方法解决.。例 6.已知数列 na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。解：在11)21(31nnnaa两边乘以12n得：1)2(32211nnnna
6、a 令nnnab 2，则1321nnbb,应用例 7 解法得：nnb)32(23 所以nnnnnba)31(2)21(32 练一练已知111,32nnaaa，求na；已知111,32nnnaaa，求na；（2）形如11nnnaakab的递推数列都可以用倒数法求通项。例 7：1,13111aaaannn解：取倒数：11113131nnnnaaaa na1是等差数列，3)1(111naan3)1(1n231nan 练习：已知数列na中11a且11nnnaaa（Nn），求数列的通项公式。常见数列求和公式及应用 1、公式求和法 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11 等比数列求和公
7、式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn 另外，还有必要熟练掌握一些常见的数列的前n项和公式.正整数和公式有：1(1)2nkn nk；21(1)(21)6nkn nnk；321(1)2nkn nk 例 1：已知3log1log23x，求 nxxxx32的前 n 项和.解：由212loglog3log1log3323xxx 由等比数列求和公式得 nnxxxxS 32 xxxn1)1(211)211(21n1n21 2、倒序相加法 121121nnnnnnSaaaaSaaaa则 12112nnnnSaaaaaa 例 2：已知22()1xf xx，则111(1)(2)(3)(4
8、)234fffffff 解：由2222222111()111111xxxf xfxxxxx 式11111(1)(2)(3)(4)1 1 1323422fffffff 变式训练：如已知函数 f(x)对任意 xR 都有21)1()(xfxf，)1()0(nffSn)3()2(nfnf+)1()2(nnfnnf)1(f，（*Nn），求nS 3、裂项相消法 一 些 常 见的 裂 项 方 法：12112121)12)(12(1nnnn；1111()()n nkknnk；nnnn111；例 3：求数列 ,11,321,211nn的前 n 项和.解：设nnnnan111 则 11321211 nnSn )1
9、()23()12(nn 11n 练习：已知11211 nnnnan，又12nnnaab，求数列bn的前 n 项的和.4、错位相减法设数列 na的等比数列，数列 nb是等差数列，则数列nnba的前n项和nS求解，均可用错位相减法。例 4：求2311234nnSxxxnx 例 5：设na是等差数列，nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab（）求na，nb的通项公式；（）求数列nnab的前n项和nS 解：（）设 na的公差为d，nb的公比为q，则依题意有0q 且4212211413dqdq，解得2d，2q 所以1(1)21nandn，112nnnbq（）1212nnna
10、nb122135232112222nnnnnS，3252321223222nnnnnS，得22122221222222nnnnS 221111212212222nnn1111212221212nnn 12362nn 练习：3.求数列 ,22,26,24,2232nn前 n 项的和.小结：错位相减法的求解步骤：在等式两边同时乘以等比数列 nc的公比q；将两个等式相减；利用等比数列的前n项和的公式求和.5、分组求和法 例 6、已知数列 na的通项公式为,132nann求数列 na的前n项和.13252222121naaaSnnn=.135222221nn=213221212nnn=.22123221nnn 练习：求和：2 53 6+4 7+(+3)n n